一道高考最值問(wèn)題的多角度探視

　　摘要：多角度地審視與探析高考試題，對(duì)于活化數(shù)學(xué)思維、整合數(shù)學(xué)知識(shí)和方法、提升教與學(xué)的效能，無(wú)疑具有重要的意義． 本文以一道二元條件最值問(wèn)題為樣本，從代數(shù)、三角、幾何等不同角度對(duì)其進(jìn)行多方位探視，以期對(duì)高考復(fù)習(xí)有所啟迪與幫助．
　　關(guān)鍵詞：最值；探視；多角度；方程法；函數(shù)法
　　
　　題目：若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2+xy=1，則x+y的最大值是__________．
　　這是2011年高考數(shù)學(xué)浙江卷（文）的一道填空題，是高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的二元條件最值問(wèn)題． 許多學(xué)生對(duì)此題雖有似曾相識(shí)之感，但求解思路并不清晰，方法選擇不恰當(dāng)，給解答帶來(lái)不小難度．事實(shí)上，本問(wèn)題的解題策略有相當(dāng)?shù)拈_(kāi)放性與發(fā)散度，可以很好地考查學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的能力． 本文從代數(shù)、三角、幾何等不同角度，對(duì)此題進(jìn)行多方位審視與探析，以期對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的解答方法有一個(gè)清晰、透徹的認(rèn)識(shí)．
　　探視1：方程判別式法
　　分析：令x+y=t，聯(lián)合方程x2+y2+xy=1，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，根據(jù)方程有解的充要條件，即判別式Δ≥0，可求出t的最大值．
　　解法：設(shè)t=x+y，則聯(lián)立方程x2+y2+xy=1，消去y后得x2－tx+t2－1=0，由Δ≥0可解得－≤t≤，即x+y的最大值為（此時(shí)x=y=）．
　　點(diǎn)評(píng)：此法簡(jiǎn)捷明快，運(yùn)用學(xué)生熟知的一元二次方程的判別式來(lái)解決問(wèn)題，是最易想到的方法．
　　探視2：參數(shù)判別式法
　　分析：對(duì)于左端是二元齊次式的方程，可考慮引入?yún)?shù)k，使y=kx，將方程x2+y2+xy=1轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，通過(guò)判別式來(lái)求解．
　　解法：令y=kx，代入原方程得x2=，k∈R．設(shè)t=x+y，則有t=x+kx=x（1+k），t2=x2（1+k）2=，變換整理得參數(shù)方程：（t2－1）k2+（t2－2）k+t2－1=0． 當(dāng)t2=1時(shí)，k有解，k=0；
　　當(dāng)t2≠1時(shí)，由Δ≥0得0≤t2≤．
　　綜上得0≤t2≤，從而－≤t≤，即x+y的最大值為（此時(shí)x=y=）．
　　點(diǎn)評(píng)：參數(shù)判別式法是將二元函數(shù)t=x+y轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的一元方程式來(lái)解決，本質(zhì)上仍是方程判別式法．
　　探視3：函數(shù)消元法
　　分析：二元條件最值問(wèn)題的另一種基本解法是將二元函數(shù)t=x+y通過(guò)消元的方法轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的值域來(lái)解決．
　　解法：視原方程為關(guān)于y的一元二次方程y2+xy+x2－1=0，由求根公式得y=，代入t=x+y，得t=． 由4－3x2≥0得-≤x≤. 設(shè)x=sinθ，θ∈－，，從而t=sinθ±cosθ=?sinθ±，θ∈－，，此函數(shù)的值域是－，，于是，x+y的最大值為（此時(shí)x=y=）．
　　點(diǎn)評(píng)：函數(shù)法是最基本、最容易想到的解法，但本題消元不易，且消元后的函數(shù)求值域的運(yùn)算技巧性高，大多數(shù)學(xué)生難以為續(xù)．
　　探視4：三角代換法
　　分析：二元條件最值問(wèn)題也可用三角代換法考慮，將條件“三角化”后代入目標(biāo)函數(shù)，或?qū)⒛繕?biāo)函數(shù)“三角化”后代入條件． 通過(guò)三角代換轉(zhuǎn)化為關(guān)于θ的一元函數(shù)來(lái)解決，方法簡(jiǎn)便．
　　解法：由方程x2+y2+xy=1的結(jié)構(gòu)特征，可配方為x+2+y2=1，引入?yún)?shù)θ∈R，使x+=cosθ，y=sinθ， 即x=cosθ－sinθ，y=sinθ.代入t=x+y，得t=x+y=cosθ+sinθ=sinθ+，θ∈R. 因此， －≤t≤，即x+y的最大值為（此時(shí)x=y=）．
　　點(diǎn)評(píng)：本題也可將目標(biāo)函數(shù)t=x+y“三角化”，即令x=tsin2θ，y=tcos2θ，代入x2+y2+xy=1，得t2=來(lái)求解． 這類(lèi)方法最終思路仍是函數(shù)法，三角代換不過(guò)是實(shí)現(xiàn)函數(shù)化的手段．
　　探視5：均值換元法
　　分析：由于本題條件中含有xy項(xiàng)，若能將xy消去，轉(zhuǎn)化為其他熟悉的表達(dá)式，則問(wèn)題不難解決，其中一種手法就是運(yùn)用均值換元構(gòu)造出平方差．
