淺談解析幾何中減少運(yùn)算量的幾種策略

　　摘要：在解決解析幾何問(wèn)題時(shí)，如果方法選擇不當(dāng)，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量過(guò)大，不易得到正確的結(jié)果. 針對(duì)上述情況，筆者結(jié)合多年的教學(xué)研究，總結(jié)出五種常用的簡(jiǎn)化計(jì)算的方法.
　　關(guān)鍵詞：解析幾何；運(yùn)算量；設(shè)而不求；巧用向量
　　
　　圓錐曲線是高考的必考內(nèi)容，對(duì)計(jì)算能力的高要求是其最突出的特點(diǎn). 用解析法解圓錐曲線問(wèn)題，雖然思路比較簡(jiǎn)單、規(guī)律性強(qiáng)，但是運(yùn)算量一般都比較大，因此，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法、設(shè)計(jì)合理的解題途徑是簡(jiǎn)化運(yùn)算、迅速解題的關(guān)鍵. 下面介紹幾種解析幾何中減少運(yùn)算量的策略，供大家學(xué)習(xí)、參考.
　　
　　回歸定義
　　波利亞說(shuō)：“當(dāng)你不能解決問(wèn)題時(shí)，不妨回到定義中去！”定義是事物本質(zhì)屬性的概括和反映，圓錐曲線許多性質(zhì)都是由定義派生出來(lái)的. 對(duì)某些圓錐曲線問(wèn)題，若采用“回歸定義”的策略，則能獲得題目所固有的本質(zhì)屬性，達(dá)到準(zhǔn)確判斷、靈活解題、避免大量運(yùn)算的目的. 因此，定義是解決問(wèn)題的原生力量，不容忽視.
　　例1已知橢圓+=1內(nèi)有一點(diǎn)P（1，-1），F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn).
　?。?）求MP+2MF的最小值；
　　?搖（2）求MP+MF的最小值.
　　解析（1）橢圓的離心率為e=，右準(zhǔn)線為l：x=4，過(guò)M作MN⊥l于N，則MP+2MF=MP+MF=MP+MN（橢圓第二定義）. 因此，當(dāng)P，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，MP+2MF取得最小值.此時(shí)，只需過(guò)P作PN⊥l于N ，交橢圓于點(diǎn)M，M即為滿足條件的點(diǎn)，MP+2MF的最小值為4-1=3.
　?。?）設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為F1，則MF+MF1=4（橢圓第一定義），MP+MF=MP+4 -MF1=4 -（MF1-MP）. 當(dāng)M在F1P延長(zhǎng)線上時(shí)，MF1-MP取得最大值F1P=，此時(shí)MF1-MF取最小值4－.
　　評(píng)注：如果設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，無(wú)論是設(shè)為（x，y），還是（2cosθ，sinθ）都會(huì)導(dǎo)致操作太煩瑣！注意到橢圓的離心率為e=，第1小題就可運(yùn)用橢圓的第二定義來(lái)解；第2小題是通過(guò)橢圓的第一定義求解的，橢圓兩種定義在這道題中都得到了合理地運(yùn)用，使問(wèn)題的解決得到了最優(yōu)化.
　　
　　活用平面幾何知識(shí)
　　解析幾何首先是幾何問(wèn)題，如果在用代數(shù)方法研究曲線關(guān)系的同時(shí)，充分利用圖形本身所具有的平面幾何性質(zhì)，可得到簡(jiǎn)捷而優(yōu)美的解答.
　　例2已知直線2x+y－6=0，x－2y+8=0及x－y=0，求它們所圍成的三角形的外接圓方程.
　　解析因?yàn)橹本€2x+y－6=0與x－2y+8=0的斜率分別為－2和，所以兩條直線互相垂直，三角形為直角三角形. 由x－y=0，2x+y－6=0 及x－y=0，x－2y+8=0， 求得直角三角形的斜邊的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A（2，2），B（8，8）. 所求的三角形外接圓是以A（2，2）和B（8，8）為直徑端點(diǎn)的圓，其方程為（x－5）2+（y－5）2=18.
