高斯整數(shù)環(huán)的素元形成與商環(huán)性質(zhì)

戴洋

（山東大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250100）

高斯整數(shù)環(huán)的素元形成與商環(huán)性質(zhì)

戴洋

（山東大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250100）

高斯整數(shù)環(huán)是一種構(gòu)造特殊且具有一定代表性的環(huán)，在代數(shù)環(huán)論中占有重要的地位。既融入了環(huán)論的思想，同時(shí)亦包含有數(shù)論的思想，對(duì)于高斯整數(shù)環(huán)的研究一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)者的重要課題之一，數(shù)學(xué)家們通過(guò)多年的研究，得出了許多重要且富有意義的結(jié)論。在前人研究成果的基礎(chǔ)上，針對(duì)高斯整數(shù)環(huán)中素元的形成和不同主理想下商環(huán)的個(gè)數(shù)，作了進(jìn)一步的探索：

1、分析證明了高斯整數(shù)環(huán)的基本性質(zhì)，論證了高斯整數(shù)環(huán)是歐幾里德整環(huán)，高斯整數(shù)環(huán)是主理想整環(huán)，高斯整數(shù)環(huán)是唯一因式分解整環(huán)。

2、論述了高斯整數(shù)環(huán)素元的形成，分別給出了整數(shù)素元和部分非整數(shù)素元的形式。

3、論述了高斯整數(shù)環(huán)在不同主理想下其商環(huán)的個(gè)數(shù)。對(duì)于高斯整數(shù)環(huán)的主理想，分別給出了當(dāng)（為自然數(shù)），（為自然數(shù)），（為任意整數(shù)）時(shí)，其商環(huán)的個(gè)數(shù)及其證明。

高斯整數(shù)環(huán)；素元；商環(huán)

1 高斯整數(shù)環(huán)的基本性質(zhì)

1.1 高斯整數(shù)環(huán)是歐幾里德整環(huán)

定理1.1.1高斯整數(shù)環(huán)是歐幾里德整環(huán)。

證明：高斯整數(shù)環(huán) Z[i]，設(shè) α∈Z[i]，有

1.2 高斯整數(shù)環(huán)是主理想整環(huán)

定理1.2.1歐幾里德整環(huán)是主理想整環(huán)。

證明：設(shè)R是歐幾里德整環(huán)。任取R的一個(gè)理想I且設(shè)I≠0。取I的一個(gè)非零元b，使得

顯然（b）?I。 反之，設(shè) a∈I，由于 R 是歐幾里德整環(huán)，因此存在 h，r∈R，使得

當(dāng)r≠0時(shí)，則r=a-hb∈I，這與b的取法矛盾。因此 r=0，從而 a=hb∈（b）。 因此 I=（b）。 證畢。

定理1.2.2高斯整數(shù)環(huán)是主理想整環(huán)。

證明：由定理1.1.1和定理1.2.1可知，高斯整數(shù)環(huán)是主理想整環(huán)。證畢。

1.3 高斯整數(shù)環(huán)是唯一因式分解整環(huán)

定理1.3.1整環(huán)R如果滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：

（i）因子鏈條件成立，即如果序列 a1，a2，a3，…中，每一個(gè)ai是ai-1的真因子，則這個(gè)序列是有限序列；

（ii）每一個(gè)不可約元都是素元，則R是唯一因式分解整環(huán)。

證明：設(shè)a是R中非零且非單位的一個(gè)元素。如果a不可約，則a=a。下面設(shè)a可約，則a有真因子。先證a有一個(gè)真因子是不可約的。設(shè)a1是a的一個(gè)真因子。若a1不可約，則a1就是所要找的。若a1可約，則a1有真因子a2。若a2不可約，則a2有真因子a3。如此下去，得到序列

其中每個(gè)元素是前面一個(gè)的真因子。由于R滿(mǎn)足因子鏈條件，因此（1）是有限序列。設(shè)它的最后一項(xiàng)為an。則an是不可約的。易看出an是a的真因子，把 an記作p1，于是a=p1c1。 從而 c1是 a的真因子。若c1不可約，則a分解成了兩個(gè)不可約元p和c1的乘積。若c1可約，顯然c1非零且非單位，由前面的討論知道，c1有真因子p2不可約，于是c1=p2c2，從而c2是c1的真因子。如此下去，得到序列

