中立型多延遲微分方程Runge-Kutta方法的散逸性

王素霞，平靜水

（淮南師范學院 數(shù)學與計算科學系，安徽 淮南 232038）

中立型多延遲微分方程Runge-Kutta方法的散逸性

王素霞，平靜水

（淮南師范學院 數(shù)學與計算科學系，安徽 淮南 232038）

研究了中立型多延遲微分方程Runge-Kutta方法的散逸性，給出了Runge-Kutta方法的數(shù)值散逸性結果，此結果表明所考慮的數(shù)值方法繼承了方程本身的散逸性。

中立型多延遲微分方程；Runge-Kutta方法；散逸性

引言

微分方程具有散逸性是指，該系統(tǒng)具有一有界吸引集，從任意初始條件出發(fā)的解經(jīng)過有限時間后進入該吸引集并隨后保持在里面。當用數(shù)值方法求解具有散逸性的系統(tǒng)時，自然希望數(shù)值方法能夠保持這種特性。1994年，Humphries和Stuart[1]首次研究了Runge-Kutta方法對有限維系統(tǒng)的散逸性。2000年，肖愛國[2]研究了Hilbert空間中散逸動力系統(tǒng)一般線性方法的散逸性。同年，黃乘明等[3-5]將該研究擴展到延遲動力系統(tǒng)，獲得了Runge-Kutta方法、線性θ-方法、單支方法的散逸性結果。最近，文立平，王素霞等[6]研究了中立型延遲積分微分方程Runge-Kutta方法的散逸性。2010年，王素霞等[7]研究了中立型多延遲微分方程θ-方法的散逸性。本文研究中立型多延遲微分方程Runge-Kutta方法的散逸性，進一步完善和推廣已有的關于中立型延遲系統(tǒng)的散逸性結果。

1 中立型多延遲微分方程的Runge-Kutta方法

考慮中立型多延遲微分方程初值問題：

其中 τ1，τ2為常量，N∈C是常矩陣，且‖N‖＜1，

這里〈·〉是Cd中的內積，‖·‖是相應的內積范數(shù)，α（t），β1（t），β2（t），γ（t）是已知的定義在區(qū)間[0，+∞]上的有界連續(xù)函數(shù)。

命題 1 若函數(shù) f滿足（2），則 γ（t）≥0，?t≥0。

定義1 稱問題（1）在集合Cd上是散逸的，如果存在一個有界集B?Cd使得對任意的有界集Φ?Cd都存在時刻 t0=t0（Φ），當 t≥t0時，只要初值函數(shù)φ∈Φ，相應的解y（t）∈B。B稱為H中的一個吸引集。

定理 1[7]若 y（t）是問題（1）的解，且滿足條件（2）， 若存在常數(shù) α0，α1，β1，β2，γ0使得對?t≥0 有α1≤α（t）≤α0≤0，0≤β1（t）≤β1，0≤β2（t）≤β2，γ（t）≤γ0，且

則問題（1）是散逸的。這里 τ=max（τ1，τ2），τ~=min（τ1，τ2）。

考慮 s級 Runge-Kutta 方法，用（A，b，c）表示，當它用于求解問題（1）時表示如下

[1]A.R.Humphries，A.M.Stuart.Runge-Kutta methods for dissipative and gradient dynamical systems[J].SIAM J.Numer.Anal.， 1994，（31）：1452-1485

[2]肖愛國.Hilbert空間中散逸動力系統(tǒng)一般線性方法的散逸穩(wěn)定性[J].計算數(shù)學，2000，22（4）：501-506

[3]C.Huang.Dissipativity of Runge-Kutta methods for dynamical systems with delays[J].IMA J.Numer.Anal.，2000，（20）：153-166

[4]黃乘明，陳光南.延遲動力系統(tǒng)線性 -方法的散逸性[J].計算數(shù)學，2000，22 （4）：501-506

[5]C.Huang.Dissipativity of one-leg methods for dynamical systems with delays[J].Appl.Numer.Math.，2000，（35）：11-22

[6]L.Wen，S.Wang，Y.Yu.Dissipativity of Runge-Kutta methods for neutral delay integro-differenti al equations[J].Applied Mathematics and Computation，2009，215（2）：583-590

[7]王素霞等.中立型多延遲微分方程θ-方法的散逸性[J].安慶師范學院學報（自然科學版），2010，16（4）：7-11

Dissipativity of Runge-Kutta methods for neutral multi-delay differential equations

WANG Su-xia，PING Jing-shui

This paper concerns with the dissipativity of Runge-Kutta methods for neutral multi-delay differential equations.The dissipativity result is given for Runge-Kutta methods.The result shows that the numerical methods inherit the dissipativity of the equations.

neutral multi-delay differential equations；Runge-Kutta methods； dissipativity

O241.81

A

1009-9530（2011）05-0014-03

2011-01-20

淮南師范學院青年教師科研資助項目（2010QNL04）

王素霞（1982-），女，河南周口人，淮南師范學院數(shù)學與計算科學系助教，碩士，研究方向：微分方程數(shù)值解。