　　評(píng)注：若先求三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，再解三元方程組求圓的一般方程，會(huì)大大增加運(yùn)算量.
　　例3已知A（3，0）是圓x2+y2=25內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，以A為直角頂點(diǎn)作Rt△ABC，點(diǎn)B，C在圓上，試求BC中點(diǎn)M的軌跡方程.
　　解析設(shè)M（x，y），連結(jié)OC，OM，MA. 因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥BC，OM2+MC2=OC2.在Rt△ABC中，AM=BM=CM=BC，所以O(shè)M2+AM2=OC2，即x2+y2+（x-3）2+y2=25，于是M點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2-3x-8=0.
　　評(píng)注：B，C都為圓x2+y2=25上的動(dòng)點(diǎn)，通過(guò)引進(jìn)角參數(shù)，設(shè)出B，C的坐標(biāo)，會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算繁雜. “垂徑定理”的使用，讓我們?cè)趯ふ襇的坐標(biāo)x與y的關(guān)系時(shí)，跳過(guò)了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)B，C，直達(dá)一個(gè)非常明確的結(jié)果OM2+AM2=OC2，大大減少了運(yùn)算量.
　　
　　巧用向量
　　解析幾何與向量是高中數(shù)學(xué)新課程方案中兩個(gè)重要的分支，數(shù)形結(jié)合是這兩個(gè)分支的共同特點(diǎn).由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀性，又具有“數(shù)”的可運(yùn)算性，因此，向量是數(shù)形轉(zhuǎn)換的橋梁. 對(duì)于解析幾何中圖形的重要位置關(guān)系（如平行、垂直、相交、三點(diǎn)共線等）和數(shù)量關(guān)系（如距離、角等），都能通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)進(jìn)行刻劃，這就為將向量應(yīng)用于解析幾何創(chuàng)造了條件.
　　例4已知四邊形一組對(duì)邊的平方和等于另一組對(duì)邊的平方和，求證：兩條對(duì)角線互相垂直.
　　解析（向量法）設(shè)以O(shè)為起點(diǎn)，A，B，C，D為終點(diǎn)的向量分別記為a，b，c，d，則2+2=2+2?圯（d－a）2+（c－b）=（b－a）+（c－d），可得a?d+b?c=a?b+c?d，整理得到（c－a）?（d－b）=0，所以⊥.
　　評(píng)注：向量證法一氣呵成，對(duì)稱、和諧、統(tǒng)一，給人以美的享受.由證明過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)其逆命題亦為真，并且結(jié)論可以推廣到空間四邊形中，原因在于向量法顯現(xiàn)了問(wèn)題的內(nèi)在本質(zhì).
　　例5已知圓C：x2+y2=4和兩個(gè)定點(diǎn)A（－1，0），B（1，0），點(diǎn)Ｐ為圓Ｃ上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Ｐ的圓Ｃ的切線為l，點(diǎn)Ａ關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為A′，求A′B的最大值．
　　
　　圖2
　　解析如圖2，設(shè)AA′與直線l交于點(diǎn)Q，連結(jié)OP，OQ，由O，Q分別為AB，AA′的中點(diǎn)得OQ∥A′B，且A′B=2OQ．
　　又AA′⊥l，OP⊥l，故OP∥AA′．
　　設(shè)=m（m>0），=2，則=+=+m，=－=+（m－1），由題意得OP⊥PQ，則?＝0，即?［+（m－1）］＝0，
　　即?+（m－1）2＝0，得?搖?=4（m－1）． 又2=+m2＝2+2m?+m22＝1＋2m×4（1－m）+4m2＝ －4m2+8m+1=－4（m－1）2+5，因?yàn)閙>0，所以當(dāng)m=1時(shí)，2max=5，即max=．
　　所以A′Bmax=2max=2. 此時(shí)=，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，±2），切線方程為y=±2，點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（－1，±4）．
　　評(píng)注：本題的常規(guī)解法是：首先求出點(diǎn)A′的軌跡方程，再利用兩點(diǎn)間距離公式去求A′B的表達(dá)式（要運(yùn)用點(diǎn)A′的軌跡方程將二元函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最值），進(jìn)而求出A′B的最大值．純解析法雖然思路很直接，但求出點(diǎn)A′的軌跡方程是一個(gè)難點(diǎn)，很難突破，并且運(yùn)算量大，過(guò)程繁瑣．而平面向量的計(jì)算靈活、方便，使問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)潔．
　　
　　設(shè)而不求
　　我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問(wèn)題中常常用到.