其中每一個(gè)元素是前面一個(gè)得真因子，由因子鏈條件，序列（2）有限。 設(shè)序列（2）終止于 cs-1。 于是cs-1為ps，則

再證唯一性，設(shè)a有兩種這樣的分解：對(duì)第一種分解式中的不可約元的個(gè)數(shù)s作數(shù)學(xué)歸納法。

s=1 時(shí)，a=p1=q1q2…qt。 假如 t＞1，則

因?yàn)閜1不可約，所以q1是p1的平凡因子，由于q1不是單位，因此q1~p1。于是q1=p1u，其中u為單位。從而

由此推出，1=u （q2…qt）。 從而 q2是單位 i，矛盾。因此t=1。于是p1=q1。

假設(shè)分解式中不可約元的個(gè)數(shù)為s-1時(shí)唯一性成立，討論不可約元的個(gè)數(shù)為s的情形。

由于 p1不可約，根據(jù)已知條件（ii）得，p1為素元。于是從p1|q1q2…qt可推出p1整除某個(gè)qi。通過(guò)改寫(xiě)的qi下標(biāo)可設(shè)p1|q1。由于q1不可約，因此p1~q1。于是p1=q1v，其中v是單位。從而

兩邊消去 q1，得（vp2）……ps=q1q2……qt。 由歸納假設(shè)得，s-1=t-1，即s=t；并且適當(dāng)改寫(xiě)qj的下標(biāo)可以使 vp2~q2，p3~q3，…，ps~qs，從而有

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，唯一性得證。

綜上所述，R為唯一因式分解整環(huán)。證畢。

定理1.3.2主理想整環(huán)是唯一因式分解整環(huán)。

證明：設(shè)R為主理想整環(huán)，設(shè)p為R的一個(gè)不可約元，則p≠0且p非單位，（p）是p生成的理想。于是（p）≠0 且（p）≠R。設(shè) R 的理想 I?（p），因?yàn)?R 是主理想整環(huán)，所以 I=（a）。 從（a）?（p）得出a|p。由于p只是平凡的因子，因此a~p或a是單位。如果 a~p，則（a）=（p）。如果 a 是單位，則（a）=R。因此（p）是R的極大理想。

因?yàn)椋╬）是非零極大理想，從而（p）是非零素理想，因此p是素元。

R 中任取一個(gè)序列 a1，a2，a3，…，其中每個(gè) ai是ai-1的真因子。 于是（ai）■（ai-1）。 從而

綜上所述，R是唯一因式分解整環(huán)。證畢。

2 高斯整數(shù)環(huán)中素元的形成

2.1 Z[i]中的單位

定理2.1.1 Z[i]中的單位只有±1，±i四個(gè)元素。

證明：設(shè) α，β∈Z[i]其中 α=a+bi，由題意知αβ=1，有 φ（αβ）=φ（α）φ（β）=1。 由于 φ（α）、φ（β）是非負(fù)整數(shù)，因此只有 φ（α）=φ（β）=1，即有 φ（α）=a2+b2=1。 由上式得 a=0，b=±1，α=±i或 a=±1，b=0，α=±1，即Z[i]中的單位只有±1和±i四個(gè)元素。證畢。

2.2 Z[i]中的素元當(dāng)且僅當(dāng)是不可約元

定理2.2.1 Z[i]中的素元當(dāng)且僅當(dāng)是不可約元。

證明：充分性：設(shè)α為Z[i]中的不可約元，并有 α|βγ（β，γ∈Z[i]），由定理 1.1.1 和定理 1.2.2 可知：

令 α=ε1δ，β=ε2δ，ε1ε2∈Z[i]。 因?yàn)?α 是 Z[i]的不可約元，故ε1、δ中必有一個(gè)是單位。若ε1是單位，則 δ=ε1-1α，β=（ε2ε1-1）α 即 α|β；若 δ 是單位，由（δ）=（α，β），故可設(shè)δ=ε3α+ε4β，ε3，ε4∈Z[i]。于是 1=δ-1ε2α+δ-1ε4β，則 γ=δ-1ε2αγ+δ-1ε4βγ，由于 α|βγ 及 α|αγ 故α|γ，因此α為Z[i]中的素元。充分性得證。

必要性：設(shè) α是 Z[i]中的素元，若 α=βγ，則有α|β 或 α|γ，不妨設(shè) α|β，可設(shè) β=εα ε∈Z[i]，故 α=βγ=（εγ）α，由于 Z[i]是無(wú)零因子環(huán)，所以有 εγ=1，即得γ是單位，故α是不可約元。必要性得證。

2.3 Z[i]中的整數(shù)素元

對(duì)于環(huán)Z[i]，它的元素可分為兩部分，一部分是整數(shù)，另一部分是形如 a+bi（b≠0）的元素。首先討論整數(shù)集Z中的素元。Z中的非素?cái)?shù)肯定不是Z[i]中的素元，因?yàn)閆[i]中的素元要求除本身及單位外無(wú)其他因子，故只有素?cái)?shù)才可能是Z[i]中的素元。但并非Z中的一切素?cái)?shù)都是Z[i]中的素元，例如素?cái)?shù) 2 在 Z[i]中可分解為 2=（1+i）（1-i），1±i都不是2的相伴元，顯然它不是Z[i]中的素元。一般的，除2外，其他素?cái)?shù)都可以寫(xiě)成4n+1與4n+3的形式，有如下定理：

