一類非線性拋物方程初值問題整體解的存在唯一性

侯長順,代輝亞

(1.河南工業(yè)大學理學院,河南鄭州450052;2.河南工業(yè)大學人事處,河南鄭州 450052)

一類非線性拋物方程初值問題整體解的存在唯一性

侯長順1,代輝亞2

(1.河南工業(yè)大學理學院,河南鄭州450052;2.河南工業(yè)大學人事處,河南鄭州 450052)

利用壓縮映射原理和解的延拓定理證明一類非線性拋物方程初值問題的整體廣義解和整體古典解的存在唯一性.

非線性拋物方程;初值問題;壓縮映射原理;局部解;整體解

0 引言

本文研究下列非線性拋物方程的初值問題

其中α>0為常數(shù),f,σ,h,g為給定的非線性函數(shù),u0(x)為給定的初值函數(shù).方程(1)和如下的非線性拋物方程

有緊密聯(lián)系,其中α,β,γ>0為常數(shù).顯然方程(1)是方程(3)的特殊情況,包含GBBM方程和Sobolev-Galpern型方程.對于方程(3),文獻[1]證明了初邊值問題解的存在唯一性,并研究了解的漸進性和解的爆破性.文獻[2-4]主要研究了GBBM方程和Sobolev-Galpern型方程的周期邊值問題,初值問題和初邊值問題,證明了弱解的存在性并研究了解的漸進性.本文將在分數(shù)次Sobolev空間C([0,∞);Hs(R))中證明初值問題(1)、(2)整體強解的存在唯一性,并且當s>5/2時初值問題存在整體古典解.

1 預備知識

定義1對任意T,如果u∈C([0,T];Hs(R))(s≥2)滿足積分方程(5),則稱u(x,t)為積分方程(5)的連續(xù)解或初值問題(1)、(2)的廣義解.如果T<∞,則稱u(x,t)是初值問題(1)、(2)的局部廣義解;如果T=∞,則稱u(x,t)是初值問題(1)、(2)的整體廣義解.

2 問題(1)、(2)的整體解的存在唯一性

2.1 問題(1)、(2)的局部廣義解的存在唯一性

本節(jié)將利用壓縮映射原理證明積分方程(5)的局部連續(xù)解的存在唯一性,即證明問題(1)、(2)有唯一局部廣義解.為此,先定義函數(shù)空間X(T)=C([0,T];Hs(R))(s>3/2),并賦予范數(shù)

現(xiàn)證明S是嚴格壓縮的.令T和w1,w2∈P(M,T)是給定的,利用引理3,積分型Minkowski及Minkowski不等式,從(6)知

2.2 問題(1)、(2)整體解的存在唯一性

定理2假設s≥2,u0∈Hs(R),f∈C[s]+1(R),g∈C[s]+2(R),h∈C[s]+1(R),σ∈C[s](R),σ(0)=0,則問題(1)、(2)存在唯一解C([0,T0);Hs(R)),其中[0,T0)是最大時間區(qū)間,如果

定理4假設s≥2,u0∈Hs(R),f∈C[s]+1(R),g∈C[s]+2(R),h∈C[s]+1(R),σ∈C[s](R),σ(0)= 0,且存在常數(shù)A,B,D,E滿足h′(s)≥B,g′(s)≥D,g″(s)≥E,σ′(s)≤A,則問題(1)、(2)有唯一整體廣義解u(x,t)∈C([0,∞);Hs(R)).

注:當s>5/2時u(x,t)∈C([0,∞);C2(R))是問題(1)、(2)的整體古典解.

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Existence and Uniqueness of Global Solution Cauchy Problem of a Class of Nonlinear Parabolic Equations

HOU Chang-shun1,DA IHui-ya2
(1.College of Science,Henan University of Technology,Zhengzhou450052,China; 2.Personnel D ivision,Henan University of Technology,Zhengzhou450052,China)

Prove existence and uniqueness of global generalized solution and global classical solution for Cauchy problem of a class of nonlinear parabolic equations by contractive principle and extensive theorem of solution.

nonlinear parabolic equation;Cauchy problem;contraction mapping principle;local solution; global solution

O157.2

A

1007-0834(2011)01-0001-04

10.3969/j.issn.1007-0834.2011.01.001

2010-11-25

河南省教育廳自然科學基金(2009B110007);河南工業(yè)大學?；?10XPT002)

侯長順(1980—),男,河南平頂山人,河南工業(yè)大學理學院講師.