再論粗粒土剪脹性模型

程展林，陳 鷗，2，左永振，丁紅順

再論粗粒土剪脹性模型

程展林1，陳 鷗1，2，左永振1，丁紅順1

（1.長江科學院水利部巖土力學與工程重點實驗室，武漢 430010；2.河海大學水利水電工程學院，南京 210098）

介紹了2種堆石料大型三軸試驗和平面應變試驗的試驗成果。假設土的應變分為彈性應變和剪脹應變，彈性應變與應力間服從廣義虎克定律，剪脹應變服從Rowe剪脹方程，彈性泊松比為常數(shù)，完整地建立3參量Kp，Kq，G與應力關系式，初步提出了一種新的非線性剪脹模型，給出了模型參數(shù)的整理方法，論證了一般非線性彈性模型中泊松比的力學意義。試驗表明，剪脹性模型能夠很好地模擬堆石料的應力應變曲線，對于同一種堆石料，由三軸試驗和平面應變試驗得到的模型參數(shù)除強度指標外，其它參數(shù)有很好的一致性，并給出了2種堆石料的模型參數(shù)。該模型是一種力學概念明確，簡單實用的非線性剪脹模型。

應力應變關系；本構(gòu)模型；平面應變試驗；剪脹性；粗粒土；土石壩

1 概 述

建立一種能突出土的主要特性，力學概念簡單，參數(shù)物理意義明確且不同土體間參數(shù)具有可比性的本構(gòu)模型是本文作者長期追求的目標，筆者在文獻［1］中給出的剪脹性模型基本達到了這一要求。該剪脹性模型實際上是一個非線性3參量（體變模量Kp、剪脹模量Kq、剪切模量G）模型，類似的模型早在上世紀70－80年代已被提出并用于工程數(shù)值分析［2，3］。1993年，清華大學高蓮士等人根據(jù)堆石料不同應力路徑下三軸試驗結(jié)果，提出一種非線性解耦K-G模型，并用在西北口面板壩應力變形計算上［4］。毫無疑問，要建立一個新的非線性3參量模型，關鍵問題是在3參量模型的基本框架下建立更加合理的Kp，Kq，G與應力狀態(tài)的關系。

筆者近期針對2種堆石料，同時進行了大型三軸和平面應變試驗，對本文作者以往提出的剪脹性模型［1］進行了深入分析，并進行了少量修正。研究發(fā)現(xiàn)，剪脹性模型不僅能很好地模擬粗粒土三軸和平面應變試驗的應力應變關系曲線，而且，同一種粗粒土不同試驗的模型參數(shù)有很好的一致性。本文將介紹有關試驗成果及修正后的剪脹性模型。

2 試驗及試驗成果

2.1 試樣的物理性質(zhì)

試驗用料為2個堆石壩工程的堆石料，為敘述方便簡稱為MS堆石料和QP堆石料，其試驗級配曲線如圖1。MS堆石料為輝石角閃巖料，最大干密度為2.445 t／m3，試驗干密度為2.274 t／m3；QP堆石料為斑晶花崗片麻巖料，最大干密度為2.118 t／m3，試驗干密度為1.927 t／m3。

圖1 堆石料試驗級配Fig.1 Gradation of coarse-grained soils

三軸試驗的試樣尺寸為Φ300×H600 mm，本次試驗的小主應力最大值為2.4 MPa。平面應變試驗的試樣為方樣，尺寸為300 mm×600 mm×600 mm，本次試驗的小主應力最大值為1.8 MPa。平面應變試驗的試驗程序是先在3個方向加小主應力，變形穩(wěn)定后，在小主應力恒定條件下，按一定加荷速率施加大主應力至剪切破壞，在不同時刻測讀軸向變形、體變、大主應力、中主應力。的堆石料不具剪脹性，大量的類似于文獻［2］中的等靜水壓力剪切試驗成果能證明這一點。

