線性代數(shù)直觀化教學(xué)模式的探索與研究

高桂英 劉怡娣 張鶴 高旭彬

摘要：線性代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)一門重要基礎(chǔ)課，該課程的理論比較抽象，初學(xué)者不易深刻理解。為使教師更好地講授這門課，學(xué)生更好地掌握其要領(lǐng)，本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，提出一些切實(shí)可行的教學(xué)方法，對線性代數(shù)形象化，直觀化的教學(xué)模式做了有益的探索。

關(guān)鍵詞：形象化；線性代數(shù)，幾何圖形。

中圖分類號G420

線性代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)的一門重要基礎(chǔ)課，不僅將為學(xué)生后續(xù)專業(yè)課的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，而且還可以培養(yǎng)他們運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際問題的能力，同時也為部分學(xué)生學(xué)歷晉升做必要的準(zhǔn)備。因而理工科院校對線性代數(shù)的教學(xué)歷來都十分重視。如何講好這門課程，同樣是數(shù)學(xué)老師關(guān)注和探討的話題。本文結(jié)合自己多年教學(xué)工作的一點(diǎn)收獲，就線性代數(shù)授課中引入直觀化教學(xué)模式談一些看法和感想。

1.1 多元化人才需求對線性代數(shù)教學(xué)賦予新任務(wù)

隨著社會的進(jìn)步，時代的發(fā)展，社會上用人單位對人才的需求也在發(fā)生變化，趨于多元化，更多的是由過去的“知識型”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皯?yīng)用型”。走出校門的畢業(yè)生單有理論知識而不會應(yīng)用，在社會上已經(jīng)很難立足。為了適應(yīng)這種變化，我們的教學(xué)方法也應(yīng)該做出適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，在保證學(xué)生學(xué)好理論知識的同時，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。特別注重知識向能力的轉(zhuǎn)化。

1.2 學(xué)生的實(shí)際特點(diǎn)對線性代數(shù)課提出新要求

線性代數(shù)這門課的特點(diǎn)比較抽象、枯燥?，F(xiàn)行的線性代數(shù)教材多數(shù)是抽象地引出概念，盡管有時也從例子中引出，但是有的例子本身就很復(fù)雜，不好理解。對于習(xí)慣于中學(xué)學(xué)習(xí)方式的本科生來說，初學(xué)線性代數(shù)往往感到困難較大。他們雖然思維活躍、求知欲強(qiáng)，但抽象思維能力較差，不少學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)的過程中，只是形式上地接受、模仿、做題，沒有抓住線性代數(shù)的本質(zhì)，久而久之，對學(xué)習(xí)失去興趣?；蛑皇菫榱藨?yīng)付考試，學(xué)過了也不知道如何應(yīng)用。造成這種情況的一個重要原因就是對抽象概念缺少形象的展示。因此如何將線性代數(shù)教學(xué)直觀化、形象化，應(yīng)做為一個有著實(shí)際意義的探討話題。

1.3 線性代數(shù)直觀化的教學(xué)模式探索

1.3.1挖掘相關(guān)定義和定理所隱含的實(shí)際背景

線性代數(shù)的許多概念都有其蘊(yùn)含的背景。挖掘出這些實(shí)際背景，對學(xué)生學(xué)習(xí)將會有很大的幫助，使他們對抽象的概念接受不再感到枯燥乏味，而是真實(shí)貼切。比如講矩陣的概念時，我們從方程組，運(yùn)輸問題，電路理論等引出概念，還加入了人們所熟知的田忌賽馬【1】5-6的故事：春秋戰(zhàn)國時期，齊王與其手下大將田忌賽馬，雙方各出上、中、下三等馬各一匹比賽，在同等馬中，田忌的馬均處于劣勢，但田忌的上等馬可戰(zhàn)勝齊王的中等馬，中等馬可戰(zhàn)勝齊王的下等馬。由于田忌采用了孫臏的建議，最后贏得了齊王的千金賭注。事實(shí)上，這是一個對策問題，在比賽中，齊王和田忌的馬匹可以隨機(jī)出陣，那么每次比賽雙方的勝負(fù)情況就要根據(jù)雙方的對陣情況來定。出陣的可能策略為：策略1（上、中、下）；策略2（中、上、下）；策略3（下、中、上）；策略4（上、下、中）；策略5（中、下、上）；策略6（下、上、中）。

如果齊王和田忌依次使用上面6種策略進(jìn)行比賽，那么齊王的勝、負(fù)情況就可以用下面的矩形數(shù)表來表示。其中齊王采用的策略用橫向行表示，田忌采用的策略用縱向列表示。

田忌策略

.

