基于灰色Verhulst優(yōu)化模型的裝備研制費用高精度預測

劉光軍，柯宏發(fā)，劉嘉文

(1.總裝備部 通信網(wǎng)絡管理中心，北京100720;2.裝備學院，北京101416)

1 引言

武器裝備全壽命周期費用技術受到了越來越廣泛的重視［1，2］，對武器裝備系統(tǒng)研制費用進行預測，可為國防預算的節(jié)省，新武器裝備系統(tǒng)的論證、研制、生產(chǎn)、使用和保障等全壽命管理提供可靠的依據(jù)［3］。針對裝備研制費用預測問題，小樣本問題和新型智能優(yōu)化算法是目前的研究熱點，如文獻［2］將神經(jīng)網(wǎng)絡引入到灰色Verhulst模型來提高研制費用預測精度，文獻［3］建立了基于粗糙集的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡裝備研制費用預測模型。從實際工程背景來看，裝備研制遵循方案論證、初樣設計研制、正樣設計研制、靶場試驗、定型等工作程序;大部分裝備研制費用隨著時間的推移，經(jīng)費需求初期少，中期的某一時期達到高峰，后期又減少，研制費用累積曲線呈S型變化特征［4］。灰色Verhulst模型是一種很廣泛的動態(tài)預測模型，是S型小樣本數(shù)據(jù)列建模的有效工具，在軍事裝備研制費用預測領域取得了廣泛的應用，如文獻［4］利用灰色Verhulst模型對魚雷研制費用進行了建模。

但是灰色Verhulst模型是有偏差的灰指數(shù)模型，在應用過程中存在模擬預測精度不高的情況，對其改進方法的研究也是灰色理論與應用研究的熱點問題之一［5，6，7，8，9］。如文獻［7］提出了以x(1)(n)作為初始條件的建模方法，文獻［8］提出了以殘差進行修正來提高灰色Verhulst模型的建模精度。

本文認為初始數(shù)據(jù)列系統(tǒng)是動態(tài)變化發(fā)展的，背景值的構造形式和初始條件的選取是相互影響的，考慮背景值優(yōu)化和初始條件優(yōu)化之間的誤差積累傳播，提出了基于數(shù)學規(guī)劃的灰色Verhulst模型優(yōu)化方法，介紹了應用模擬退火算法求解該模型。通過對模擬數(shù)據(jù)的比較分析發(fā)現(xiàn)，應用本文所提出的灰色Verhulst優(yōu)化模型來對裝備研制費用進行建模，比文獻［4］、文獻［8］有更高的模擬精度，并與原始數(shù)據(jù)列具有更大的灰關聯(lián)度。

2 灰色Verhulst模型及其求解

命題1(證明略):灰色Verhulst模型x(0)(k)+az(1)(k)=b(z(1)(k))2中待估計參數(shù)a為模型的發(fā)展系數(shù)，待估計參數(shù)b為模型的灰作用量，另設^a=(a，b)T為參數(shù)列，且設

在實際建模過程中，可以取初始序列為X(1)，其1階累減生成序列為X(0)，建立灰色Verhulst模型直接對X(1)進行模擬。

3 灰色Verhulst優(yōu)化模型

3.1 基于數(shù)學規(guī)劃的灰色Verhulst優(yōu)化模型

Verhulst模型主要用來描述非單調(diào)擺動發(fā)展或具有飽和狀態(tài)的過程，即S形過程，最初慢慢上升，然后迅速增長，最后慢慢趨于極限，常用于人口預測、生物生長、繁殖預測和產(chǎn)品經(jīng)濟壽命預測等。建立灰色Verhulst模型的實質(zhì)就是通過建模得到初始序列的擬合曲線，從擬合預測的角度出發(fā)，則希望最終的模擬序列能夠最優(yōu)地逼近初始序列，并且能具有較高的預測精度。由上節(jié)建模過程可以看出，模擬序列的建模精度取決于背景值逼近精度和初始條件常數(shù)c的精度。

定義1中Z(1)的緊鄰均值生成是一種平滑處理，當時間間隔很小、序列數(shù)據(jù)變化平緩時，這樣構造的背景值是合適的，模型偏差較小;但當序列數(shù)據(jù)變化急劇時，這樣構造出來的背景值往往產(chǎn)生較大的滯后誤差，模型偏差較大，因而在一定程度上會影響預測精度。另外，以數(shù)據(jù)表征的各種系統(tǒng)是動態(tài)變化的，因此以固定的背景值構造形式應用于所有系統(tǒng)也是不合適的。根據(jù)灰色系統(tǒng)的新信息有限原理，在進行背景值的構造時可以考慮新舊信息的相對重要性，本文采用下述背景值加權構造形式，即:

式(7)中，ω為新信息的加權權重，針對不同的系統(tǒng)進行優(yōu)化求解?；疑玍erhulst模型本身是一個模擬預測模型，如果以系統(tǒng)的當前預測點為原點，在該原點之前，越遠離原點數(shù)據(jù)的信息意義將逐步降低，再進行Verhulst模型預測的意義就越弱，越靠近原點的數(shù)據(jù)信息更能反映系統(tǒng)的目前特征，所以在進行建模時考慮數(shù)據(jù)的相對重要性顯然是合理的。