2.2 試驗成果及分析

4組試驗成果如圖2、圖3所示，同時給出了剪脹性模型的擬合曲線。關于模型擬合問題下文再談，這里僅簡單分析堆石料應力應變實測成果。從圖2、圖3可以看出：對于密度較高的MS堆石料，在σ3較小時，剪切過程中具有體脹特征，偏應力曲線具有應變軟化現(xiàn)象，平面應變試驗表現(xiàn)得更加明顯；對于密度較小的QP堆石料，剪切過程中偏應力曲線為應變硬化，普遍表現(xiàn)為體縮，當應力達到強度值后，試樣表現(xiàn)為等體積變形。值得一提的是，這不能說明密度較小

3 非線性剪脹模型

本文作者在長期的堆石料試驗過程中，發(fā)現(xiàn)堆石料具有明顯的剪脹性，且堆石料的剪脹應變較好地服從Rowe剪脹方程，因此，提出了粗粒土剪脹性模型［1］，近期研究發(fā)現(xiàn)該模型不盡合理，故重新推導如下。

3.1 剪脹模型的應力應變關系

為考慮剪應力對體變的影響，應力應變關系增量形式為：

圖2 MS堆石料三軸和平面應變試驗成果Fig.2 Results of MStriaxial and plane strain test

圖3 QP堆石料三軸和平面應變試驗成果Fig.3 Results of QP triaxial and plane strain test

式中：Kp，Kq，G分別為體變模量、剪脹模量、剪切模量；p，q為平均應力和廣義剪應力；εv，εs為體應變和廣義剪應變。

三軸壓縮試驗時，有下列換算關系：

為確定Kp，Kq，G與應力狀態(tài)的關系，假設土體應變分為彈性應變和剪脹應變，并用上標e和q表示。

彈性應變與應力間服從廣義虎克定律，剪脹應變服從 Rowe剪脹方程［1］：

假定彈性泊松比μ為常數(shù)［1］。基于常規(guī)三軸壓縮試驗，模量Kp，Kq，G與應力狀態(tài)的關系式推導見下節(jié)（3.2～3.4）。

3.2 體變模量Kp

體變模量Kp反映彈性體應變與應力p的關系，由虎克定律有如下關系：

式中μ為彈性泊松比，Eur為土的彈性模量，可由鄧肯-張模型按下式計算：

式中Kur和n為退荷再加荷試驗確定的模型參數(shù)。

3.3 剪脹模量Kq

由Rowe剪脹方程，在三軸試驗應力條件下，剪脹應變有如下關系：

式中Kf為土體的最小能比值，為試驗確定的模型參數(shù)。大量的粗粒土三軸試驗表明，同一種材料的Kf為一常數(shù)，不隨應力狀態(tài)改變而變化［1］。

同樣，三軸試驗豎向應變可分為豎向彈性應變和豎向剪脹應變，即：

式中 Et切線模量，可采用鄧肯-張模型的表達式［5］，本文認為，對于粗粒土，有必要對鄧肯-張模型Et表達式進行修正（見3.5節(jié)）。在三軸試驗應力條件下，有如下關系：

聯(lián)立式（9）、（10）、（11），可得剪脹模量 Kq表達式：

3.4 剪切模量G

在三軸試驗應力條件下，有如下關系：

聯(lián)立式（2）、（5）、（10）、（11）、（13）、（14），可得剪切模量G表達式：

3.5 切線模量E t

在剪脹模量表達式（12）和剪切模量表達式（15）中都包括有切線模量Et，Et可采用鄧肯-張模型的表達式：

式中S為應力水平，表達式如下：

但大量試驗表明，對于粗粒土，上式有必要修正。

圖4為QP堆石料的切線模量Et與應力水平關系曲線。可以看出，式（16）反映的與實測的Et-S曲線形態(tài)差異較大，建議作如下修正：

式中包含7個參數(shù)，c，φ，K，n，Rf，α，β為試驗確定的模型參數(shù)，鄧肯-張模型作為其特例，α＝1，β＝2。不同的堆石料，α和β應該不同。

圖4 QP堆石料切線模量E t比較（三軸σ3＝0.6 MPa）Fig.4 Comparison of tangent modulus E t of QP（triaxialσ3＝0.6 MPa）

