雙因素方差分析模型在霍爾測量中的應(yīng)用

羅明海，韓亞萍＊，張 凱，侯紀(jì)偉，王金鑫，高雪連

（1.東北林業(yè)大學(xué)，黑龍江哈爾濱 150040；2.太原科技大學(xué)，山西太原 030024；3.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)，安徽合肥 230026）

雙因素方差分析模型在霍爾測量中的應(yīng)用

羅明海1，韓亞萍＊1，張 凱2，侯紀(jì)偉3，王金鑫1，高雪連1

（1.東北林業(yè)大學(xué)，黑龍江哈爾濱 150040；2.太原科技大學(xué)，山西太原 030024；3.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)，安徽合肥 230026）

在測量半導(dǎo)體材料的霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)中，研究霍爾電壓在不同溫度和不同磁場強(qiáng)度下變化情況。文章通過建立雙因素方差分析數(shù)學(xué)模型對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，判斷不同的實(shí)驗(yàn)條件對實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否有顯著影響。

雙因素方差分析；霍爾效應(yīng)；霍爾電壓

在測量半導(dǎo)體材料的霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)和霍爾元件測量［1］中，經(jīng)常需要判斷不同的溫度和不同的磁場強(qiáng)度對霍爾電壓這一指標(biāo)有無顯著影響，以選取合適條件。為此，在不同溫度和不同磁場強(qiáng)度下做實(shí)驗(yàn)，在某一段溫度范圍和某一段磁場范圍內(nèi)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)總是呈現(xiàn)波動狀態(tài)。引起波動的原因可以分為兩類：一類是由實(shí)驗(yàn)條件不同引起的，這是可以控制的因素，因此由實(shí)驗(yàn)條件引起的波動是系統(tǒng)波動；另一類是由隨機(jī)因素引起的，這是不可控制的因素，因此由隨機(jī)因素引起的波動是偶然波動。這兩類波動總是混雜在一起，使實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)總的波動狀態(tài)。目的是要對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，把總的波動分為兩部分：一部分是由實(shí)驗(yàn)條件引起的系統(tǒng)波動，另一部分是由隨機(jī)因素引起的偶然波動，并對這兩部分加以比較，判斷不同的實(shí)驗(yàn)條件對實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否有顯著影響。因此，采用雙因素方差分析來對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

1 霍爾效應(yīng)

U與樣品厚度d成反比，與磁感應(yīng)強(qiáng)度和電流I

如圖1所示，樣品通以電流I，如果在垂直于樣品表面且與電流垂直的方向上加一磁場，如圖所示樣品就會產(chǎn)生一個與電流和磁場方向垂直的電勢差，這個電勢差就是霍爾電壓［2］。成正比，比例系數(shù)RH叫做霍爾系數(shù)。

圖1 霍爾效應(yīng)

霍爾電勢差是這樣產(chǎn)生的：當(dāng)電流通過樣品（假設(shè)為P型半導(dǎo)體）時，空穴有一定的漂移速度

這時電荷在樣品中流動將不再發(fā)生偏轉(zhuǎn)，霍爾電勢差 就是由這個電場建立起來的。如果樣品是n型半導(dǎo)體，則橫向電場與前者相反。

2 雙因素方差分析模型的建立

表1中，設(shè)溫度因素T有l(wèi)個不同的水平T1，T2，…，Tl，因素B有m個不同的水平B1，B2，…，Bm，共有l(wèi)×m個不同的水平組合（Ti，Bj）（i＝1，2，…，l；j＝1，2，…，m）共得到lm個結(jié)果Uij［3-4］。

表1 雙因素方差分析

上述假設(shè)可用下面的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表示：

其中Uij為水平組合為（Ti，Bj）下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，μij是水平組合為（Ti，Bj）時總體的數(shù)學(xué)期望，eij為相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)誤差，它是由實(shí)驗(yàn)中不可控制的各種偶然因素引起的隨機(jī)波動。引入