定理2.3.1有理素?cái)?shù)p為Z[i]中素元的充分必要條件是方程x2+y2=p沒(méi)有整數(shù)解。

證明：必要性：設(shè)p為素元，假設(shè)x2+y2=p有整數(shù)解（x0，y0），則有 p=（x0+y0i）（x0-y0i），且 x0，y0≠0，即p有真因子x0±y0i，與p為素元矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，即 p 為素元，x2+y2=p 沒(méi)有整數(shù)解（x0，y0）。 必要性得證。

充分性：設(shè) x2+y2=p 沒(méi)有整數(shù)解（x0，y0），假設(shè) p不是素元，即 p 可分解。 設(shè) p=（a+bi）（c+di），且 φ（a+bi）≠1，φ（c+di）≠1，則

從而a2+b2|p2或c2+d2|p2， 即p2+b2=p2或c2+d2=p2。 由 c2+d2≠1 知，a2+b2=p。 又由 a，b∈Z 知，x2+y2=p有整數(shù)解（a，b），與假設(shè)矛盾。故假設(shè)錯(cuò)誤，即p為Z[i]中的素元。充分性得證。

定理2.3.2若素?cái)?shù)p可寫(xiě)成4n+3的形式，則p為Z[i]的素元。

證明：由定理2.3.1，只需證4n+3=x2+y2無(wú)整數(shù)解即可。

由于k12+k22只能為 0、1和2，而不可能為 3，故上式不可能成立。即p=4n+3類(lèi)的素?cái)?shù)為Z[i]的素元。證畢。

定理2.3.3形為4n+1類(lèi)的素?cái)?shù)為Z[i]的非素元。

證明：由數(shù)論知，若p=4n+1為素?cái)?shù)，則-1為p的平方剩余，即 x2≡-1（modp）有解，所以存在 a∈Z，使得 p|a2+1。

若 p 為素元，由 p|a2+1=（a+i）（a-i），則有 p|（a+i）或 p|（a-i）。 不妨設(shè) p|（a+i），即（a+i）=p（c+di），這里c，d∈Z，所以1=pd，而這與p=4n+1為素?cái)?shù)矛盾。故p為Z[i]的非素元。證畢。

2.4 Z[i]中的非整數(shù)素元

定理 2.4.1 設(shè) α∈Z[i]，若 φ（α）為素?cái)?shù)，則 α 為Z[i]中的素元。

證明：設(shè) p 為素?cái)?shù)，φ（α）=p，x為 α 的任意因子，設(shè) α=xy，則有 φ（α）=p=φ（x）φ（y），因此 φ（x）=1或 φ（x）=p。

（1）若 φ（x）=1，則 x為一單位，故 x為 α 的平凡因子；

（2）若 φ（x）=p，則 x為 α 相伴元，故 x為 α 的平凡因子；

因此，α的任意因子必為α的平凡因子，故α為Z[i]中的素元。證畢。

定理 2.4.2 若 α∈Z[i]，α?Z，φ（α）=p1p2…pn，pi為素?cái)?shù)，則

（1）若 n=1，則 α 為 Z[i]中的素元；

（2）若 n＞1，則 α 為 Z[i]中的非素元。

證明：（1）由定理 2.4.1所證。

（2）設(shè) α=a+bi，a，b∈Z，b≠0，則 φ（α）=（a+bi）（a-bi）=p1p2…pn。 若 pi（i=1，2，…n）中存在 2 或 4n+1類(lèi)的素?cái)?shù)，不妨設(shè)p2即是，則

由定理1.3.1知Z[i]是唯一因式分解整環(huán)，故a+bi要么為x0+y0i，要么還可繼續(xù)分解。而由p1為素?cái)?shù)可知a+bi不可能為x0+y0i，故此時(shí)α為Z[i]的非素元。若p1p2…pn全為4n+3形式的素?cái)?shù)，那么p1p2…pn即為φ（α）的一個(gè)分解。由唯一分解性，a+bi仍可繼續(xù)分解，顯然其不是素元。證畢。

3 高斯整數(shù)環(huán)的商環(huán)的性質(zhì)

由文[3]的討論，我們只需考慮mn≠0的情形，

[1]丘維生.抽象代數(shù)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2003

[2]石生明.近世代數(shù)初步[M].北京：高等教育出版社，2002

[3]王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2003

[4]王海坤.Gauss整數(shù)環(huán)的諸類(lèi)問(wèn)題探[J].工科數(shù)學(xué)，1999，（15）：3

[5]方輝.高斯整數(shù)環(huán)及其商環(huán)的若干性質(zhì)[J].安徽教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，（20）：6

[6]齊麗麗.Gauss整數(shù)環(huán)及其商環(huán)的幾個(gè)性質(zhì)[J].貴州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008，（30）：1

O153.3

A

1009-9530（2011）05-0017-04

2011-07-12

戴洋（1989-），男，安徽合肥人，山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生。