3.6 模型參數(shù)和整理

在剪脹性模型的關系式（1）、（2）、（7）、（8）、（12）、（15）、（17）、（18）中共有 10個參數(shù)，c，φ，K，n，Rf，α，β，Kur，Kf，μ，其中 c和 φ為土的強度指標，由一組試驗的不同圍壓下的峰值強度擬合確定。

K，n，Rf，α，β為切線模量參數(shù)，其中 K和 n由一組試驗的初始切線模量擬合確定，Rf，α，β由切線模量Et與應力水平實測曲線（如圖4）試算法確定，α和β體現(xiàn)曲線的形態(tài)，Rf反映高應力水平時Et的大小。

Kur與n聯(lián)合確定土的彈性模量，可由一組退荷再加荷試驗得到的彈性模量擬合確定，當未進行退荷再加荷試驗時，也可由三軸體變曲線試算法確定。

Kf為土的剪脹性指標，先根據(jù)彈性模量計算試驗應力條件下的彈性應變，由總應變扣除彈性應變得到剪脹應變，從而由式9計算Kf，也可由體變曲線試算法確定，Kf大小反映一組體變曲線的張開程度和體變曲線的形態(tài)。

μ為土的彈性泊松比，是虎克定律參數(shù)，反映土的彈性應變與應力間的關系?？捎善矫鎽冊囼灥闹兄鲬Ζ?與σ1按下式確定：

模型中取其平均值作為其參數(shù)。

4 模型的試驗驗證

4.1 應力應變曲線計算

對于一個新的本構(gòu)模型，最關心的問題是該模型對復雜應力條件的適用性，即所謂的模型合理性驗證。本文采用的驗證方式是：先采用常規(guī)三軸試驗成果確定某一粗粒土的模型參數(shù)，再計算該粗粒土在平面應變試驗條件下的應力應變曲線，并與平面應變試驗結(jié)果進行比較。雖然該驗證方式不夠完善，但在一定程度上仍然能反映模型的合理性。

在平面應變狀態(tài)下，應力和應變增量有下列換算關系：

平面應變試驗條件下的應力應變計算過程如下：

（1）對一小主應力σ3，循環(huán)增加大主應力dσ1；

（2）由式（7）、（8）、（12）、（15）、（17）、（18）計算應力狀態(tài)為σ3和σ1時的變形模量Kp，Kq，G；

（3）由式（20）計算 d p和 d q；

（4）由式（1）、（2）計算應變增量 dεv和 dεs，及應變 εv和 εs；

（5）由式（21）計算應變 ε1；

（6）對不同小主應力σ3，重復上述過程，即可求得一組平面應變試驗擬合曲線。

4.2 應力應變關系比較

2種堆石料的剪脹性模型擬合曲線如圖2、圖3所示，模型參數(shù)如表1。在平面應變試驗曲線擬合中，為考慮中主應力影響，宜由下式等效應力σ0代替式（9）中的小主應力σ3：

其中 σ2由式（19）計算，對于三軸試驗，σ0＝σ3。

從圖2、圖3和表1可以看出，剪脹性模型能夠很好地模擬堆石料不同加載過程的應力應變關系，對于同一種堆石料，三軸試驗和平面應變試驗的模型參數(shù)除強度指標外，其它參數(shù)完全一致。

平面應變試驗得到的堆石料強度比三軸試驗高，在不少關于平面應變試驗的文獻中均可以看到同樣結(jié)論，應該說這個結(jié)論具有普遍性。這種差別是由試樣形狀不同引起的，還是由中主應力引起的，需要試驗進一步證明，可能2種因素都影響平面應變試驗與三軸試驗強度的差異。

