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    淺談解析幾何中減少運(yùn)算量的幾種策略

    2011-12-29 00:00:00季錦成


      摘要:在解決解析幾何問(wèn)題時(shí),如果方法選擇不當(dāng),會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量過(guò)大,不易得到正確的結(jié)果. 針對(duì)上述情況,筆者結(jié)合多年的教學(xué)研究,總結(jié)出五種常用的簡(jiǎn)化計(jì)算的方法.
      關(guān)鍵詞:解析幾何;運(yùn)算量;設(shè)而不求;巧用向量
      
      圓錐曲線是高考的必考內(nèi)容,對(duì)計(jì)算能力的高要求是其最突出的特點(diǎn). 用解析法解圓錐曲線問(wèn)題,雖然思路比較簡(jiǎn)單、規(guī)律性強(qiáng),但是運(yùn)算量一般都比較大,因此,選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法、設(shè)計(jì)合理的解題途徑是簡(jiǎn)化運(yùn)算、迅速解題的關(guān)鍵. 下面介紹幾種解析幾何中減少運(yùn)算量的策略,供大家學(xué)習(xí)、參考.
      
      回歸定義
      波利亞說(shuō):“當(dāng)你不能解決問(wèn)題時(shí),不妨回到定義中去!”定義是事物本質(zhì)屬性的概括和反映,圓錐曲線許多性質(zhì)都是由定義派生出來(lái)的. 對(duì)某些圓錐曲線問(wèn)題,若采用“回歸定義”的策略,則能獲得題目所固有的本質(zhì)屬性,達(dá)到準(zhǔn)確判斷、靈活解題、避免大量運(yùn)算的目的. 因此,定義是解決問(wèn)題的原生力量,不容忽視.
      例1已知橢圓+=1內(nèi)有一點(diǎn)P(1,-1),F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn),M為橢圓上一點(diǎn).
     ?。?)求MP+2MF的最小值;
      ?搖(2)求MP+MF的最小值.
      解析(1)橢圓的離心率為e=,右準(zhǔn)線為l:x=4,過(guò)M作MN⊥l于N,則MP+2MF=MP+MF=MP+MN(橢圓第二定義). 因此,當(dāng)P,M,N三點(diǎn)共線時(shí),MP+2MF取得最小值.此時(shí),只需過(guò)P作PN⊥l于N ,交橢圓于點(diǎn)M,M即為滿足條件的點(diǎn),MP+2MF的最小值為4-1=3.
     ?。?)設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為F1,則MF+MF1=4(橢圓第一定義),MP+MF=MP+4 -MF1=4 -(MF1-MP). 當(dāng)M在F1P延長(zhǎng)線上時(shí),MF1-MP取得最大值F1P=,此時(shí)MF1-MF取最小值4-.
      評(píng)注:如果設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo),無(wú)論是設(shè)為(x,y),還是(2cosθ,sinθ)都會(huì)導(dǎo)致操作太煩瑣!注意到橢圓的離心率為e=,第1小題就可運(yùn)用橢圓的第二定義來(lái)解;第2小題是通過(guò)橢圓的第一定義求解的,橢圓兩種定義在這道題中都得到了合理地運(yùn)用,使問(wèn)題的解決得到了最優(yōu)化.
      
