線段和最小問題探究

邢矛

“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河?！边@是唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭的兩句，詩中隱含著一個有趣的“將軍飲馬”的數(shù)學(xué)問題。如圖1所示，將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點宿營，怎樣走才能使總的路程最短？

利用軸對稱轉(zhuǎn)化。如圖2，將圖1的實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題：點A，B在直線l的同側(cè)，點C是直線l上的一個動點，當(dāng)點C在l的什么位置時，AC與BC的和最??？

此題應(yīng)該作A點關(guān)于直線l的對稱點A'，連接A'B，交直線l于C點，C點即為所求。

證明：∵由軸對稱可得AC=A'C，

∴AC+BC=A'C+BC=A'B.

在l上任取一點C'（不與C重合），連接AC'，BC'，A'C'。由軸對稱可得AC'=A'C'.

∴AC'+BC'=A'C'+BC'.

又∵兩點之間線段最短，

∴A'B

∴AC+BC

利用平移轉(zhuǎn)化。如圖3，直線a和直線b平行，A，B是直線外兩個定點，N為直線b上的一個動點，MN垂直于直線b，交直線a于點M，MN為定值。當(dāng)點N在直線b的什么位置時，AM+MN+NB最小？

這是造橋選址問題抽象成的數(shù)學(xué)問題，A，B代表兩地，a，b代表河的兩岸，MN代表垂直于河岸的橋，實際問題是橋造在何處可以使從A到B的路徑AMNB最短。由于河岸的寬度是固定的，即MN是定值，所以AM+MN+NB最小也就是AM+NB最小。問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)N在什么位置時，AM+NB最小？我們可以將AM沿與河岸垂直的方向平移，點M移動到N，點A移動到A'，則有AA'=MN（即不管MN怎樣移動，AA'為定值，A'是定點），AM+NB=A'N+NB.這樣問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)N點在直線b的什么位置時，A'N+NB最小？因此，由“兩點之間線段最短”，連接A'B交直線b于N點，N點即為所求。

利用“兩點之間，線段最短”。如圖4，正方形ABCD中，O是AB的中點，E是AD上一動點，過A作BE的垂線交CD于F點，垂足為H點，正方形邊長為2。連接DH，試求DH的最小值。

因為AF⊥BE，所以不論E點運動到哪里，∠AHB都等于90°。由直角三角形性質(zhì)可得，OH=[12]AB=1。由勾股定理可以算出OD=[5]。當(dāng)E點移動時，H點也隨之移動。當(dāng)H點不在OD上時，由“兩點之間，線段最短”得，OD

總之，這類問題的呈現(xiàn)形式是多樣變化的，但只要掌握了解題的思想方法，就可以以不變應(yīng)萬變，問題也就迎刃而解了。

（作者單位：武昌文華中學(xué)）

責(zé)任編輯? 張敏