一個(gè)含特殊函數(shù)的Hardy-Hilbert型不等式

黃裕建

(廣東輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院教務(wù)處，廣東廣州 510300)

一個(gè)含特殊函數(shù)的Hardy-Hilbert型不等式

黃裕建

(廣東輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院教務(wù)處，廣東廣州 510300)

通過(guò)引進(jìn)一個(gè)0次齊次核并估算權(quán)函數(shù)，獲得一個(gè)含Polygamma函數(shù)的具有最佳常數(shù)因子的Hardy-Hilbert型不等式.

Hardy-Hilbert型不等式;權(quán)函數(shù);H?lder不等式;最佳常數(shù)因子;特殊函數(shù)

0 引言

19世紀(jì)初期，經(jīng)過(guò)德國(guó)數(shù)學(xué)家HILBERT D、英國(guó)數(shù)學(xué)家HARDY G H和REISZ M等人的努力，建立了著名的Hardy-Hilbert不等式［1］:

Hardy-Hilbert不等式自創(chuàng)立100年來(lái)，吸引了不少數(shù)學(xué)家的關(guān)注及研究，對(duì)其做了大量的改進(jìn)和推廣等工作［2-5］.自1991年，沿用權(quán)系數(shù)方法和參量化方法，Hardy-Hilbert型不等式的發(fā)展經(jīng)歷了從-1齊次核到負(fù)數(shù)齊次核，再推廣到實(shí)數(shù)齊次核與非齊次核［6-10］.

本文應(yīng)用權(quán)函數(shù)的方法，建立了一個(gè)0次齊次的用特殊函數(shù)表示其最佳常數(shù)因子的Hardy-Hilbert不等式，并給出相應(yīng)的等價(jià)形式.

1 引理

更進(jìn)一步，Polygamma函數(shù)也可以定義為［12］，則有

引理1設(shè)－1＜λ＜1，分別定義權(quán)函數(shù)φ(λ，x)與ψ(λ，y)為

證明 配方，由帶權(quán)的H?lder不等式［5］，對(duì)y∈(0，∞)，結(jié)合引理1，得

2 主要結(jié)果

這里，常數(shù)因子C(λ)與Cp(λ)均為最佳值.

證明 若式(8)對(duì)某個(gè)y＞0取等號(hào)，則有不全為0的常數(shù)A，B，使

配方并由H?lder不等式［4］，得

由式(10)，得式(9).反之，設(shè)式(9)成立.令

因此式(10)成立并與式(9)等價(jià).

下證式(9)常數(shù)因子C(λ)是最佳的.事實(shí)上，任給ε＞0，令fε(x)=gε(x)=0，x∈(0，1);).若存在常數(shù)0＜k≤C(λ)，取代C(λ)后式(9)仍成立，代入fε(x)，gε(x)，則

由式(12)與(13)得C(λ)+ο(1)＜k，即C(λ)≤k(ε→0+).從而k=C(λ)為式(9)的最佳值.另外，式(10)的常數(shù)因子亦為最佳，否則由式(10)將得到式(9)的常數(shù)因子亦非最佳值，矛盾.證畢.

［1］ HARDY G H，LITTLEWOOD J E，POLYA G.Inequalities［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1952.

［2］ MINTRINOVIC D S，PECARIC J E，F(xiàn)INK A M.Inequalities involving functions and their integrals and derivatives［M］.Boston:Kluwer Academic Publishers，1991.

［3］ 楊必成.算子范數(shù)與Hilbert型不等式［M］.北京:科學(xué)出版社，2009.

［4］ 胡克.解析不等式的若干問(wèn)題［M］.2版.武漢:武漢大學(xué)出版社，2007.

［5］ 匡繼昌.常用不等式［M］.濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004.

［6］ XU Lizhi，GUO Yongkang.Note on Hardy-Riesz’s extension of Hilbert’s inequality［J］.Chin Quart J Math，1991，6(1):75-77.

［7］ GAO Mingzhe，HSU L C.A survey of various refinements and generalizations of Hilbert’s inequalities［J］.J Math Res Exposition，2005，25(2): 227-243.

［8］ 楊必成.一個(gè)Hilbert型積分不等式［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2007，34(2):121-124.

［9］ YANG Bicheng.On Hilbert’s integral inequality［J］.J Math Anal Appl，1998(220):778-785.

［10］和炳，楊必成.一個(gè)核帶超幾何函數(shù)的0次齊次的Hilbert型積分不等式［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2010，40(18):203-211.

［11］王竹溪，郭敦仁.特殊函數(shù)論［M］.北京:科學(xué)出版社，1979.

［12］RAINVILLE E D.Special Functions［M］.New York:Chelsea Publishing Company，1971.

A Hardy-Hilbert Type Inequality with a Special Function

HUANG Yu-jian

(Teaching Affairs Office，Guangdong Industry Technical College，Guangzhou510300，China)

By introducing a 0-homogeneous kernel and estimating the weight function，a Hardy-Hilbert type inequality with a Polygamma function and the best constant factor is obtained.

Hardy-Hilbert type inequality;weight function;H?lder’s inequality;best constant factor;special function

O178

A

1007-0834(2011)04-0010-03

10.3969/j.issn.1007-0834.2011.04.004

2011-09-05

廣東省教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃資助項(xiàng)目(2010TJK137)

黃裕建(1969—)，女，廣東河源人，廣東輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院教務(wù)處副教授，主要研究方向:不等式及數(shù)學(xué)教育.