數(shù)學(xué)教學(xué)中問題串的設(shè)計(jì)與運(yùn)用

趙緒昌

【內(nèi)容摘要】問題是數(shù)學(xué)的心臟，問題中承載并蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)信息。構(gòu)建、運(yùn)用適當(dāng)?shù)膯栴}串是有效教學(xué)的基本線索，“用問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”應(yīng)當(dāng)成為教學(xué)的一條基本準(zhǔn)則。在教學(xué)中，針對具體的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生知識、能力的實(shí)際，設(shè)計(jì)并合理運(yùn)用問題串，不僅可以激發(fā)學(xué)生的求知欲望，搭起學(xué)生學(xué)習(xí)的“腳手架”，幫助學(xué)生尋找解決問題的途徑，引導(dǎo)學(xué)生自主探究問題，突破教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，而且能夠優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，提高課堂教學(xué)效益。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué)問題串有效運(yùn)用思維能力教學(xué)效益

問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)的真正組成部分是問題和解。波普爾指出：“知識的增長永遠(yuǎn)始于問題，終于問題——愈來愈深化的問題，愈來愈能啟發(fā)大量新問題的問題?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中，從課堂提問到新概念的形成與確立，新知識的鞏固與應(yīng)用，學(xué)生思維方法的訓(xùn)練與提高，以及實(shí)際應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力的增強(qiáng)，無不從“問題”開始?？墒窃趯?shí)際教學(xué)中，我們會經(jīng)常發(fā)現(xiàn)問題并不是那么好提，太難，學(xué)生“蒙”，并且會讓許多學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒；太簡單，又成無效問題，浪費(fèi)寶貴的教學(xué)時間。

問題串指在一定的學(xué)習(xí)范圍或主題內(nèi)，圍繞一定目標(biāo)或某一中心問題，按照一定邏輯結(jié)構(gòu)精心設(shè)計(jì)的一組（一般在3個以上）問題。構(gòu)建適當(dāng)?shù)膯栴}串是有效教學(xué)的基本線索，“用問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”應(yīng)當(dāng)成為教學(xué)的一條基本準(zhǔn)則。在教學(xué)中，針對具體的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生知識、能力的實(shí)際，設(shè)計(jì)并合理運(yùn)用問題串，是支持教師教授過程和學(xué)生學(xué)習(xí)過程的一個重要工具，有利于將知識點(diǎn)由簡單引向復(fù)雜，將學(xué)生的錯誤回答或理解引向正確，將學(xué)生的思維由識記、理解、應(yīng)用等較低層次引向分析、綜合、評價(jià)等較高層次。有效的問題串能激發(fā)學(xué)生積極思維，培養(yǎng)思維能力，優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，提高課堂教學(xué)效益。

一、用問題串，學(xué)習(xí)概念

實(shí)際教學(xué)過程中，有些難點(diǎn)知識比較抽象，學(xué)生的知識準(zhǔn)備少，遷移能力欠缺，沒有感性認(rèn)識，教師直白地講解，學(xué)生不容易參與到學(xué)習(xí)活動中來，很難達(dá)到應(yīng)有的教學(xué)效果。但是如果給出相應(yīng)的問題情境，提供相應(yīng)的直觀載體，再創(chuàng)設(shè)與之相應(yīng)的問題串，將難點(diǎn)知識分解為許多小問題，引導(dǎo)學(xué)生從情境信息出發(fā)層層深入，步步逼近，則會另有一番課堂景象。

【案例1】“數(shù)軸”的教學(xué)

“數(shù)軸”是一個很抽象的概念，為了使學(xué)生加深理解，教師預(yù)先布置學(xué)生回家觀察溫度計(jì)，并用衛(wèi)生筷制作一支仿真的溫度計(jì)。然后在上新課時教師準(zhǔn)備一些實(shí)驗(yàn)室里的溫度計(jì)發(fā)給學(xué)生，讓他們仔細(xì)對照檢查是否有做得不完善或不正確的地方，盡可能讓學(xué)生先說。接下去教師提出：

問題1：溫度計(jì)是否有刻度（包括零刻度線）？

問題2：刻度是否均勻？

問題3：刻度標(biāo)法順序是怎樣的？

問題4：在相鄰的兩條刻度線之間能否再刻上更小的刻度線？

問題5：溫度計(jì)上的刻度排列是否有方向性？

問題6：這個溫度計(jì)能否做得很長很長，刻度標(biāo)得更多些？

【評析】學(xué)生根據(jù)自己的制作和觀察一般能回答上來，然后我們把這支溫度計(jì)抽象成一條向兩方無限伸展的數(shù)軸，引出課題。這樣的導(dǎo)入，不光是讓學(xué)生從實(shí)例中體會到了數(shù)軸的形象，而且感受了創(chuàng)造數(shù)學(xué)的過程。對于教學(xué)目標(biāo)來講，數(shù)軸的三要素盡顯其中，滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，為接下去畫數(shù)軸，在數(shù)軸上找表示有理數(shù)的點(diǎn)和說出數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的有理數(shù)，以及下一節(jié)數(shù)軸上有理數(shù)大小的比較，掃清了理解上的障礙。