      活用平面幾何知識(shí)
      解析幾何首先是幾何問(wèn)題,如果在用代數(shù)方法研究曲線關(guān)系的同時(shí),充分利用圖形本身所具有的平面幾何性質(zhì),可得到簡(jiǎn)捷而優(yōu)美的解答.
      例2已知直線2x+y-6=0,x-2y+8=0及x-y=0,求它們所圍成的三角形的外接圓方程.
      解析因?yàn)橹本€2x+y-6=0與x-2y+8=0的斜率分別為-2和,所以兩條直線互相垂直,三角形為直角三角形. 由x-y=0,2x+y-6=0 及x-y=0,x-2y+8=0, 求得直角三角形的斜邊的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(2,2),B(8,8). 所求的三角形外接圓是以A(2,2)和B(8,8)為直徑端點(diǎn)的圓,其方程為(x-5)2+(y-5)2=18.
      評(píng)注:若先求三角形的三個(gè)頂點(diǎn),再解三元方程組求圓的一般方程,會(huì)大大增加運(yùn)算量.
      例3已知A(3,0)是圓x2+y2=25內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn),以A為直角頂點(diǎn)作Rt△ABC,點(diǎn)B,C在圓上,試求BC中點(diǎn)M的軌跡方程.
      解析設(shè)M(x,y),連結(jié)OC,OM,MA. 因?yàn)镸為BC的中點(diǎn),所以O(shè)M⊥BC,OM2+MC2=OC2.在Rt△ABC中,AM=BM=CM=BC,所以O(shè)M2+AM2=OC2,即x2+y2+(x-3)2+y2=25,于是M點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2-3x-8=0.
      評(píng)注:B,C都為圓x2+y2=25上的動(dòng)點(diǎn),通過(guò)引進(jìn)角參數(shù),設(shè)出B,C的坐標(biāo),會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算繁雜. “垂徑定理”的使用,讓我們?cè)趯ふ襇的坐標(biāo)x與y的關(guān)系時(shí),跳過(guò)了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)B,C,直達(dá)一個(gè)非常明確的結(jié)果OM2+AM2=OC2,大大減少了運(yùn)算量.
      
      巧用向量
      解析幾何與向量是高中數(shù)學(xué)新課程方案中兩個(gè)重要的分支,數(shù)形結(jié)合是這兩個(gè)分支的共同特點(diǎn).由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀性,又具有“數(shù)”的可運(yùn)算性,因此,向量是數(shù)形轉(zhuǎn)換的橋梁. 對(duì)于解析幾何中圖形的重要位置關(guān)系(如平行、垂直、相交、三點(diǎn)共線等)和數(shù)量關(guān)系(如距離、角等),都能通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)進(jìn)行刻劃,這就為將向量應(yīng)用于解析幾何創(chuàng)造了條件.
      例4已知四邊形一組對(duì)邊的平方和等于另一組對(duì)邊的平方和,求證:兩條對(duì)角線互相垂直.
      解析(向量法)設(shè)以O(shè)為起點(diǎn),A,B,C,D為終點(diǎn)的向量分別記為a,b,c,d,則2+2=2+2?圯(d-a)2+(c-b)=(b-a)+(c-d),可得a?d+b?c=a?b+c?d,整理得到(c-a)?(d-b)=0,所以⊥.
      評(píng)注:向量證法一氣呵成,對(duì)稱、和諧、統(tǒng)一,給人以美的享受.由證明過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)其逆命題亦為真,并且結(jié)論可以推廣到空間四邊形中,原因在于向量法顯現(xiàn)了問(wèn)題的內(nèi)在本質(zhì).
      例5已知圓C:x2+y2=4和兩個(gè)定點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),點(diǎn)P為圓C上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線為l,點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為A′,求A′B的最大值.
      
      圖2
      解析如圖2,設(shè)AA′與直線l交于點(diǎn)Q,連結(jié)OP,OQ,由O,Q分別為AB,AA′的中點(diǎn)得OQ∥A′B,且A′B=2OQ.
      又AA′⊥l,OP⊥l,故OP∥AA′.
      設(shè)=m(m>0),=2,則=+=+m,=-=+(m-1),由題意得OP⊥PQ,則?=0,即?[+(m-1)]=0,
      即?+(m-1)2=0,得?搖?=4(m-1). 又2=+m2=2+2m?+m22=1+2m×4(1-m)+4m2= -4m2+8m+1=-4(m-1)2+5,因?yàn)閙>0,所以當(dāng)m=1時(shí),2max=5,即max=.
      所以A′Bmax=2max=2. 此時(shí)=,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,±2),切線方程為y=±2,點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(-1,±4).
      評(píng)注:本題的常規(guī)解法是:首先求出點(diǎn)A′的軌跡方程,再利用兩點(diǎn)間距離公式去求A′B的表達(dá)式(要運(yùn)用點(diǎn)A′的軌跡方程將二元函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最值),進(jìn)而求出A′B的最大值.純解析法雖然思路很直接,但求出點(diǎn)A′的軌跡方程是一個(gè)難點(diǎn),很難突破,并且運(yùn)算量大,過(guò)程繁瑣.而平面向量的計(jì)算靈活、方便,使問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)潔.
      