說明：策略1（上、中、下）表示按先后出陣的順序派上等馬、中等馬、下等馬。其他策略解釋類似。每場比賽中，如果齊王的馬匹三戰(zhàn)全勝，則用數(shù)3表示；如果2勝1負(fù)，則用數(shù)1表示；如果1勝2負(fù)，則用數(shù)-1表示。

這個矩形數(shù)表就是矩陣。通過這些事例的引入，學(xué)生在趣味盎然的氣氛中進(jìn)入了矩陣知識的學(xué)習(xí)。

1.3.2用學(xué)生熟悉的知識對比講解

學(xué)生對線性方程組的問題比較熟悉，從中學(xué)起就開始接觸。線性代數(shù)中不僅行列式的概念可以從解線性方程組問題中引出，其他的概念，如矩陣、矩陣的秩，向量組的秩，向量組的線性相關(guān)性等問題。以至于矩陣的初等行變換都可以與解方程組的過程對照講解。

例如在中學(xué)代數(shù)里，用加減消元法求解二元、三元線性方程組時，常需對方程組進(jìn)行下列同解變形：

（1）交換兩個方程的位置；

（2）用一非零常數(shù)乘以某一方程；

（3）把某個方程乘以一個非零常數(shù)后加到另一方程上去。

如線性方程組 ，

把第一、第二兩個方程的位置互換，得

，

將第一個方程的-2倍加到第二個方程上，-4倍加到第三個方程上，得

，

將第二個方程的-1倍加到第三個方程上，得

，

再經(jīng)過類似的變換得方程組的解為

。

而我們知道，方程組的解取決于變量前的系數(shù)和常數(shù)項部分，每個方程組都對應(yīng)一個矩陣，因而方程組的每一次變換相當(dāng)于對矩陣進(jìn)行一次同樣的變換，這樣就輕松地引出了矩陣的初等變換的概念。即互換第任意兩行；將某行各元素乘以非零常數(shù) ；將某行各元素乘以非零常數(shù) 后加到另外一行的對應(yīng)元素上。

1.3.3結(jié)合幾何圖形，使抽象問題形象化

以二次型的問題為例。把一個二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型是線性代數(shù)的常見運(yùn)算。為什么要化為標(biāo)準(zhǔn)型？實(shí)質(zhì)上，化標(biāo)準(zhǔn)型的過程中，借助了正交變換【2】134-135。由于正交變換沒有改變向量的模，從幾何上看，只是將坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)，用二次型表示的圖形本身并沒有變化。而圖形在新的坐標(biāo)系下，其表達(dá)式是一個標(biāo)準(zhǔn)的解析表達(dá)式，其所表示的幾何形狀一目了然。例如直角坐標(biāo)系 下，曲線 經(jīng)坐標(biāo)變換后在直角坐標(biāo)系 下變?yōu)?，顯然所代表的曲線是橢圓。如圖1所示，這樣用幾何的觀點(diǎn)討論二次型的問題，學(xué)生接受起來就不會感到茫然。

圖1

1.3.4增加各知識點(diǎn)的相關(guān)應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

行列式的應(yīng)用除了人們所熟知的解線性方程組的問題，還可以應(yīng)用行列式求三角形面積。如圖2，要求三角形 的面積，設(shè) ，則 ，而

圖2

再如，求如圖3所示的平行六面體的體積，

圖3

設(shè) ，則立方體的體積為 ，其中

再如特征值和特征向量的問題一直都是比較抽象的概念，學(xué)完后如何用一直困擾著學(xué)生，其實(shí)它的應(yīng)用很多，例如判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的問題，人口增長問題，斐波那契（Fibonacci）數(shù)列問題，生物基因遺傳問題，以及差分方程的問題、多元函數(shù)的極值問題等都可以使用特征值和特征值向量的有關(guān)知識來處理。以上內(nèi)容可以在課堂上選取一二進(jìn)行講解，而可作為應(yīng)用實(shí)例供學(xué)生課后閱讀。

簡而言之，根據(jù)筆者的感受，在抽象的線性代數(shù)中，引入了形象化、直觀化的教學(xué)模式，無論是老師講解還是學(xué)生學(xué)習(xí)，都會收到較好的效果。相信這種做法如果推廣開來，不僅對線性代數(shù)，而且對其他的數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)，都是一個很好的借鑒。

參考文獻(xiàn)：

【1】 Xie Guorui(謝國瑞).Linear Algebra and its Applications[M].Beijing: Higher Education Press.1999 (in Chinese).Pages:5-6.

【2】Bai Tongliang(白同亮)，Gao Guiying(高桂英).Linear Algebra and its Applications[M].5th ed.Beijing:University of Posts and Telecommunications Press.2010 (in Chinese).Pages:134-135.