Eisenstein判別法的幾個(gè)推廣＊

陳秀梅,滕常春

(濰坊學(xué)院,山東 濰坊 261061)

Eisenstein判別法是高等代數(shù)中判定有理系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約的常用的一個(gè)判別法。

那么 f(x)在有理數(shù)域上不可約。

有理系數(shù)多項(xiàng)式如果滿足Eisenstein判別法的條件(或者作一個(gè)一次變換后滿足Eisenstein判別法的條件),則可以判定其在有理數(shù)域上不可約,但對不滿足Eisenstein判別法條件的多項(xiàng)式無法確定其可約性。

本文給出了Eisenstein判別法的幾個(gè)推廣,從而可以對更大的一類有理系數(shù)多項(xiàng)式判定其不可約性。

那么 f(x)在有理數(shù)域上有次數(shù)＞k的不可約因式。

證明 對?(f(x))歸納。

?(f(x))=1時(shí),顯然 f(x)本身就是一個(gè)不可約因式。

假設(shè)對次數(shù)＜n的多項(xiàng)式成立。下證?(f(x))=n時(shí)成立。若 f(x)不可約,則結(jié)論已經(jīng)成立。

1°p|/bm,2°p|bi-1,…,b0,3°p2|/b0(否則,由 a0=b0c0得 p2|a0,矛盾。)

因此由歸納假設(shè)知 f1(x)在有理數(shù)域上有次數(shù)＞i-1≥k的不可約因式,所以 f(x)在有理數(shù)域上有次數(shù)＞k的不可約因式。

推論1 Eisenstein判別法(定理1中令 k=n-1即得)。

推論2 設(shè) f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式且無有理根,如果有一個(gè)素?cái)?shù) p,使得

(1)p|/an;(2)p|an-2,…,a0;(3)p2|/a0。

那么 f(x)在有理數(shù)域上不可約。

事實(shí)上,由f(x)無有理根知f(x)無有理一次因式,從而無有理n-1次因式,再由定理1知f(x)有次數(shù)＞n-2的有理不可約因式,因此 f(x)有次數(shù)=n的有理不可約因式,即 f(x)在有理數(shù)域上不可約。

例1 f(x)=x7-5 x6+4 x+2,問在有理數(shù)域上是否可約。

解:f(x)不滿足Eisenstein判別法的條件,無法用Eisenstein判別法判定其可約性。但是其滿足推論2的條件,從而 f(x)在有理數(shù)域上不可約。

也可以完全對偶的得到

定理2 設(shè) f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。如果有一個(gè)素?cái)?shù) p和某個(gè)正整數(shù)k,k＜n,使得

(1)p|/a0;(2)p|an-k,…,an-1,an;(3)p2|/an。

那么 f(x)在有理數(shù)域上有次數(shù)＞k的不可約因式。

推論3 設(shè) f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式,如果有一個(gè)素?cái)?shù) p,使得(1)p|/a0;(2)p|an-k,…,an-1,an;(3)p2|/an。

那么 f(x)在有理數(shù)域上不可約。

推論4 設(shè) f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式且無有理根,如果有一個(gè)素?cái)?shù),使得

(1)p|/a0;(2)p|an-k,…,an-1,an;(3)p2|/an。

那么 f(x)在有理數(shù)域上不可約。

例2 對 f(x)=2 x8+4x6+8 x+3,利用推論3知 f(x)在有理數(shù)域上不可約。

例3 對 f(x)=2 x7+4x6+x+3,利用推論4知 f(x)在有理數(shù)域上不可約。

[1]北京大學(xué)幾何與代數(shù)教研室.高等代數(shù)[M].3版.北京:高等教育出版社,2008:33-34.

[2]張禾瑞,郝炳新.高等代數(shù)[M].3版.北京:高等教育出版社,1983:72-73.