淺談如何使用法向量求解立體幾何中的角與距離

凌啟圣

（合肥市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)組，安徽 合肥 230061）

淺談如何使用法向量求解立體幾何中的角與距離

凌啟圣

（合肥市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)組，安徽 合肥 230061）

中學(xué)數(shù)學(xué)現(xiàn)行人教版教材在引入空間向量后，原本較為復(fù)雜的幾何問(wèn)題得到了不少簡(jiǎn)化，特別是向量幾何中的一個(gè)重要的工具——法向量引入，使得許多原本復(fù)雜難解的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易解。通過(guò)日常教學(xué)中接觸到的例子，對(duì)使用法向量求解立體幾何中夾角與距離的問(wèn)題進(jìn)行歸納和總結(jié)。

法向量；立體幾何；夾角與距離；中學(xué)數(shù)學(xué)；高考

在很多學(xué)生的眼里，數(shù)學(xué)是非常難的。美國(guó)教育家戴維斯教授曾指出，一些學(xué)生正是由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失敗而喪失了對(duì)于整個(gè)人生的信心。隨著素質(zhì)教育的推行，精英教育逐步走向大眾教育，更多的學(xué)生面臨數(shù)學(xué)學(xué)不好特別是幾何學(xué)不好的難題。在傳統(tǒng)幾何中，輔助線的添加更多來(lái)自于靈感閃現(xiàn)，解題中對(duì)空間想象能力和邏輯推理能力的要求極高，幾何特別是立體幾何令人望而生畏。中科院院士、著名數(shù)學(xué)家張景中教授一直在疾呼改造數(shù)學(xué)教育特別是幾何教育，把數(shù)學(xué)變得容易些[1]。在這樣的背景下，向量走進(jìn)了中學(xué)數(shù)學(xué)課堂，向量法解題得到了空前重視。向量法解題以計(jì)算代替演繹，有效地降低了解題難度。

傳統(tǒng)的立體幾何夾角與距離的求解過(guò)程對(duì)作圖能力、空間想像能力、邏輯推理能力要求都很高，解題過(guò)程非常繁瑣，學(xué)生經(jīng)過(guò)大量訓(xùn)練卻仍然不得要領(lǐng)，嚴(yán)重挫傷他們的學(xué)習(xí)積極性。而引進(jìn)坐標(biāo)系、使用法向量，將會(huì)使這些問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易解，學(xué)生很快就能掌握要領(lǐng)。下面對(duì)法向量的應(yīng)用作簡(jiǎn)單歸納與總結(jié)。

一、利用法向量求點(diǎn)到平面的距離

例1：（2010年江西高考理科數(shù)學(xué)試題）如圖△BCD與△MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面MCD⊥平面 BCD，AB⊥平面 BCD，AB=2。 求點(diǎn)A到平面MBC的距離。

分析：取 CD 中點(diǎn) O，連 OB，OM，則 OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，則MO⊥平面BCD，以 O 為原點(diǎn)，直線 OC、BO、OM 為 x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖。

二、利用法向量求兩條異面直線間的距離

三、利用法向量求線面所成角

例3：在矩形 ABCD中，已知 AB=1，BQ=2QC=1，PA⊥平面ABCD，且PA=1，求AD與平面PDQ所成角的正弦值。

四、利用法向量求面面所成角

例4：（2009年山東高考理科試題）如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1、F 分別是棱 AD、AA1、AB 的中點(diǎn)。

（1）證明：直線 EE1//平面 FCC1；

（2）求二面角B-FC1-C的余弦值。

在例4第（1）題中，我們還使用法向量證明了線面平行，即證明直線與平面的法向量垂直。類似的，我們還可以使用法向量證明面面平行（垂直），即只需證兩平面的法向量共線（垂直），但這些類型的題直接利用傳統(tǒng)方法也比較容易解答，故在此不加贅述。

法向量引入后降低了對(duì)空間想像能力與幾何作圖能力的要求，簡(jiǎn)化了解題思路與解題運(yùn)算，將復(fù)雜的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了代數(shù)運(yùn)算?？臻g向量為處理立體幾何問(wèn)題提供了新的視角，空間向量的引入，為解決三維空間中的位置關(guān)系和度量關(guān)系提供了一個(gè)十分有效的工具[2]。當(dāng)然，過(guò)分依賴向量方法解決幾何問(wèn)題是不當(dāng)?shù)?，我們?cè)诮虒W(xué)中也應(yīng)該注意：不能過(guò)分強(qiáng)調(diào)向量的機(jī)械化運(yùn)算而忽視對(duì)幾何元素的分析，只見(jiàn)代數(shù)不見(jiàn)幾何?！叭缀位眱A向是應(yīng)該避免的[3]。在教學(xué)中，應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生靈活選用向量方法和綜合方法，從不同的角度解決立體幾何問(wèn)題。

[1]張景中，彭翕成.繞來(lái)繞去的向量法[M].北京：科學(xué)出版社，2010

[2]嚴(yán)士健，張奠宙，王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）解讀[M].南京：江蘇教育出版社，2004

[3]李善佳.高中向量法解題的現(xiàn)狀與研究[D].天津：天津師范大學(xué)，2009

G633.6

A

1009-9530（2011）05-0130-03

2011-07-23

凌啟圣（1980-），男，安徽潛山人，合肥市第一中學(xué)教師。