　　解法：設(shè)t=x+y，則可設(shè)x=t+m，y=t－m， m∈R，t∈R，代入原方程得t2+m2=1，即t2=（1－m2），從而t2≤（當(dāng)m=0時(shí)等號(hào)成立），從而－≤t≤，即x+y的最大值為（此時(shí)x=y=）．
　　點(diǎn)評(píng)：此法本質(zhì)仍是通過(guò)函數(shù)法解決問(wèn)題，其閃光點(diǎn)是將變量由x，y換成了m，t． 本解法有一定的局限性，即條件方程中x2與y2的系數(shù)必須相同，否則仍不能將xy消去．
　　探視6：均值不等式法
　　分析：由于題設(shè)中含有x2+y2，xy，x+y這種式子，所以我們可以嘗試使用均值不等式法求解．
　　解法：設(shè)t=x+y，則x2+y2+xy=1可化為（x+y）2－xy=1，即t2－xy=1，也即xy=t2－1． 又xy≤2=2=，所以t2－1≤，即－≤t≤，即x+y的最大值為（此時(shí)x=y=）．
　　點(diǎn)評(píng)：本方法雖然簡(jiǎn)單，但須慎用，因?yàn)檎麄€(gè)過(guò)程須關(guān)注等號(hào)成立的條件是否滿足． 本題如果將目標(biāo)函數(shù)改為求t=ax+by（ab>0，a≠b）的最值，就不簡(jiǎn)便了．
　　探視7：（非）線性規(guī)劃法
　　分析：二元條件最值問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是三元方程組F（x，y）=0，g（x，y）=z 中z的取值范圍問(wèn)題，從幾何的角度看就是一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題，F(xiàn)（x，y）=0是關(guān)于x，y的約束條件（可以是非線性的），z=g（x，y）是關(guān)于x，y的目標(biāo)函數(shù)（可以是非線性的）．
　　解法：由題意知方程組x2+y2+xy=1，t=x+y 有解，因此直線l：y=－x+t與曲線C：x2+y2+xy=1在同一坐標(biāo)系下有交點(diǎn)． 曲線C：x2+y2+xy=1的圖象（可行域）為一個(gè)中心在原點(diǎn)，以y=－x與y=x為長(zhǎng)軸和短軸所在直線的橢圓，它在以（0，0）為原點(diǎn)，以直線y=x與y=－x向上的方向?yàn)樽鴺?biāo)軸的新坐標(biāo)系x′Oy′下的方程為+=1．
　　觀察圖象可知，當(dāng)直線l：y=－x+t與橢圓相切于第一象限頂點(diǎn)，時(shí)，t取最大值，相切于第三象限頂點(diǎn)－，－時(shí)，t取最小值－．
　　點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)是曲線C：x2+y2+xy=1對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)是陌生的，因?yàn)楹衳y項(xiàng)，需要通過(guò)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)方可轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．具體操作為：以原點(diǎn)為支點(diǎn)，將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)θ角，則新舊坐標(biāo)變換方程為x=x′cosθ－y′sinθ，y=x′sinθ+y′cosθ， 代入曲線C：x2+y2+xy=1，得（1+sinθcosθ）?x′2+x′y′cos2θ+（1－sinθcosθ）y′2=1，令cos2θ=0，取θ=，則得曲線C：x2+y2+xy=1在新坐標(biāo)系x′Oy′下的方程為+=1，然后在新坐標(biāo)系下畫(huà)出圖象并擦去新坐標(biāo)系，即可用（非）線性規(guī)劃方法解決問(wèn)題．
　　探視8：極坐標(biāo)系法
　　分析：方程x2+y2+xy=1所表示的曲線是直角坐標(biāo)系下的，若將其置于極坐標(biāo)系下來(lái)考慮，則會(huì)展現(xiàn)出另一片精彩天地．
　　解法：設(shè)方程x2+y2+xy=1在直角坐標(biāo)系下表示的曲線為C，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正向?yàn)闃O軸建立極坐標(biāo)系，由互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ， ρ>0，θ∈R，得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2=，從而t=x+y=ρcosθ+ρsinθ=ρ（cosθ+sinθ），所以t2=ρ2（1+2sinθcosθ）==2－． 令m=1+sinθcosθ，則t2=2－，m∈，，從而t2∈0，，因此－≤t≤，即x+y的最大值為（此時(shí)x=y=）．
　　點(diǎn)評(píng)：視角不同，對(duì)同一個(gè)問(wèn)題的思想觀點(diǎn)就不同，正所謂“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同．” 此法另辟蹊徑，角度新穎，將問(wèn)題置于非常規(guī)參照系下考慮，解法頗具創(chuàng)意，令人耳目一新．
　　綜上可知，本問(wèn)題最大亮點(diǎn)在于解題思路的開(kāi)放性、解題方法的多樣性，以及求解過(guò)程中數(shù)學(xué)技能的重要性． 解法1—6符合高中生的認(rèn)知水平；7與8視角新穎，要求較高． 從不同的角度多方位審視，運(yùn)用不同的思路與方法求解，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、整合高中數(shù)學(xué)知識(shí)和方法及提高教與學(xué)的效能，無(wú)疑是一種非常好的途徑．