巧用題目變形 拓寬學(xué)生思維

　　大千世界，到處都在發(fā)生或明顯或隱蔽的運(yùn)動(dòng)與變化。迅速的變化令人目眩神迷，緩慢的變化讓人不知不覺。但是，正如有些例子一樣，在變化的過程中，常常有相對(duì)不變的東西……（引自《數(shù)學(xué)金刊》初中版2010年第2期），下面就《變形》問題中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想作一個(gè)簡單的梳理和回顧。
　　一、翻折問題
　　如圖：△ABC是一個(gè)三角形紙片，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊上的兩點(diǎn)，如果沿直線DE折疊（圖1），則∠BDA′與∠A的關(guān)系是___。
　　方法一：可以利用三角形的外角性質(zhì)（∠BDA′=∠A+∠DA′E）得到；
　　方法二：利用四邊形BDA′C的內(nèi)角和為360°得到；
　　變式一：△ABC是一個(gè)三角形的紙片，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊上的兩點(diǎn)，如果折成圖2的形狀，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的關(guān)系。
　　分析：本題要找的三個(gè)角在位置上沒有直接的關(guān)系，我們可以通過添加輔助線，連結(jié)AA′，利用三角形的外角性質(zhì)，即在△DAA′和△EAA′中∠BDA′=∠DA′A+∠DAA′①，∠CEA′=∠EA′A+∠EAA′②，兩個(gè)等式左右兩邊分別相加，可得∠BDA′+∠CEA′=（∠DA′A+∠DAA′）+（∠EA′A+∠EAA′）=2∠A。當(dāng)然本題也可以不添加輔助線，直接利用四邊形的內(nèi)角和得到。
　　變式二：如果折成圖1的形狀，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的關(guān)系，并說明理由。
　　分析：當(dāng)點(diǎn)A′被折到CE的下方時(shí)，三個(gè)角同樣沒有直接的聯(lián)系，這就要求學(xué)生有一定的空間想象能力，將目光鎖定在局部，∠BDA′=∠DOA+∠A①，∠DOA=∠A′+∠CEA′②，把②代入①整理可得∠BDA′-∠CEA′=2∠A。
　　梳理和回顧：在完成前面三個(gè)題的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：三個(gè)結(jié)論都與2∠A有關(guān)系，這是與翻折問題中的對(duì)應(yīng)角相等是分不開的。
　　同時(shí)我們還可以引導(dǎo)學(xué)生探究，對(duì)于本題的條件，你認(rèn)為還可以將∠A怎樣折？有學(xué)生在前面的基礎(chǔ)上提出還可以折向BA的右上方，此時(shí)我們希望學(xué)生自己作出圖形，并且得出結(jié)論。有了前面三題做鋪墊，學(xué)生就很容易完成了。而且還有部分學(xué)生想到，雖然圖形與第三圖不同，但本質(zhì)是一樣的，因此結(jié)論稍微改變即可。由此可見，這類變式題目對(duì)于學(xué)生的思維培養(yǎng)是非常有幫助的。
　　二、角平分線問題
　　題目原型：如圖4，BP是∠ABC的角平分線，則∠ABP與∠PBC的關(guān)系是，∠BPC與∠A的大小關(guān)系是______，依據(jù)是什么？
　　分析：圖4直接考角平分線的性質(zhì)及外角的性質(zhì)，幾乎所有的學(xué)生都能完成；點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC與∠A的大小關(guān)系是什么？
　　變式一：點(diǎn)P是∠ABC、∠ACB平分線的交點(diǎn)，則∠BPC與∠A的關(guān)系是什么？
　　變式二：點(diǎn)P是∠ABC平分線和∠ACB外角平分線的交點(diǎn)，則∠BPC與∠A的關(guān)系是什么？
　　變式三：點(diǎn)P是∠ABC與∠ACB兩外角平分線的交點(diǎn)，此時(shí)∠BPC與∠A的關(guān)系是什么？
　　引申探究：
　　探究（1），在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)P是∠ABC的角平分線和∠BAC外角平分線的交點(diǎn)，則∠P的度數(shù)為_________。
　　探究（2），如右圖，在△ABC和△D