【案例2】“對頂角”的教學(xué)

問題1：把兩根小木條中間釘在一起，使它們形成4個角，這4個角的大小能自由改變嗎？在制作過程中你有什么感想？

問題2：在相交的道路、剪刀、鐵欄柵門等實(shí)際問題中（教師通過多媒體課件呈現(xiàn)圖片），你能發(fā)現(xiàn)哪些幾何形象？試作出它的平面圖形。

問題3：如果將剪刀用圖形簡單地加以表示（如圖1），那么∠1與∠2的位置有什么關(guān)系？它們的大小有什么關(guān)系？能試著說明你的理由嗎？

問題4：找一找生活中對頂角的例子。

【評析】問題1是一個與學(xué)生的生活緊密聯(lián)系的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，直觀的動態(tài)模型能夠使學(xué)生初步形成對學(xué)習(xí)對頂角概念的形象雛形理解，從而讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生過程，能夠給學(xué)生提供充分的實(shí)踐與想象的空間。問題2配合問題1對幾何形象進(jìn)一步去觀察、操作、猜想，使學(xué)生的發(fā)現(xiàn)與歸納在更高的思維層次上展開，從而克服了直接給出“兩線四角”引入對頂角概念的單一教學(xué)模式，促使學(xué)生進(jìn)行探究式的主動學(xué)習(xí)。問題3為學(xué)生提供了極好的探究“對頂角相等”這一性質(zhì)的現(xiàn)實(shí)模型，讓學(xué)生親身體驗(yàn)了對頂角性質(zhì)的歸納，使之自然穩(wěn)固地內(nèi)化到認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。問題4讓學(xué)生回到現(xiàn)實(shí)中，應(yīng)用對頂角的概念去尋找生活中對頂角的例子，既能使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，又能加深學(xué)生對知識的理解，真正實(shí)現(xiàn)知識的自主建構(gòu)。因此，此問題串預(yù)設(shè)了豐富的具有現(xiàn)實(shí)背景的問題，關(guān)注了學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生動手“做”數(shù)學(xué)，開拓了學(xué)生的思維空間，提高了學(xué)生的自主探索能力。

二、用問題串，探究規(guī)律

問題串的設(shè)計(jì)要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn)，把教學(xué)內(nèi)容編織成一組組、一個個彼此關(guān)聯(lián)的問題，使前一個問題作為后一個問題的前提，后一個問題是前一個問題的繼續(xù)或結(jié)論，這樣每一個問題都成為學(xué)生思維的階梯，許多問題形成一個具有一定梯度和邏輯結(jié)構(gòu)的問題鏈，使學(xué)生在明確知識內(nèi)在聯(lián)系的基礎(chǔ)上獲得知識、提高思維能力。

【案例3】“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”的教學(xué)

問題1：分別求出方程x2＋3x＋2=0，x2+8x－9=0的兩個根與兩根之和、兩根之積；觀察方程的根與系數(shù)有什么關(guān)系？

問題2：分別求出方程2x2－5x－3=0，3x2＋20x－7=0的兩個根與兩根之和、兩根之積，觀察方程的根與系數(shù)有什么關(guān)系？

問題3：你能猜想出方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根之和與兩根之積是多少嗎？觀察方程的根與系數(shù)有什么關(guān)系？

問題4：這個規(guī)律對于任意的一元二次方程都成立嗎？如方程x2+x+1﹦0，它的根也符合這個規(guī)律嗎？

問題5：請你用數(shù)學(xué)語言表達(dá)上述規(guī)律。

【評析】在解答這些問題的過程中，通過問與問之間的層層推進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生按照一定的邏輯順序?qū)訉由钊?，由易而難，由外而內(nèi)，由現(xiàn)象到本質(zhì)，由特殊到一般，學(xué)生在解決這些問題的過程中，對一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的掌握也基本系統(tǒng)化了。

【案例4】“平行四邊形的判別”的教學(xué)

問題l：你能在平面內(nèi)用兩對長度分別相等的小木棒首尾順次相接組成一個平行四邊形嗎？說說你是怎么操作的，畫出圖形并說明理由。

問題2：你能將兩根長度相等的小木棒放置在有橫條格的練習(xí)本的紙上，使得兩根小木棒的端點(diǎn)所代表的四個點(diǎn)能在紙上畫出一個平行四邊形嗎？說說你是怎么操作的，畫出圖形并說明理由。