　　例6已知橢圓+=1，通過(guò)點(diǎn)（1，1）引一弦，使它在這點(diǎn)被平分，求此弦所在的直線方程.
　　解析設(shè)所求直線與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2），則有+=1，+=1，將上述兩式相減得+=0. 因?yàn)椋?，1）為AB中點(diǎn)，所以=1，=1，代入前式整理得k==－，從而求得直線方程為5x+6y－11=0.
　　小結(jié)：以上解法稱為“點(diǎn)差法”，它是一種“設(shè)而不求”的優(yōu)美解法，常用來(lái)簡(jiǎn)捷地處理圓錐曲線弦的中點(diǎn)問(wèn)題.
　　例7已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線y=x+1相交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，PQ=，求此橢圓方程.
　　解析設(shè)橢圓方程為ax2+by2=1（a>b>0），直線y=x+1與橢圓相交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點(diǎn). 從方程組y=x+1，ax2+by2=1中消去y得（a+b）x2+2bx+b－1=0，從而x1+x2= －，x1x2=. 由題設(shè)得kOP?kOQ=－1，因此y1y2=－x1x2?搖. ?搖?搖?搖?搖?搖（1）
　　因?yàn)镻，Q在直線y=x+1上，所以y1=x1+1，（2）y2=x2+1.（3） 于是y1y2=（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1，把（1）代入得2x1x2+（x1+x2）+1=0，即－+1=0， 化簡(jiǎn)得a+b=2（4）. 由PQ=，得（x1－x2）2+（y1－y2）2=，將（2）（3）式帶入得（x1－x2）2=， 即（x1+x2）2－4x1x2=，于是2－=. 把（4）代入得4b2－8b+3=0，解得b=或b=，由（4）得a=或a=. 由a>b>0，得a=，b=，因此所求橢圓方程為+=1.
　　評(píng)注：此題充分利用了韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略，簡(jiǎn)化了計(jì)算.
　　
　　引入?yún)?shù)
　　換元引參是一種重要的數(shù)學(xué)方法，在解決解析幾何中的最值、不等式等問(wèn)題中換元引參，能起到化難為易、事半功倍之效. 在換元過(guò)程中，要注意代換的等價(jià)性，防止擴(kuò)大或縮小原來(lái)變量的取值范圍或改變?cè)}條件.
　　例8已知：點(diǎn)P是橢圓+=1上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓（x-3）2+y2=1上一動(dòng)點(diǎn)，試求PQ的最小值.
　　解析先求圓心O′3，0到橢圓上一點(diǎn)距離的最小值. 設(shè)P（6cosθ，4sinθ），所以O(shè)′P2=（6cosθ－3）2+（4sinθ）2=36cos2θ－36cosθ+9+16sin2θ=20cos2θ－36cosθ+25=20cosθ－2+. 當(dāng)cosθ=時(shí)，O′P2取最小值，所以O(shè)′P的最小值為. 因此PQ的最小值為－1.
　　評(píng)注：換元引參的優(yōu)點(diǎn)在本題得到了完美的體現(xiàn).
　　本文共介紹了五種解析幾何中常用的減少計(jì)算量的方法. 其實(shí)，在解決解析幾何問(wèn)題時(shí)，減少計(jì)算量的方法還有很多，并且不同的題目也會(huì)有不同的處理方法，只要在平時(shí)的練習(xí)中多實(shí)踐、多總結(jié)，靈活掌握各種方法，并且選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，就一定能夠以?jiǎn)馭繁、事半功倍.