      設(shè)而不求
      我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)不求它,而是結(jié)合韋達(dá)定理求解,這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問(wèn)題中常常用到.
      例6已知橢圓+=1,通過(guò)點(diǎn)(1,1)引一弦,使它在這點(diǎn)被平分,求此弦所在的直線方程.
      解析設(shè)所求直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2),則有+=1,+=1,將上述兩式相減得+=0. 因?yàn)椋?,1)為AB中點(diǎn),所以=1,=1,代入前式整理得k==-,從而求得直線方程為5x+6y-11=0.
      小結(jié):以上解法稱為“點(diǎn)差法”,它是一種“設(shè)而不求”的優(yōu)美解法,常用來(lái)簡(jiǎn)捷地處理圓錐曲線弦的中點(diǎn)問(wèn)題.
      例7已知中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線y=x+1相交于P,Q兩點(diǎn),且OP⊥OQ,PQ=,求此橢圓方程.
      解析設(shè)橢圓方程為ax2+by2=1(a>b>0),直線y=x+1與橢圓相交于P(x1,y1),Q(x2,y2)兩點(diǎn). 從方程組y=x+1,ax2+by2=1中消去y得(a+b)x2+2bx+b-1=0,從而x1+x2= -,x1x2=. 由題設(shè)得kOP?kOQ=-1,因此y1y2=-x1x2?搖. ?搖?搖?搖?搖?搖(1)
      因?yàn)镻,Q在直線y=x+1上,所以y1=x1+1,(2)y2=x2+1.(3) 于是y1y2=(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,把(1)代入得2x1x2+(x1+x2)+1=0,即-+1=0, 化簡(jiǎn)得a+b=2(4). 由PQ=,得(x1-x2)2+(y1-y2)2=,將(2)(3)式帶入得(x1-x2)2=, 即(x1+x2)2-4x1x2=,于是2-=. 把(4)代入得4b2-8b+3=0,解得b=或b=,由(4)得a=或a=. 由a>b>0,得a=,b=,因此所求橢圓方程為+=1.
      評(píng)注:此題充分利用了韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略,簡(jiǎn)化了計(jì)算.
      
      引入?yún)?shù)
      換元引參是一種重要的數(shù)學(xué)方法,在解決解析幾何中的最值、不等式等問(wèn)題中換元引參,能起到化難為易、事半功倍之效. 在換元過(guò)程中,要注意代換的等價(jià)性,防止擴(kuò)大或縮小原來(lái)變量的取值范圍或改變?cè)}條件.
      例8已知:點(diǎn)P是橢圓+=1上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是圓(x-3)2+y2=1上一動(dòng)點(diǎn),試求PQ的最小值.
      解析先求圓心O′3,0到橢圓上一點(diǎn)距離的最小值. 設(shè)P(6cosθ,4sinθ),所以O(shè)′P2=(6cosθ-3)2+(4sinθ)2=36cos2θ-36cosθ+9+16sin2θ=20cos2θ-36cosθ+25=20cosθ-2+. 當(dāng)cosθ=時(shí),O′P2取最小值,所以O(shè)′P的最小值為. 因此PQ的最小值為-1.
      評(píng)注:換元引參的優(yōu)點(diǎn)在本題得到了完美的體現(xiàn).
      本文共介紹了五種解析幾何中常用的減少計(jì)算量的方法. 其實(shí),在解決解析幾何問(wèn)題時(shí),減少計(jì)算量的方法還有很多,并且不同的題目也會(huì)有不同的處理方法,只要在平時(shí)的練習(xí)中多實(shí)踐、多總結(jié),靈活掌握各種方法,并且選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?,就一定能夠以?jiǎn)馭繁、事半功倍.
      

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