初步研究表明，本文提出的剪脹性模型是一個具有實用性的本構(gòu)模型。因此，可以認為，由三軸試驗得到的3參量表達式（7）、（12）、（15）可推廣到復雜應力狀態(tài)中計算。

4.3 泊松比的討論

假定土體應變分為彈性應變和剪脹應變，泊松比作為虎克定律的參數(shù)，反映土的彈性應變與應力間的關系，因此，泊松比可由平面應變試驗的中主應力σ2與σ1按式（19）確定，為敘述的方便，稱之為彈性泊松比。兩種堆石料的彈性泊松比如圖5所示，其大小約為0.1～0.3，與應力狀態(tài)的關系不明顯。其中，MS堆石料的彈性泊松比隨應力水平增大而增大，QP堆石料的彈性泊松比隨應力水平先增大而后減小。故模型中取其平均值作為其參數(shù)。

在一般的非線性彈性模型中，假定土體的應力應變關系完全服從虎克定律，因此，可由試驗應變間的關系求得泊松比，為敘述方便，暫且稱之為綜合泊松比，計算式如下。令 A＝dεv／dε1

MS堆石料三軸試驗和平面應變試驗的綜合泊松比如圖6所示。

比較圖6（a）、圖 6（b），同一堆石料，由不同試驗得到的綜合泊松比相差較大，三軸試驗為0.08～0.74，平面應變試驗為0.26～0.58，綜合泊松比常常出現(xiàn)大于0.5的現(xiàn)象。比較圖 5（a）、圖 6（b），對于同一堆石料，由同一組平面應變試驗得到的兩種泊松比也相差較大，由應力關系得到彈性泊松比為0.10～0.30，由應變關系得到綜合泊松比為0.26～0.58。這些成果只能說明一點，粗粒土的應力應變關系不完全服從廣義虎克定律。剪脹模型更好地反映了粒土的應力應變關系。

表1 模型參數(shù)Table 1 Parameters of the model

圖5 平面應變試驗實測泊松比Fig.5 The measured Poisson’s ratio of plane strain test

圖6 MS堆石料綜合泊松比Fig.6 The composite Poisson’s ratio of MScoarse-grained soils

5 結(jié) 論

巖土工程實踐表明，一種實用性本構(gòu)模型應該是能突出土的主要特性，力學概念簡單，參數(shù)物理意義明確且不同土體的參數(shù)具有可比性。

本文根據(jù)粗粒土試驗得到的應力應變間的規(guī)律性，假設土體應變分為彈性應變和剪脹應變，彈性應變與應力間服從廣義虎克定律，剪脹應變服從Rowe剪脹方程，完整地建立了3參量Kp，Kq，G與應力關系式。2個堆石料的三軸和平面應變試驗成果表明，該剪脹性模型能夠很好地模擬堆石料三軸試驗和平面應變試驗的應力應變關系，且同一堆石料不同試驗的模型參數(shù)有很好的一致性。目前，正著手將該模型編入有限元軟件，并進行有關堆石壩的數(shù)值分析，期望得到工程的進一步驗證。當然，更期望得到同行們的指證。

［1］ 程展林，姜景山，丁紅順，等.粗粒土非線性剪脹模型研究［J］.巖土工程學報，2010，32（3）：331－337.（CHENG Zhan-lin，JIANG Jing-shan，DING Hong-shun，et al.Nonlinear Dilatant Model for Coarse-Grained Soils［J］. Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2010，32（3）：331－337.（in Chinese））

［2］ 曾以寧，屈智炯.土的非線性模型——K-G模型研究［C］∥土的抗剪強度與本構(gòu)關系學術(shù)討論會論文集.湖北老河口，1985：213－224.（ZENG Yi-ning，QU Zhijiong.Study on K-G Nonlinear Model［C］∥Proceedings of Symposium on Soil Shear Strength and Constitutive Relation.Hubei，Laohekou，1985：213－212.（in Chinese））

