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    一類正線性映射的可分解性*

    2011-12-22 06:28:08
    菏澤學院學報 2011年5期
    關鍵詞:數(shù)學系菏澤高階

    朱 青

    (菏澤學院數(shù)學系,山東菏澤 274015)

    一類正線性映射的可分解性*

    朱 青

    (菏澤學院數(shù)學系,山東菏澤 274015)

    定義線性映射φ =φ1⊕φ2:M2(C)⊕M2(C)→M2(C)⊕M2(C)為 φ(A⊕B)=φ1(A)⊕φ2(B),?A,B∈M2(C),其中φi(i=1,2)為M2(C)到M2(C)上的線性映射.證明了正線性映射φ=φ1⊕φ2是可分解的,并給出了co-全正映射的一個充分必要條件.

    正線性映射;全正映射;co-全正映射

    引言

    在量子相關性的分析中,正線性映射的可分解性質(zhì)對于量子映射的分析至關重要.對于線性映射:φ:Mm(C)→Mn(C),St?rmer和 Woronowicz證明了 m=n=2 或 m=2,n=3 時每個正線性映射都是可分解的[1,2];Choi及Woronowicz分別在m=n=3及m=2,n=4的情況下給出了不可分解映射的例子[2,3];對于高階情況至今未得到解決.本文針對特殊的高階情況討論一類正線性映射的可分解性,并給出了co-全正映射的一個充分必要條件,拓展了正線性映射可分解性的研究范圍.

    1 預備知識

    引理1[3]令 φ:Mm(C)→Mn(C)為線性映射,則:

    1)φ為正線性映射當且僅當Hφ塊正;

    2)φ 為全正(co-全正)映射當且僅當Hφ(HTφ)∈Mm(Mn(C))+.

    2 主要結果及證明

    定義線性映射φ=φ1⊕φ2:M2(C)⊕M2(C)→M2(C)⊕M2(C)為φ(A⊕B)=φ1(A)⊕φ2(B),?A,B∈M2(C),其中φi(i=1,2)為M2(C)到M2(C)上的線性映射,可得到如下結論:正線性映射φ=φ1⊕φ2是可分解的.下面分四部分對此結論進行證明.

    1)φ1,φ2為正線性映射

    由φ為正線性映射,知:

    從而φ1(A)∈M2(C)+,故φ1為正線性映射.同理可證φ2為正線性映射.

    2)若φ1,φ2為全正映射,則φ為全正映射

    對于?k∈N,

    對于任意的2 維向量 ξi,ηj(1≤i,j≤k)有:

    從而φ為全正映射.

    3)若φ1,φ2為co-全正映射,則φ為co-全正映射

    證明過程類似于2).

    4)正線性映射φ=φ1⊕φ2是可分解的

    已經(jīng)知道所有正線性映射φ:M2(C)→M2(C)都是可分解的[1],故φi(i=1,2)可以寫成如下形式:φi=φi1+φi2,其中 φi1為全正映射,φi2為 co-全正映射.從而

    則φ=φ1+φ2,由2),3)知,φ1為全正映射,φ2為co-全正映射.從而φ是可分解的.

    證畢.

    利用上述方法,可以證明如下兩類正線性映射也是可分解的.即:

    3 總結

    本文針對4階的情況,證明了幾類正線性映射是可分解的.從查閱的資料來看,目前對于更高階的情況尚未有實質(zhì)性的進展,有待我們繼續(xù)研究與探討.

    [1]St?rmer E.Positive linear maps of operator algebras[J].Acta Math,1963,110(1):233-278.

    [2]Woronowicz S.Positive maps of low dimensional matrix algebras[J].Rep.Math.Phys,1976,10(2):165-183.

    [3]Choi M.Completely positive linear maps on complex matrices[J].Lin.Alg.Appl,1975,10(3):285-290.

    [4]Takesaki M.Theory of operator algebra I[M].Berlin:Springer-Verlag,2002.

    [5]Majewski W A,Marciniak M.On a characterization of positive maps[J].Phys.A:Math.Gen,2001,34(9):5863-5874.

    Decomposable Nature of a Certain Positive Linear Map

    ZHU Qing

    (Department of Mathematics ,Heze University,Heze Shandong 274015,China)

    A linear map φ =φ1⊕φ2:M2(C)⊕M2(C)→M2(C)⊕M2(C)is defined by φ(A⊕B)=φ1(A)⊕φ2(B)for every,A,B∈M2(C),where φi(i=1,2)is a linear map from M2(C)to M2(C).This paper proves that if φ=φ1⊕φ2is positive,then it is decomposable,and gives one equivalent condition of co-CP maps.

    positive linear maps;CP maps;co-CP maps

    O 177.1

    A

    1673-2103(2011)05-0033-03

    2011-06-21

    菏澤學院研究與發(fā)展項目(XY08SX01)

    朱青(1982-),女,山東菏澤人,助教,碩士,研究方向:算子代數(shù).

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