線性微分方程解函數(shù)線性無關(guān)的幾種證法

胡 博，王明建

(1.河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，河南鄭州 450052;2.鄭州師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，河南鄭州 450044)

線性微分方程解函數(shù)線性無關(guān)的幾種證法

胡 博1，王明建2

(1.河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，河南鄭州 450052;2.鄭州師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，河南鄭州 450044)

對于一般的常系數(shù)高階線性微分方程，其解函數(shù)是否能構(gòu)成方程的基本解組，需要證明其線性無關(guān).利用行列式展開的直接法、高等代數(shù)中證明函數(shù)線性無關(guān)的定義法、算子法，并輔助反證法給出了詳細(xì)的證明過程.

常系數(shù);高階線性微分方程;解函數(shù);基本解組;線性無關(guān);算子

0引言

對于一般的常系數(shù)高階線性微分方程

其中系數(shù)ai(i=1，2，…，n)都是常數(shù)，其解函數(shù)x1(t)，x2(t)，…，xn(t)是否可以構(gòu)成方程(1)的基本解組，需要證明它們是線性無關(guān)的，然而當(dāng)(1)對應(yīng)的特征方程有重根時，證明有一定的難度.本文利用行列式展開的直接法、高等代數(shù)中證明函數(shù)線性相(無)關(guān)的定義法、算子法，并輔助反證法給出了詳細(xì)的證明過程，使這部分內(nèi)容趨于完善.

1 主要結(jié)果及證明

引理1［1］方程(1)的n個解函數(shù)x1(t)，x2(t)，…，xn(t)的Wronski行列式為

這里t∈［a，b］.

引理2［1］方程(1)的n個解函數(shù)x(t)，x(t)，…，x(t)(t∈［a，b］)線性無關(guān)的充要條件是其Wronski

12n行列式

引理3［1］對應(yīng)于方程(1)的特征方程是

定理1［2］如果λ1，λ2，…，λm是(4)的兩兩不相同的非零根，它們的重數(shù)分別是k1，k2，…，km，且k1+k2+…+km=n，那么對應(yīng)于方程(1)的n個解函數(shù)

構(gòu)成方程(1)的基本解組.

證明1(行列式直接計算法)

不失一般性，可設(shè)重數(shù)k1≤k2≤…≤km，欲證方程(1)的n個解函數(shù)x1(t)，x2(t)，…，xn(t)(t∈［a，b］)構(gòu)成方程(1)的基本解組，需證它們在t∈［a，b］上線性無關(guān)，亦即關(guān)于它們的Wronski行列式W(t)≠0，而

其中Akn表示排列數(shù)，利用計算Vandermonde行列式的方法得

故在t∈［a，b］上，方程(1)的n個解函數(shù)x1(t)，x2(t)，…，xn(t)線性無關(guān)，定理得證.

證明2(函數(shù)相關(guān)與無關(guān)的定義法)

依定義，如果這n個解函數(shù)在t∈［a，b］上線性無關(guān)，則必存在n個不全為0的常數(shù)，這里j=0，1，2，…，kr－1;r=1，2，…，m，使得=0，不失一般性，設(shè)不為零的常數(shù)在Pm(t)中.這里用反證法，假設(shè)它們線性相關(guān)，在此式的兩邊同除以eλ1t，并對t微分m1次，得這里多項式Qr(t)=(λr－λ1)m1Pr(t)+Sr(t)，其中Qr(t)與Pr(t)同次，Sr(t)比Pr(t)的次數(shù)要低，但Qr(t)比Pr(t)的項數(shù)要少……如此方法繼續(xù)下去，最后，得到等式Rm(t)e(λm－λm－1)t=0，所以只有Rm(t)=0，但是這里的

是不可能為0的，矛盾，所以假設(shè)它們線性相關(guān)是不正確的，定理得證.

證明3(利用算子法)

假設(shè)方程(1)的特征根重數(shù)分別為k1，k2，…，km的n個解x1(t)，x2(t)，…，xn(t)(t∈［a，b］)在t∈［a，b］上線性相關(guān)，那么它們的Wronski行列式W(t)=0，即

因此，存在n個不全為零的常數(shù)b1，b2，…，bn，使得

成立.記算子

則(8)式的算子型方程為

對重數(shù)為k1的特征根λ1有等式

另外，在恒等式

中，令t=0，得到

由(11)及(12)知λ1是代數(shù)方程M(λ)=0的根，它的重數(shù)至少是k1，同樣，λ2，…，λm也分別是代數(shù)方程M(λ)=0的根，其重數(shù)至少是k1，k2，…，km，因此，代數(shù)方程M(λ)=0至少有k1+k2+…+km=n個根(k重根視為k個根)，但這不可能，證畢.

2 結(jié)論

直接計算行列式法看起來似乎簡單，但計算時比較復(fù)雜;利用函數(shù)的線性有(無)關(guān)的定義雖然避開了行列式的復(fù)雜計算，但繁雜的推理使人不容易領(lǐng)悟;引入算子，利用算子的知識，使得證明過程既簡短又明了，且比較容易掌握.總之，只要我們掌握了基本知識原理和證明方法，對這部分知識的理解應(yīng)當(dāng)是不存在問題的，有興趣的讀者還可參閱文獻(xiàn)［3］～文獻(xiàn)［9］.

［1］ 王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程［M］.3版.北京:高等教育出版社，2006:72.

［2］ 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.常微分方程［M］.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1978:5.

［3］ 王明建.用初等變換法求Riccati方程的特解［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2003(2):27－28.

［4］ 王明建.Riccati微分方程特解的新求法研究［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2006(7):382－386.

［5］ 王明建，王桂花.公式法求Riccati微分方程的特解［J］.西安文理學(xué)院學(xué)報，2008(3):32－35.

［6］ 王明建，王建鋒.用一階微分方程組求Riccati微分方程的特解［J］.西安文理學(xué)院學(xué)報，2009(1):27－31.

［7］ 丁崇文.常微分方程典型題解法和技巧［M］.福建:福建教育出版社，2001:56.

［8］ 周尚仁，權(quán)宏順.常微分方程習(xí)題集［M］.北京:人民教育出版社，1982:13.

［9］ 韓茂安，顧圣士.非線性系統(tǒng)的理論和方法［M］.北京:科學(xué)技術(shù)出版社，2001:71－79.

Some Methods of Linearly Independence of Solution on Linear Differential Equation

HU Bo1，WANG Ming-jian2

(1.College of Sciences，Henan University of Technology，Zhengzhou450052，China; 2.Department of Mathematics，Zhengzhou Normal University，Zhengzhou450044，China)

For higher-order linear ordinary differential equation，whether its solution function is fundamental system of equation’s solutions needs to prove the solution function’s linearly independence.By direct method of determinant expansion，definition method of linearly independence of functions in higher algebra，operator method，and assisting with proof by contradiction specifies the proof.

constant coefficient;higher-order linear differential equation;solution function;system of fundamental solutions;linearly independence;operator

O175.5

A

1007－0834(2011)02－0005－03

10.3969/j.issn.1007－0834.2011.02.002

2011－03－21

胡 博(1980—)，女，河南滎陽人，河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院講師.