一類新的模糊積分的性質(zhì)

尤翠蓮,王根森

(1.河北大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,河北保定 071002;2.河北冀鐵集團(tuán)公司經(jīng)營開發(fā)部,河北石家莊 050051)

定理6 若a＜k＜b,Xt是[a,k]和[k,b]上劉可積的模糊過程,則 Xt在[a,b]上也是劉可積的,并且

研究報(bào)告

一類新的模糊積分的性質(zhì)

尤翠蓮1,王根森2

(1.河北大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,河北保定 071002;2.河北冀鐵集團(tuán)公司經(jīng)營開發(fā)部,河北石家莊 050051)

在求解由劉過程驅(qū)動的模糊微分方程以及證明其存在唯一性時,若利用關(guān)于劉過程的模糊積分的定義直接計(jì)算或證明是非常困難的,因此必須研究此類模糊積分的性質(zhì).提出了3條模糊積分的存在性條件和3條模糊積分的性質(zhì),以便簡化有關(guān)的計(jì)算和證明.

模糊變量;模糊過程;模糊積分

MSC 2010:34A07

1965年,Zadeh[1]引入模糊集的概念來描述具有不確定邊界的集合,模糊集的隸屬函數(shù)表明了某一元素屬于該集合的程度.但如何衡量一個模糊事件呢?為了解決這個問題,Liu[2]在2002年引入了可信性測度的概念.之后Li[3]給出了可信性測度的充分必要條件.可信性理論是由Liu[4]創(chuàng)立并由Liu[5]修訂的.

為了描述模糊動態(tài)系統(tǒng)的演變過程,Liu[6]引入了模糊過程的概念.模糊過程中一個重要的和非常有用的過程就是劉過程,它的地位就像隨機(jī)過程中的布朗運(yùn)動.基于劉過程,Liu[6]提出了劉積分和劉公式,它們正是布朗運(yùn)動、伊藤積分和伊藤公式的對應(yīng)物.很多學(xué)者對劉過程進(jìn)行了研究,比如 You[7]將劉過程、劉積分和劉公式推廣到多維的情形,Qin[8]對復(fù)劉過程進(jìn)行了研究,Dai[9]得出劉過程是李普希茲連續(xù)的并具有有限變差.

很多具有模糊性的實(shí)際問題都可以抽象出一個模糊微分方程,要研究這類模糊微分方程,就要計(jì)算相應(yīng)的模糊積分.因此,本文主要討論了基于劉過程的模糊積分的一些基本性質(zhì),以便簡化相關(guān)的計(jì)算和證明.

1 預(yù)備知識

可信性測度是一個具有規(guī)范性、單調(diào)性、自對偶性和極大性的集值函數(shù).模糊變量是一個從可信性空間到實(shí)數(shù)集的函數(shù).

一個模糊變量ξ的期望值定義如下:

其中2個積分至少有1個是有限的.模糊變量ξ的方差定義為V[ξ]=E[(ξ-E[ξ])2].

模糊變量ξ是連續(xù)的,如果Cr{ξ=x}是一個x的連續(xù)函數(shù).

模糊過程Xt(θ)定義為一個從T×(Θ,7,Cr)到實(shí)數(shù)集的函數(shù),記為Xt,即對每一個t＊,Xt＊(θ)是一個模糊變量,其中t＊表示時間,θ是可信性空間(Θ,7,Cr)中的點(diǎn).對于任何給定的θ＊∈Θ,Xt(θ＊)是t的函數(shù),稱這樣一個函數(shù)為Xt(θ)的一條樣本路徑.

若對幾乎所有的θ∈Θ,Xt的所有樣本路徑都是t的連續(xù)函數(shù),稱模糊過程Xt是連續(xù)的.

定義1[6]如果模糊過程Ct具有以下性質(zhì):

1)C0=0;

2)Ct具有穩(wěn)態(tài)增和獨(dú)立增性質(zhì);

3)每一增量Ct+s-Cs是一個具有期望值et和方差σ2t2的正態(tài)分布的模糊變量,其隸屬函數(shù)為

稱這樣的模糊過程為劉過程.

如果e=0且σ=1,稱這樣的劉過程為標(biāo)準(zhǔn)劉過程.

定理1[9]對任意給定的θ使得Cr{θ}＞0,Ct(θ)的樣本路徑是李普希茲連續(xù)的,其中Ct是劉過程.

定義2(劉積分)[6]假設(shè)Xt是一個模糊過程,Ct是一個標(biāo)準(zhǔn)Liu過程,在[a,b]中任意插入若干個分點(diǎn)(本文插入k個),且

當(dāng) △→0時,若和式的極限幾乎處處存在并且是一個模糊變量,稱此極限值為模糊過程Xt關(guān)于Ct的劉積分,記為

此時稱模糊過程Xt劉可積.

2 劉積分的性質(zhì)

證明:由于|Xt|關(guān)于t可積,故|Xt|有界.對[a,b]的任意分劃,記 △=max1≤i≤k|ti+1-ti|.令M i和mi分別表示|Xt|在區(qū)間[ti,ti+1]上的上、下確界.由于|Xt|關(guān)于t可積,可知考慮到Ct的李普希茲連續(xù)性,必然存在某個常數(shù)L,使得|△Cti|≤L|△ti|.因此

存在.根據(jù)定理2可得證明.

證明:由于模糊過程Xt可積,故|Xt|也可積.根據(jù)定理4可得結(jié)論.

由于劉積分的形式與伊藤積分類似,這2種積分也具有相似的性質(zhì).下面討論一下劉積分的簡單性質(zhì).

定理5 若Xt和Yt是[a,b]上劉可積的模糊過程,k1,k2是2個常數(shù),則

定理6若a＜k＜b,Xt是[a,k]和[k,b]上劉可積的模糊過程,則Xt在[a,b]上也是劉可積的,并且

3 結(jié)論

研究模糊微分方程最重要的就是要得到解的存在唯一性定理,為此必然要利用這類新的模糊微分的性質(zhì)求解和證明,本文給出了3個此類模糊積分的存在性條件,得出了3條此類模糊積分的性質(zhì),為今后涉及此類模糊積分的計(jì)算和應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ).

[1]ZADEH L A.Fuzzy sets[J].Info rmation and Control,1965,8：338-353.

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Properties of a New Kind of Fuzzy Integral

YOU Cui-lian1,WANG Gen-sen2
(1.College of M athematics and Computer Science,Hebei University,Baoding 071002,China;2.Sales and Development Department,Hebei Jitie Group Company,Shijiazhuang 050051,China)

A s solve fuzzy differential equations drived by Liu p rocess and p rove its existence and uniqueness theo rem,it seem s very difficult to calculate o r p rove only by using the definition of fuzzy integral w ith respect to Liu p rocess,thus it is necessary to study the p ropertiesof this type of fuzzy integral,in order to simp lify the calculations and p rove involved fuzzy integral,this paper introduces three conditions for the existence of fuzzy integral and three p roperties of this type of fuzzy integral.

fuzzy variable;fuzzy p rocess;fuzzy integral

O 159

A

1000-1565(2011)04-0337-04

2010-01-12

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60974134);河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(A 2011201007);河北大學(xué)博士基金資助項(xiàng)目(Y2009158)

尤翠蓮(1977-),女,河北唐山人,河北大學(xué)副教授,博士,主要從事不確定理論與模糊微分方程的研究.

E-mail：yycclian@163.com

王蘭英)