地面搜索路徑的“S式”折線模型和螺線模型

劉曉妍,呂濯纓,高國(guó)成

(山東科技大學(xué)公共課部,山東濟(jì)南 250031)

地面搜索路徑的“S式”折線模型和螺線模型

劉曉妍,呂濯纓,高國(guó)成

(山東科技大學(xué)公共課部,山東濟(jì)南 250031)

2008年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題是關(guān)于汶川大地震的地面搜索問(wèn)題.為尋找用時(shí)最短的搜索路徑,主要從縮短不搜索時(shí)的行進(jìn)路線考慮,建立了“S式”折線模型和螺線模型,并對(duì)模型結(jié)果進(jìn)行理論驗(yàn)證,其中螺線模型的方法構(gòu)思巧妙,結(jié)果合理且較優(yōu).

地面搜索;曲線積分;“S式”折線模型;螺線模型

1 問(wèn)題重述

需要解決的問(wèn)題是:震后受災(zāi)地區(qū)地面搜索路線設(shè)計(jì)問(wèn)題.通過(guò)對(duì)搜索問(wèn)題[1-2]的簡(jiǎn)化,確定了1個(gè)大小為11 200 m×7 200 m的平面矩形目標(biāo)區(qū)域(如圖1).搜索過(guò)程的條件及要求如下:

(1)以區(qū)域中心O為出發(fā)點(diǎn),搜索完成后,搜索隊(duì)伍在左側(cè)短邊中點(diǎn)P處集結(jié);

(2)每個(gè)人的可探測(cè)半徑為20 m,搜索時(shí)行進(jìn)速度為0.6 m/s,無(wú)需搜索時(shí)行進(jìn)速度為1.2 m/s;

(3)搜索隊(duì)伍若干人為1組,每組有1名組長(zhǎng);

(4)設(shè)備配置情況為:GPS定位儀每人1臺(tái),步話機(jī)每人1部(通信半徑為1 000 m),組長(zhǎng)配有衛(wèi)星電話1部.搜索過(guò)程中,每個(gè)人搜索到目標(biāo),都需要用步話機(jī)及時(shí)向組長(zhǎng)報(bào)告,組長(zhǎng)再用衛(wèi)星電話向指揮部報(bào)告搜索的最新結(jié)果.

問(wèn)題 有1支20人1組的搜索隊(duì)伍,擁有1臺(tái)衛(wèi)星電話.需要設(shè)計(jì)1種耗時(shí)最短的搜索路徑,并求出搜索完整個(gè)區(qū)域的時(shí)間.看能否在48 h內(nèi)完成搜索任務(wù),若不能,需要增加多少人才可在48 h內(nèi)完成搜索任務(wù).

2 模型假設(shè)

(1)假設(shè)搜索區(qū)域內(nèi)任2點(diǎn)之間都可直線抵達(dá),即行進(jìn)過(guò)程中無(wú)障礙物抵擋;

(2)假設(shè)搜索過(guò)程中,搜索人員一直處在行進(jìn)狀態(tài)中,不會(huì)因通話或其他情況而延誤時(shí)間;

(3)假設(shè)搜索過(guò)程中2隊(duì)員間距始終保持40 m不變.

圖1 搜索區(qū)域Fig.1 Searching area

3 模型建立和求解

3.1 “S式”折線模型

3.1.1 思路分析

根據(jù)題意給出如下搜索方式:搜索隊(duì)員統(tǒng)一行動(dòng),站成1排,一起平移.每個(gè)隊(duì)員互相間隔40 m,則最遠(yuǎn)兩隊(duì)員之間間隔為760 m,在步話機(jī)通信半徑1 000 m內(nèi),而1排隊(duì)員橫向探測(cè)距離可達(dá)800 m.考慮用“S式”折線型搜索路線,搜索隊(duì)行進(jìn)路線如圖2.

首先直接從O點(diǎn)徒步到A點(diǎn),在行進(jìn)過(guò)程中隊(duì)員邊走邊散開(kāi)排成1排,待全體隊(duì)員到達(dá)后一起向B搜索,而后轉(zhuǎn)彎沿“S式”折線行進(jìn).由矩形邊長(zhǎng)7 200 m可知,搜索隊(duì)員共走了9行及8段轉(zhuǎn)彎距離,最終隊(duì)員一起走到C處,然后徒步走到終點(diǎn)P.其中,搜索隊(duì)員在邊界上轉(zhuǎn)彎時(shí)每人要徒步直線行進(jìn)800 m.

圖2 “S式”折線型搜索路線Fig.2 “S-style”broken l ine searching path

3.1.2 模型的建立與求解

3.1.3 結(jié)果檢驗(yàn)

3.2 螺線模型

3.2.1 思路分析

由于“S式”折線模型中的多處轉(zhuǎn)彎平移浪費(fèi)時(shí)間,故考慮搜索隊(duì)員沿某連續(xù)曲線從中心向外進(jìn)行搜索時(shí),搜索完整個(gè)矩形區(qū)域的用時(shí)情況.因每個(gè)人搜索時(shí)的可探測(cè)半徑為20 m,20人一字排開(kāi)可探測(cè)的橫向距離為800 m,此距離在步話機(jī)通信半徑1 000 m之內(nèi),所以可讓20人沿等距螺線ρ=aθ向外依次放大搜索.為滿足要求,螺距2πa應(yīng)接近于800 m,于是有2πa=800 m可得a≈127 m.若在中心處就按螺線搜索,重復(fù)路徑較多,因此先在400 m×800 m的范圍內(nèi)沿直線搜索,后從θ=處向外沿螺線ρ=127θ搜索.搜索至θ=10π后再進(jìn)入右側(cè)未搜索區(qū)域,按“S式”折線型搜索,搜索完成后進(jìn)入螺旋線左側(cè)未搜索區(qū)域仍按“S式”折線型搜索,最后回集結(jié)點(diǎn).