問題3：你能用這兩根長度不等的繩子放在有橫條格的練習(xí)本的紙上，使得兩根繩子的端點(diǎn)所代表的四個點(diǎn)能在紙上畫出一個平行四邊形嗎？說說你是怎么操作的，畫出圖形并說明理由。

問題4：通過以上三個問題，你能得出哪些結(jié)論？

【評析】這個例子中，問題l、問題2、問題3這三個問題中，每個問題都要求學(xué)生經(jīng)歷操作實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)驗(yàn)證、概括總結(jié)三個階段，因此，每個問題都包含一組有序的問題串，而問題l、問題2、問題3這三個問題實(shí)際上也組成了一組更大的有序的問題串，學(xué)生通過對三個問題的操作、實(shí)驗(yàn)、猜想和探索研究等活動，自主獲得了平行四邊形的三個主要的判別方法，也使學(xué)生真正參與到教學(xué)活動中去。這樣充分體現(xiàn)了問題的層次感，也更適合學(xué)生探究。

三、用問題串，解決問題

運(yùn)用問題串進(jìn)行教學(xué)，實(shí)質(zhì)上是引導(dǎo)學(xué)生帶著問題（任務(wù)）進(jìn)行積極地自主學(xué)習(xí)，由表及里，由淺入深地自我建構(gòu)知識的過程。因此，問題串的設(shè)計(jì)應(yīng)體現(xiàn)遞度性和過度性，備課時要在精細(xì)化上下功夫，要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，把教學(xué)內(nèi)容編設(shè)成一組組、一個個彼此關(guān)聯(lián)的問題，使學(xué)生在問題串的引導(dǎo)下，通過自身積極主動的探索，實(shí)現(xiàn)了由未知向已知的轉(zhuǎn)變。

【案例5】“拋物線與三角形的面積”的復(fù)習(xí)教學(xué)

已知：如圖2，拋物線y＝x2－2x－4與直線y＝x交于A、B兩點(diǎn)，M是拋物線上一個動點(diǎn)，且在直線AB的下方，連接OM。

問題1：當(dāng)M為拋物線的頂點(diǎn)時，求△OMB的面積；

問題2：（根據(jù)2005年湖北省武漢市中考卷第40（2）題改編）當(dāng)點(diǎn)M在拋物線對稱軸的右側(cè)，且△OMB的面 積為10時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。

問題3：（根據(jù)2008年廣東省深圳市中考卷第22（4）題改編）當(dāng)點(diǎn)M在拋物線對稱軸的右側(cè)，點(diǎn)M運(yùn)動到何處時，△OMB的面積最大？

問題4：（根據(jù)2008年安徽省蕪湖市中考卷第24（3）題改編）若以點(diǎn)M為圓心， 為半徑作⊙M，當(dāng)⊙M與直線AB相切時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。

【評析】這是1道基礎(chǔ)題和3道中考改編題的整合。其中問題1（已知三角形的3個頂點(diǎn)坐標(biāo)，求它的面積）是一道常規(guī)問題，學(xué)生比較熟悉，入手相對容易，同時也為后面問題的探索做好鋪墊，起到“腳手架”的作用；問題2是問題1的逆問題，讓學(xué)生在拋物線上找滿足條件的點(diǎn)M；問題3是在動態(tài)過程中求三角形面積的最值，同前2個問題相比，對學(xué)生的思維有著更高的要求；問題4是問題2的變式，它改變了問題的呈現(xiàn)方式，突出了對學(xué)生進(jìn)行問題本質(zhì)的訓(xùn)練，要求學(xué)生具有較高的模式識別能力。這4個問題有著很強(qiáng)的整體性，不但突出了問題的層次性，一步一個臺階，逐步深入遞進(jìn)，而且體現(xiàn)了方法的遷移性，并始終強(qiáng)調(diào)三角形面積的求法。同時，問題的層次性也滿足了不同層次學(xué)生的需求，讓不同的學(xué)生都能從中感受到成功。因此，在編制問題串時，要堅(jiān)持從特殊到一般，從靜態(tài)到動態(tài)進(jìn)行設(shè)計(jì)，在變式中追求問題的新穎性。

【案例6】已知在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。

對于這個問題，學(xué)生不難證明，但教學(xué)不能到此為止，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多方面的探索。

問題1：本例除了教材的證明方法之外，你還能想出其他證明方法嗎？

問題2：分別順次連結(jié)以下四邊形的四邊的中點(diǎn)，所得到的是什么四邊形？從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

（1）平行四邊形；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）梯形；（6）直角梯形；（7）等腰梯形。