［3］ 殷建華，袁建新.土的非線性剪脹應力應變模型［C］∥土的抗剪強度與本構(gòu)關系學術(shù)討論會論文集.湖北老河口，1985：204－212.（YIN Jian-hua，YUAN Jian-xin.Nonlinear Dilitancy Stress Strain Model［C］∥Proceedings of Symposium on Soil Shear Strength and Constitutive Relation.Hubei，Laohekou，1985：204－212.（in Chinese））

［4］ 高蓮士，趙紅慶，張丙印.堆石料復雜應力路徑試驗及非線性K-G模型研究［C］∥國際高土石壩學術(shù)研討會論文集.1993：110－117.（GAO Lian-shi，ZHAO Hong-qing，ZHANG Bing-yin.Complex Stress Path Test on Rockfill Materials and Study on K-G Nonlinear Model［C］∥Proceedings of the International Conference on High Earth-Rock Dam.1993：110－117.（in Chinese））

［5］ 姜景山，劉漢龍，程展林，等.密度和圍壓對粗粒土力學性質(zhì)的影響［J］.長江科學院院報，2008，26（8）：46－50.（JIANG Jing-shan，LIU Han-long，CHENG Zhanlin，et al.Influences of Density and Confining Pressure on Mechanical Properties for Coarse-Grained Soils［J］.Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2008，26（8）：46－50.（in Chinese））［6］ 程展林，丁紅順，吳良平.粗粒土試驗研究［J］.巖土工程學報，2007，29（8）：1151－1158.（CHENG Zhan-lin，DING Hong-shun，WU Liang-ping.Experimental Study on Mechanical Behaviour of Granular Material［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2007，29（8）：1151－1158.（in Chinese））

［7］ 沈珠江.理論土力學［M］.北京：中國水利水電出版社，2000.（SHEN Zhu-jiang.Theoretical Soil Mechanics［M］.Beijing：China Water Power Press，2000.（in Chinese） ）

Further Discussion on Dilatancy Model for Coarse-Grained Soils

CHENG Zhan-lin1，CHEN Ou1，2，ZUO Yong-zhen1，DING Hong-shun1
（1.Key Laboratory of Geotechnical Mechanics and Engineering of MWR，Yangtze River Scientific Research Institute，Wuhan 430010，China；2.College of Water Conservancy and Hydropower Engineering，Hohai University，Nanjing 210098，China）

The test results of large triaxial test and plane strain test for two kinds of coarse-grained soils are firstly described.Soil strain is assumed as two parts composed of elastic strain and dilatancy strain.The relationship of elastic strain and stress is supposed to obey generalized Hooke’s law；while the dilatancy strain obeys Rowe dilatancy law，and the elastic Poisson’s ratio is assumed as constant.Based on these assumptions，the relationship between stress and three parameters including volumetric strain module Kp，dilatant module Kq，and shear module G is established，and a new nonlinear dilatancy model which is simple and practical with clear physical concept is preliminarily proposed.Subsequently，the collation method of the model parameters is given，and finally the mechanical significance of Poisson’s ratio of the general nonlinear elastic model is demonstrated.The tests indicate that the model can well simulate the stress-strain curve for different coarse-grained materials.As for the same coarse-grained soils，the model parameters from the triaxial test and plane strain test are consistent except for the strength index.Model parameters for two kinds of coarse-grained soils are also offered.

stress-strain relationship；constitutive model；plane strain test；dilatancy；coarse-grained soils；earth and rockfill dam

TU432

A

1001－5485（2011）06－0039－06

2010-08-13

國家自然科學基金委員會、二灘水電開發(fā)有限責任公司雅礱江水電開發(fā)聯(lián)合研究基金項目（50639050）

程展林（1963-），男，湖北武穴人，教授級高級工程師，主要從事土力學研究，（電話）027-82926043（電子信箱）chengzl＠m(xù)ail.crsri.cn。

（編輯：姜小蘭）