奇異（k，n－k）共軛多點(diǎn)邊值問題方程組的正解

江衛(wèi)華，陳志紅

（河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018）

奇異（k，n－k）共軛多點(diǎn)邊值問題方程組的正解

江衛(wèi)華，陳志紅

（河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018）

對(duì)固定的1≤k≤n－1，運(yùn)用錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理，研究了具有奇性的（k，n－k）共軛多點(diǎn)邊值問題方程組正解的存在性。

奇異；（k，n－k）共軛多點(diǎn)邊值問題；正解；不動(dòng)點(diǎn)定理

在文獻(xiàn)［1］中，蔣達(dá)清等對(duì)奇異（k，n－k）共軛2點(diǎn)邊值問題

進(jìn)行了討論，并在超線性和次線性的條件下，運(yùn)用錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理，得出了該方程的正解存在性。在文獻(xiàn)［2］中，蔣達(dá)清又對(duì)此問題進(jìn)行了更進(jìn)一步的研究，給出了格林函數(shù)的精確表達(dá)式。

在文獻(xiàn)［3］中，張國(guó)偉等應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論，得到了奇異（k，n－k）共軛邊值問題（－1）n－kφ（n）（x）＝h（x）f（φ（x）），0＜x＜1，n≥2，1≤k≤n－1分別在邊界條件：

下正解的存在性結(jié)果。對(duì)方程組的研究也已有很多結(jié)果，讀者可參見文獻(xiàn)［4］—文獻(xiàn)［9］，但對(duì)（k，n－k）共軛多點(diǎn)邊值問題方程組的研究，據(jù)筆者所知還未有結(jié)論。

受到以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，筆者討論多點(diǎn)奇異（k，n－k）共軛邊值問題方程組

下面的錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理，是本文的關(guān)鍵定理，其證明可見文獻(xiàn)［7］。

1 主要引理

引理1［2］方程（1）的格林函數(shù)為

引理4［3］假設(shè)Ⅰ）、Ⅱ）成立，則算子T為全連續(xù)算子。

證明 要證T為全連續(xù)算子，只需證明T1，T2全連續(xù)。下面給出T1全連續(xù)的證明，記作

于是T1＝A1＋A2，由文獻(xiàn)［2］知A1為全連續(xù)算子，易見A2為全連續(xù)算子，所以T1全連續(xù)。用類似的方法，可以得出T2全連續(xù)。所以算子T為全連續(xù)算子。

2 主要結(jié)果

所以，由式（6）、式（7）和定理1知，算子T在P∩（ˉΩ2＼Ω1）中有1個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。證畢。

注：考慮函數(shù)f1（x，y）＝｜sin（x＋y）｜＋｜c(diǎn)os（x＋y）｜，f2（x，y）＝e－（x＋y），顯然，當(dāng)（x，y）∈［0，＋∞］×［0，＋∞］時(shí)，函數(shù)連續(xù)、非負(fù)，且滿足假設(shè)條件Ⅳ）。

［1］ JIANG Da－qing，LIU Hui－zhao．Existence of positive solutions to（k，n－k）conjugate boundary value problems［J］．Kyushu J Math，1999，53（1）：115－125．

［2］ 蔣達(dá)清．奇異（k，n－k）共軛邊值問題的正解［J］．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)報(bào)（Acta Mathematica），2001，44（3）：541－548．

［3］ 張國(guó)偉，孫經(jīng)先．奇異（k，n－k）多點(diǎn)邊值問題的正解［J］．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)報(bào)（Acta Mathematica Sinica），2006，49（2）：391－398．

［4］ XI Shou－liang，JIA Mei，JI Hui－Peng．Positive solutions of boundary value problems for systems of second－order differential equations with integral boundary condition on the half－line［J］．Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations，2009，31：1－13．

［5］ HU Ling，WANG Liang－long．Multiple positive solutions of boundary value problems for systems of nonlinear second－order differential equations［J］．J Math Anal Appl，2007，335：1 052－1 060．

［6］ JIANG Wei－h(huán)ua，CHEN Zhi－h(huán)ong．Positive solutions for systems of two－point（k，n－k）conjugate boundary value problems［A］．2010 First International Conference on Cellular，Molecular Biology，Biophysics and Bioengineering［C］．［s．L．］：［s．n．］2010．420－422．

［7］ KRASNOSELSKII M．Positive Solutions of Operator Equations［M］．Groningen：Noordhoof，1964．

［8］ 王 斌，江衛(wèi)華，黃曉芹，等．帶有p－Laplacian算子的二階微分方程組多個(gè)正解的存在性［J］．河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)（Journal of Hebei University of Science and Technology），2011，32（1）：15－19．

［9］ 董士杰，周長(zhǎng)杰．帶p－Laplacian算子時(shí)滯微分方程多點(diǎn)邊值問題的正解［J］．河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)（Journal of Hebei University of Science and Technology），2010，31（5）：385－389．

Positive solutions to system of singular（k，n－k）conjugate multi－point boundary value problems

JIANG Wei－h(huán)ua，CHEN Zhi－h(huán)ong
（College of Sciences，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang Hebei 050018，China）

As 1≤k≤n－1，by using the fixed－point theorem of cone expansion and compress，the existence of positive solutions to a system of singular（k，n－k）conjugate multi－point boundary value problems is studied．

singular；（k，n－k）conjugate multi－point boundary value problem；positive solutions；fixed－point theorems

O121

A

1008－1542（2011）04－0303－05

2011－03－06；責(zé)任編輯：張 軍

江衛(wèi)華（1964－），女，河北邯鄲人，教授，博士，主要從事應(yīng)用泛函分析、常微分方程邊值問題方面的研究。