針對初始條件常數(shù)c的優(yōu)化，強行令初始值為x(1)(1)來推導常數(shù)c缺乏嚴格的理論依據(jù)，使得解出的灰色Verhulst模型不一定是最佳預測公式;另外令初始值為x(1)(n)來推導常數(shù)c，由于x(1)(n)是由原始序列累加生成的，原始序列的信息通過x(1)(n)都可以得到充分反映，因此把它作為初始條件符合灰色系統(tǒng)理論新信息優(yōu)先原理，也符合灰色系統(tǒng)理論最少信息原理，有可能使模型的預測精度比原模型的預測精度得到提高，但是不能保證與原始數(shù)據(jù)列保持最好的動態(tài)發(fā)展趨勢。由上節(jié)建模過程可以看出，背景值的構造形式對常數(shù)c的求解是有影響的，也就是說，背景值優(yōu)化帶來的偏差會影響初始條件常數(shù)c優(yōu)化。于是，基于背景值優(yōu)化和初始條件優(yōu)化之間的誤差傳播累積作用，針對任意的加權權值ω下，本文考慮模擬值與原始值的相對誤差平方和最小的目標來優(yōu)化確定常數(shù)c，其相對誤差平方和ΔEω為:

將c代入式(5)，求得^x(1)(k)，它是ω和c的函數(shù)。于是得到灰色Verhulst參數(shù)優(yōu)化的數(shù)學規(guī)劃模型:

求解該模型得到最優(yōu)的ω、發(fā)展系數(shù)a、灰作用量b和初始條件常數(shù)c，根據(jù)式(5)即可求得灰色Verhulst模型的最優(yōu)模擬時間響應序列。該模型中ΔE和ΔEω都是非線性函數(shù)，本文選用模擬退火算法進行求解。

3.2 灰色Verhulst優(yōu)化模型的模擬退火算法

模擬退火算法，就是模擬固體退火過程的一種組合優(yōu)化算法，在求解過程中不但接受對目標函數(shù)改善的狀態(tài)，而且還以某種概率接受使目標函數(shù)惡化的狀態(tài)。算法由一個控制參數(shù)T決定，經(jīng)過大量解變換后，可求得給定控制參數(shù)下優(yōu)化問題的相對最優(yōu)解;然后緩慢減小參數(shù)T的值，重復迭代過程，當參數(shù)T趨于0時，系統(tǒng)狀態(tài)對應于優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解。這種算法的特點可以使之避免過早收斂到某個局部極值點，從而能夠比較有效地進行全局搜索最優(yōu)值。

3.3 模型擬合的有效性分析方法

對灰色Verhulst模型進行優(yōu)化的目的是使得最終的擬合曲線能夠最優(yōu)地逼近初始序列曲線，因此需要考察灰色Verhulst模型擬合的模擬序列與初始序列X(0)的接近性與相似性。灰色系統(tǒng)理論中灰色關聯(lián)分析的實質(zhì)就是比較數(shù)據(jù)到曲線幾何形狀的接近程度，一般來說，幾何形狀越接近，變化趨勢也就越接近，灰關聯(lián)度就越大。因此，本文利用模擬數(shù)據(jù)列與X(0)的灰色關聯(lián)度大小來比較分析擬合的有效性，兩者的灰色關聯(lián)度越大，表示擬合曲線與系統(tǒng)曲線X(0)越接近，幾何形狀越相似，用序列來模擬序列X(0)越有效。

在進行灰關聯(lián)分析時，以初始序列X(0)作為參考序列，然后求得各種模擬數(shù)據(jù)列與X(0)的灰色關聯(lián)度，進而根據(jù)灰色關聯(lián)度的大小進行判斷即可。數(shù)據(jù)列與X(0)的灰色關聯(lián)度用γ(，X)表示，有算式:

4 魚雷研制費用算例驗證

以文獻［4］提供的魚雷研制費用數(shù)據(jù)為例進行灰色Verhulst優(yōu)化模型建模，魚雷逐年研制費用和累積研制費用見表1。

表1 魚雷逐年和累積研制費用(萬元)

應用本文灰色Verhulst優(yōu)化模型，求得最優(yōu)的ω=0.4，其模擬時間響應式為:

將該模型模擬結(jié)果和文獻［4］、文獻［8］的模型進行比較與分析。分別計算各模型的模擬數(shù)據(jù)，并將相應的實際數(shù)據(jù)、模擬數(shù)據(jù)、相對誤差和平均相對誤差列于表2。

表2 各種模型的模擬精度比較

由表2可以看出，本文提出的灰色Verhulst優(yōu)化模型的平均相對誤差最小。假設X(0)代表原始數(shù)據(jù)列，分別代表文獻［4］模型、文獻［8］模型和本文模型的模擬數(shù)據(jù)列，各數(shù)據(jù)列曲線如圖1所示。圖中以虛線表示原始數(shù)據(jù)列，很直觀地就可以看出，本文灰色Verhulst優(yōu)化模型所得的模擬序列與原始序列的接近性與相似性最好，其模擬性能最優(yōu)。

考察上述三種模型所得的模擬數(shù)據(jù)列與原始序列X(0)的灰關聯(lián)度，基于式(10)求得=0.6755、γ(=0.6692和γ=0.7673，本文灰色Verhulst優(yōu)化模型所得的模擬序列與原始序列的灰關聯(lián)度最大，模擬預測性能最優(yōu)。

5 結(jié)束語

裝備研制費用的預測是武器裝備全壽命管理中一項很重要的工作，本文提出了基于數(shù)學規(guī)劃的灰色Verhulst優(yōu)化模型，有效地解決了小樣本裝備研制費用預測問題，并且較好地提高了預測精度。大量數(shù)據(jù)仿真結(jié)果表明，本文所提模型也適用于其它呈S型特征的數(shù)據(jù)列預測問題。針對多峰值的研制費用預測問題［2，4］，基于本文模型如何實現(xiàn)高精度預測值得進一步研究。

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