問題3：順次連結(jié)n（n≥3）邊形的各邊中點(diǎn)得到怎樣的n邊形呢？順次連結(jié)正多邊形的（各邊相等，各角也相等的多邊形）各邊的中點(diǎn)，得到的是什么多邊形？是正多邊形嗎？

問題4：分析例題添加輔助線的方法，從中你受到了什么啟發(fā)？能否得出在已知中點(diǎn)條件下添加輔助線的一些規(guī)律？

【評析】在課堂教學(xué)中教師要善于把教材中既定的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為問題，以展現(xiàn)知識的發(fā)生發(fā)展過程，借助具有內(nèi)在邏輯聯(lián)系的問題設(shè)計(jì)，促使學(xué)生思考，逐步培養(yǎng)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，使學(xué)生真正成為知識的主動建構(gòu)者。

四、用問題串，反思總結(jié)

由于數(shù)學(xué)思維就是解決數(shù)學(xué)問題的心智活動，思維過程總是表現(xiàn)為不斷地提出問題、分析問題和解決問題，因此數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)思維目的性的體現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)思維活動的核心動力。如果問題串的設(shè)計(jì)能從學(xué)生知識可接受性的實(shí)際出發(fā)，確定合理的難度和適當(dāng)?shù)乃季S強(qiáng)度，就能有效促進(jìn)學(xué)生求異思維和發(fā)散思維的發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生自己進(jìn)行思考、比較、思辨。如果再從數(shù)學(xué)方法論的角度，加入一些元認(rèn)知的提示語，如：你認(rèn)為該問題可能涉及哪些知識？解決該問題需要什么條件？我們還疏漏了什么沒有？該問題的解決方法有推廣價(jià)值嗎？可推廣到哪些方面？還可以促進(jìn)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，對數(shù)學(xué)有所感悟，實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維深度參與的自動發(fā)生機(jī)制。

【案例7】探索三角形相似的條件（第1課時）

為使學(xué)生對本課時內(nèi)容有一個完整而深刻的認(rèn)識，教師在本節(jié)課結(jié)束時提出：

問題1：本節(jié)課在知識方面你有哪些收獲？

問題2：這節(jié)課你積累了哪些數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)？

問題3：在說理過程中，應(yīng)注意什么？

對于問題1，學(xué)生說出“兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”的判定條件，以及這一結(jié)論是通過實(shí)驗(yàn)的方法得到的。

對于問題2，學(xué)生可以反思類比猜想或操作驗(yàn)證中的活動經(jīng)驗(yàn)。

對前者，課上類比三角形全等的判定，對判斷三角形相似的條件提出種種猜想，然后將猜想歸納整理為三類，即只與角有關(guān)的猜想，只與邊有關(guān)的猜想，與邊和角有關(guān)的猜想。這種類比猜想的方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也是經(jīng)常使用的。

對后者，因?yàn)楸菊n時只研究第一類猜想，而其又可細(xì)分為三個猜想。

猜想1：一個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；

猜想2：兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；

猜想3：三個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似。

對于猜想1，舉出反例就可說明不成立。

對于猜想2，設(shè)計(jì)驗(yàn)證方案并進(jìn)行驗(yàn)證。

對于猜想3，根據(jù)三角形內(nèi)角和，可將猜想3與猜想2化歸為同一個猜想。

其中涉及化歸的思想方法、操作實(shí)驗(yàn)的研究方法。

對于問題3，利用“兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”解決問題時，學(xué)生要說出找到對應(yīng)相等的兩對角，注意書寫的規(guī)范。

【評析】三個問題，給學(xué)生提出了明確的反思任務(wù)，包括數(shù)學(xué)知識方面、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思想方法方面。在教學(xué)中如果經(jīng)常設(shè)置這樣的教學(xué)環(huán)節(jié)，長此以往，學(xué)生將逐漸意識到反思的必要性。在課堂教學(xué)中，我們不能僅僅把學(xué)生置于“問題”之中，還要置于“反思他們的活動”之中，唯有反思，才能促進(jìn)理解，從而更好地進(jìn)行建構(gòu)活動，實(shí)現(xiàn)良好的循環(huán)。

以上，談了在課堂教學(xué)中設(shè)計(jì)并運(yùn)用有效“問題串”，實(shí)際上，課堂教學(xué)的每一個環(huán)節(jié)都涉及到“問題串”的設(shè)計(jì)與運(yùn)用，只要我們加強(qiáng)研究，以“問題串”來梳理教學(xué)的脈絡(luò)，在這個平臺上，就一定會拓展教師和學(xué)生發(fā)展的空間，使我們的課堂永遠(yuǎn)充滿活力。

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（作者單位：四川省宣漢縣中小學(xué)教學(xué)研究室）