3.2.2 模型建立與求解

(1)模型準(zhǔn)備

為描述方便,借助平面螺線的參數(shù)方程,利用Mathematic作圖[3],將矩形搜索區(qū)域分成4部分進(jìn)行討論(圖3).

區(qū)域Ⅰ:400 m×800 m的矩形區(qū)域,位于整個(gè)搜索區(qū)域中心部分(注:螺線所在坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)位于搜索區(qū)域中心上方200 m處);

區(qū)域Ⅲ:螺旋線區(qū)域右側(cè)1 600 m×7 200 m的矩形區(qū)域;

區(qū)域Ⅳ:螺旋線區(qū)域左側(cè)2 000 m×7 200 m的矩形區(qū)域.

(2)模型建立

圖3 螺線模型搜索路線Fig.3 Spiralmodel searching path

搜索隊(duì)伍從O點(diǎn)徒步行至中心矩形區(qū)域左邊界,一字排開(kāi)向右搜索400 m至區(qū)域Ⅰ右邊界,完成區(qū)域Ⅰ的搜索;然后于θ=處沿螺旋線搜索至A處(θ=10π),完成區(qū)域Ⅱ的搜索;從A徒步沿直線至B,向下搜索7 200 m至整個(gè)區(qū)域下邊界,再折向上搜索7 200 m至整個(gè)區(qū)域上邊界C處,完成區(qū)域Ⅲ的搜索;從C處沿直線徒步至D處,行程11 200-2 000=9 200 m,D處距左邊界2 000 m,從D處向下搜索至整個(gè)區(qū)域邊界,再折向上搜索至上邊界E處,由于E處距左邊界400 m,因此將搜索隊(duì)員平均分為2組,分別記為甲組和乙組,讓2組隊(duì)員同時(shí)出發(fā),甲組先搜索1 800 m后徒步行進(jìn)1 800 m,而乙組則先徒步行進(jìn)1 800 m后搜索1 800 m,對(duì)于剩下的區(qū)域甲乙組重復(fù)上述過(guò)程,同一時(shí)間到達(dá)F點(diǎn)后2組再一起徒步行進(jìn)3 600 m到達(dá)集結(jié)點(diǎn)P處,從而完成區(qū)域Ⅳ的搜索.

(3)模型求解

3.2.3 結(jié)果檢驗(yàn)

由3.1.3知,搜索時(shí)間下限為46.67 h,由于螺線模型的結(jié)果48.73 h大于46.67 h,故該模型具有一定的合理性和可行性,同時(shí)該模型的結(jié)果較“S式”折線模型的結(jié)果(50.52 h)改進(jìn)很多.

3.3 增加人數(shù)的確定

4 模型評(píng)價(jià)

(1)模型優(yōu)點(diǎn) 通過(guò)一些合理的假設(shè),采用了由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、逐步深入的方法進(jìn)行分析,建立“S式”折線模型和螺線模型,其中采用螺線模型進(jìn)行搜索的方法構(gòu)思巧妙.

(2)模型不足 螺線模型中對(duì)螺線區(qū)域的4個(gè)邊角處的搜索進(jìn)行了忽略,故搜索區(qū)域不能覆蓋整個(gè)目標(biāo)區(qū)域,對(duì)結(jié)果必然產(chǎn)生一定的影響.

(3)模型推廣 以上模型可廣泛應(yīng)用到大規(guī)模的農(nóng)業(yè)播種收割、廣場(chǎng)的清潔工作等,能夠提高工作效率.

[1] 姜啟源.數(shù)學(xué)模型[M].2版.北京:高等教育出版社,1993.

[2] 葉其孝.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽輔導(dǎo)教材[M].長(zhǎng)沙:湖南教育出版社,1997.

[3] 萬(wàn)福永,戴浩暉.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教程[M].北京:科學(xué)出版社,2003.

“S-Style”Broken L ineModel and SpiralModel About Ground Searching Path

L IU Xiao-yan,LV Zhuo-ying,GAO Guo-cheng

(Depar tm ent of Public Courses,Shandong University of Science and Technology,Jinan250031,China)

The question C in 2008 NationalUndergraduateMathematicalContest inModeling is about theWenchuan Earthquake ground searching problem.To find the search path with the shortest time,mainly consider to shorten the route of non-searching,establish“S-style”broken line model and spiralmodel,and verify the models theoretically:spiralmodel is ingenious and its result is reasonable and better.

ground search;curve integral;“S-style”broken line model;spiralmodel

O141.4

A

1007-0834(2011)01-0007-03

10.3969/j.issn/1007-0834.2011.01.003

2010-10-26

山東科技大學(xué)教育教學(xué)研究“群星計(jì)劃”資助項(xiàng)目(QX102175)

劉曉妍(1976—),女,山東威海人,山東科技大學(xué)公共課部講師.