含有微孔的超彈性球體的徑向增長(zhǎng)問(wèn)題

高 洋，韋 濤

(大連民族學(xué)院理學(xué)院學(xué)生遼寧大連 116605)

含有微孔的超彈性球體的徑向增長(zhǎng)問(wèn)題

高 洋，韋 濤

(大連民族學(xué)院理學(xué)院學(xué)生遼寧大連 116605)

橡膠和類橡膠材料及其制品在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用非常廣泛，在使用過(guò)程中都會(huì)遇到變形、失穩(wěn)、使用壽命有限以及破壞等問(wèn)題，使得相關(guān)問(wèn)題的研究一直是人們關(guān)注的焦點(diǎn)。從力學(xué)性能上講，這些材料屬于典型的非線性彈性材料范疇。關(guān)于這些材料和結(jié)構(gòu)的有限變形問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可歸結(jié)為非線性微分方程的初邊值問(wèn)題。專著［1］和文獻(xiàn)［2］對(duì)非線性彈性材料和結(jié)構(gòu)的有限變形問(wèn)題和空穴問(wèn)題的研究進(jìn)展進(jìn)行了詳實(shí)的綜述。相關(guān)的文獻(xiàn)還可參見(jiàn)文獻(xiàn)［3－6］。本文研究了由不可壓縮非線性彈性材料組成的含有微孔的球體在外表面受拉狀態(tài)下的有限變形問(wèn)題，利用最小勢(shì)能原理求得了描述拉伸載荷與微孔增長(zhǎng)之間關(guān)系的表達(dá)式，同時(shí)給出了相應(yīng)的數(shù)值算例，并討論了材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)微孔增長(zhǎng)的影響。

1 數(shù)學(xué)模型的建立及其解

考察一個(gè)由不可壓的非線性彈性材料組成的含有微孔的球體在外表面均布的徑向拉伸載荷p0作用下的球?qū)ΨQ變形問(wèn)題。在球坐標(biāo)系下，取球殼變形前后的球坐標(biāo)分別為(R，Θ，Φ)和(r，θ，φ)，球殼所占區(qū)域?yàn)槠渲?a和b分別為球體變形前的微孔半徑和外半徑;r(R)是待定的徑向變形函數(shù)。在球?qū)ΨQ變形的假設(shè)下，變形梯度張量F的主伸長(zhǎng)λi(i=1，2，3)分別為其中c≥a是一個(gè)積分常數(shù)，它描述了含有微孔的球體變形后的徑向增長(zhǎng)量。

對(duì)應(yīng)于球體內(nèi)部空穴半徑為a的任意構(gòu)形的總能量為

由于球體受到拉伸載荷的作用，根據(jù)最小勢(shì)能原理，球體可能的平衡位置可由Λ'(x)=0得到。經(jīng)化簡(jiǎn)可得其中:W=W(λ1，λ2，λ3)是不可壓縮非線性彈性材料的應(yīng)變能函數(shù)。式(4)中的第一項(xiàng)是總的應(yīng)變能，第二項(xiàng)表示外表面拉伸載荷所做的功。將式(3)和(4)代入到式(5)，并將其無(wú)量綱化，得到

式(7)描述了不可壓縮非線性彈性材料組成的含有微孔的球體在外表面拉伸載荷p0作用下，微孔增長(zhǎng)p0與之間的精確關(guān)系。然而對(duì)于不同的不可壓縮非線性彈性材料，微孔的增長(zhǎng)的情況也不盡相同。

2 數(shù)值算例

本文考慮不可壓縮Gent－Thomas材料，對(duì)應(yīng)的應(yīng)變能函數(shù)為其中μ1，μ2是材料的無(wú)窮小變形的剪切模量。此

圖1 材料參數(shù)α取相對(duì)較小值時(shí)微孔半徑與拉伸載荷之間的增長(zhǎng)關(guān)系，α=1。

由圖1可見(jiàn)，對(duì)于給定的材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)，當(dāng)初始微孔半徑較小時(shí)，隨著拉伸載荷的增加，微孔增長(zhǎng)得很慢，當(dāng)載荷達(dá)到一定值時(shí)，微孔會(huì)突然增長(zhǎng);當(dāng)初始微孔半徑相對(duì)較大時(shí)，隨著拉伸載荷的增加，微孔的增長(zhǎng)會(huì)趨于平緩。

由圖2可見(jiàn)，對(duì)于給定的材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)，參數(shù)存在一個(gè)臨界值，當(dāng)時(shí)，隨著拉伸載荷的增加，微孔的增長(zhǎng)會(huì)趨于平緩;然而，當(dāng)時(shí)，隨著拉伸載荷的增加，微孔半徑會(huì)出現(xiàn)跳躍性增長(zhǎng)(這種現(xiàn)象可以用最小勢(shì)能原理來(lái)進(jìn)行解釋)。

圖2 材料參數(shù)α取相對(duì)較大值時(shí)微孔半徑與拉伸載荷之間的增長(zhǎng)關(guān)系，α=3。

［1］FU Y B，OGDEN R W.Nonlinear Elasticity:Theory and Applications［M］.London Math.Society Lecture Note Series 2001.

［2］POLIGNONE D A，HORGAN C O.Cavitation for incompressible anisotropic nonlinearly elastic spheres［J］.外應(yīng)變能函數(shù)(8)也可記為對(duì)于不同的材料參數(shù)，載荷與微孔半徑的增長(zhǎng)關(guān)系如下圖所示:Journal of Elasticity，1993，33(1):27–65.

［3］ YUAN Xuegang，ZHU Zhengyou，CHENG Changjun.Study on cavitated bifurcation problem for spheres composed of hyper－elastic materials［J］.Journal of Engineering Mathematics，2005，51(1):15－34.

［4］袁學(xué)剛.關(guān)于超彈性材料球體中空穴分岔問(wèn)題的研究(Ⅰ)［J］.煙臺(tái)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2005，18(2):79－90.

［5］REN Jiusheng，YUAN Xuegang.Mechanics of formation and rupture of human aneurysm ［J］.Applied Mathematics and Mechanics(English Edition)，2010，31(5):593－604.

［6］NIU Datian，ZHANG You，YUAN Xuegang，et al.Analytic Solutions of Parametric Type and Numerical Simulations of a Class of Nonlinear Ordinary Differential Equations［J］.Applied Mathematical Sciences，2010，4(30):1451－1455.

0343

A

1009－315X(2011)05－0530－02

2010－12－07;最后

2011－07－26

國(guó)家自然科學(xué)基金(10872045)。

指導(dǎo)教師:袁學(xué)剛(1971－)，男，吉林樺甸人，教授，博士，學(xué)校優(yōu)秀學(xué)術(shù)帶頭人，主要從事數(shù)值逼近和非線性微分方程的解法等研究。

(責(zé)任編輯 劉敏)