稱μ為總平均，αi為溫度因素T的第i水平Ti的效應(yīng)，βj為場強(qiáng)因素B的第j水平Bj的效應(yīng)，它們分別反映水平Ti和Bj對實(shí)驗(yàn)指標(biāo)的作用。假定T，B兩因素之間不存在交互作用，故可假定

Uij＝μ＋αi＋βj，

即水平組合（Ti，Bj）的聯(lián)合影響等于它們各自影響的疊加。于是（1）式可改寫為

由定義知αi，βj滿足

因此判斷因素T的影響是否顯著等價于檢驗(yàn)

判斷因素B的影響是否顯著等價于檢驗(yàn)

對上述假設(shè)構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計量采用離差平方和分解的方法，當(dāng)不存在交互作用時，總離差平方和分解為三部分：溫度因素T的平方和，場強(qiáng)因素B的平方和及隨機(jī)因素的誤差平方和。記為

將總離差平方和進(jìn)行分解

如果假設(shè)HT與HB是正確的，則所有的樣本Uij（i＝1，2，…，l；j＝1，2，…，m），可以看成來自同一正態(tài)總體N（μ，σ2），根據(jù)定理：

把ST，SB及SE分別除以相應(yīng)的自由度，得到因素T，因素B及誤差的平均離差平方和

當(dāng)HT、HB不為真時，F(xiàn)T，F(xiàn)B有偏大的趨勢。于是對于給定的顯著水平，查得臨界值

3 結(jié) 論

文章通過建立雙因素方差分析模型對霍爾電壓在一定溫度和場強(qiáng)條件下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，判斷溫度因素和場強(qiáng)因素在一定條件下對霍爾電壓是否有顯著影響。雙因素方差分析模型還可以應(yīng)用到其它的物理實(shí)驗(yàn)中［5］，如應(yīng)用到考慮氣流大小和氣墊導(dǎo)軌的傾斜度對加速度的影響的牛頓第二定律驗(yàn)證的實(shí)驗(yàn)中。把雙因素方差分析模型應(yīng)用到物理實(shí)驗(yàn)中，判斷實(shí)驗(yàn)條件中，哪些是主要影響因素，哪些是次要因素，判斷兩方面實(shí)驗(yàn)因素對實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否有顯著的影響很有幫助。

［1］ 盧文科，朱長純，方建安.霍爾元件與電子檢測應(yīng)用電路［M］.北京：中國電力出版社，2005.

［2］ 李學(xué)慧.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［3］ 鄧遠(yuǎn)北，周潤蘭.應(yīng)用概率統(tǒng)計［M］.北京：科學(xué)出版社，2001.

［4］ 張國權(quán).應(yīng)用概率統(tǒng)計［M］.北京：科學(xué)出版社，2003.

［5］ 王亞輝，王艷芬.方差分析在物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用［J］.宜賓學(xué)院學(xué)報，2009，9（6）：30-31.

Application of Two-factor Variance Analysis Model in the Hall Measurement

LUO Ming-hai1，HAN Ya-ping＊1，ZHANG Kai2，HOU Ji-wei3，WANG Jin-xin1，GAO Xue-lian1

（1.Northeast Forestry University，Heilongjiang Harbin 150040；2.Taiyuan University of Science and Technology，Shanxi Taiyuan 030024；3.University of Science and Technology of China，Anhui Hefei 230026）

In the experiment of the measurement of semiconductor materials Hall effect，the Hall voltage changes at different temperatures and different magnetic field strengths are often studied，Hall voltage was always fluctuated.This article established the two-factor variance analysis mathematical models to analyze the experimental data，to determine whether the results of the experiment had significant effects under different experimental conditions.

two-factor variance analysis；Hall effect；Hall voltage

O411.1

A

1007-2934（2011）06-0090-03

2011-05-11

＊通訊聯(lián)系人