基于改進(jìn)灰色模型的TBM末段機(jī)動(dòng)彈道預(yù)測(cè)分析*

趙瑞琪,劉付顯,張 搏

(空軍工程大學(xué)導(dǎo)彈學(xué)院,陜西三原 713800)

0 引言

戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈(tactical ballistic missile,TBM)的末段機(jī)動(dòng)變軌是一種重要的突防手段。彈頭再入大氣時(shí)可以采用機(jī)動(dòng)滑翔彈道[1],這時(shí),彈頭多次采用變軌技術(shù)改變彈道,使防空反導(dǎo)武器系統(tǒng)難以跟蹤、識(shí)別和攔截,在部隊(duì)的實(shí)際訓(xùn)練中,大大降低了攔截概率。針對(duì)機(jī)動(dòng)彈道的預(yù)測(cè),最理想的方法是研究TBM的空間六自由度運(yùn)動(dòng),建立相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程、質(zhì)量方程、幾何關(guān)系方程、控制關(guān)系方程等并求解彈道[2]。利用這種方法不僅浪費(fèi)時(shí)間,還不經(jīng)濟(jì)。并且,TBM飛行速度極快,能夠用于彈道求解的數(shù)據(jù)量少,且離散度大,很難滿(mǎn)足作戰(zhàn)需求。

針對(duì)以上問(wèn)題,文中立足灰色系統(tǒng)理論,提出了基于區(qū)間預(yù)測(cè)[3]的Verhulst預(yù)測(cè)[3]新方法對(duì) TBM末段機(jī)動(dòng)彈道進(jìn)行預(yù)測(cè)。在數(shù)據(jù)量少、數(shù)據(jù)離亂的情況下,利用簡(jiǎn)單的算法建立了目標(biāo)軌跡的實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)模型,給出了滿(mǎn)意的彈道預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)。經(jīng)驗(yàn)證,方法的經(jīng)濟(jì)性好,計(jì)算簡(jiǎn)便。

1 基于區(qū)間分析的Verhulst預(yù)測(cè)

區(qū)間預(yù)測(cè)雖然能夠很好的解決數(shù)據(jù)的離亂問(wèn)題,但是預(yù)測(cè)模型的輸出是一組取值區(qū)間,而且區(qū)間的范圍可能會(huì)很大,這肯定不能滿(mǎn)足Verhulst模型預(yù)測(cè)的原始數(shù)據(jù)要求,當(dāng)然也滿(mǎn)足不了作戰(zhàn)的需求。

因此,文中在原有發(fā)展帶區(qū)間預(yù)測(cè)[3]的基礎(chǔ)上,利用發(fā)展帶上下界的曲線(xiàn),在發(fā)展帶包絡(luò)的中心取點(diǎn),作為Verhulst模型的原始數(shù)據(jù),進(jìn)行預(yù)測(cè)。

具體計(jì)算步驟如下:

步驟1:

對(duì)樣本序列x(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(k)},從中從后向前依次去掉一個(gè)數(shù)據(jù),構(gòu)成3組新序列,與原序列構(gòu)成4個(gè)不同的序列:并對(duì)序列依次采取步驟2。

步驟2:

對(duì)原始樣本序列為x(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(k)},求序列的一次累加生成序列,即1-AGO。

得到生成序列,x(1)(k)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(k)},據(jù)此建立關(guān)于x(1)(k)的一階線(xiàn)性白化微分方程:

利用最小二乘法解參數(shù)a、b為:

步驟3:

在所得兩個(gè)發(fā)展帶的基礎(chǔ)上,利用下式求出Verhulst模型的輸入數(shù)據(jù):

圖1 Verhulst模型樣本點(diǎn)選取示意圖

Verhulst模型的樣本點(diǎn)的選取如圖1所示。

步驟4:

對(duì)于新序列x(0),構(gòu)造一次累加生成序列(1-AGO)x(1),接著構(gòu)造作為GM(1,1)冪模型的白化方程。利用式:進(jìn)行Verhulst預(yù)測(cè),最終所得結(jié)果即為預(yù)測(cè)值。

2 TBM的機(jī)動(dòng)彈道預(yù)測(cè)

2.1 機(jī)動(dòng)速度坐標(biāo)系

由于影響地空導(dǎo)彈對(duì)機(jī)動(dòng)TBM攔截的主要因素是TBM機(jī)動(dòng)方向的速度,因此文中在速度坐標(biāo)系[4]的基礎(chǔ)上,引入機(jī)動(dòng)速度坐標(biāo)系。

圖2 機(jī)動(dòng)速度坐標(biāo)系示意圖

機(jī)動(dòng)速度坐標(biāo)系如圖 2所示。圖中:O1為坐標(biāo)原點(diǎn),取彈頭質(zhì)心;O1x3其指向與彈頭在機(jī)動(dòng)開(kāi)始時(shí)刻的速度方向一致;O1y3為彈頭的機(jī)動(dòng)方向在與O1x3軸垂直的平面內(nèi)的投影;O1z3垂直于O1x3和O1y3軸,其指向按右手法則確定。

2.2 實(shí)例驗(yàn)證

2.2.1 算例

由于側(cè)向機(jī)動(dòng)對(duì)彈頭原始速度方向即O1x3軸速度分量影響不大,故僅考慮彈頭O1y3軸方向位移。已知每隔時(shí)間Δt測(cè)得的彈頭在軸位移量(即樣本數(shù)據(jù))為{497,724,901,1429},其一次累加序列為{497,1221,2122,3551}。

下面是利用GM(1,1)模型預(yù)測(cè)、Verhulst模型預(yù)測(cè)和基于區(qū)間預(yù)測(cè)的Verhulst預(yù)測(cè)所得到的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)(預(yù)測(cè)值、模擬值、殘差和相對(duì)誤差[3])對(duì)比:

表1 GM(1,1)模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)

表2 Verhulst模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)

表3 基于區(qū)間預(yù)測(cè)的Verhulst模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)

預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比可以用圖3表示。

圖3 預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比圖

2.2.2 結(jié)果分析

從上述圖表可以得出結(jié)論:

1)從表格中可以看出,相比于傳統(tǒng)GM(1,1)模型預(yù)測(cè)方法,新方法具有良好的收斂性,與 TBM 末段5km左右的機(jī)動(dòng)半徑[1]的事實(shí)比較相符。

2)相比于傳統(tǒng)Verhulst模型預(yù)測(cè)方法,新方法的相對(duì)誤差明顯減小,平均相對(duì)誤差僅有2.0%,然而傳統(tǒng)Verhulst模型預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差最小的也有10.0%。

通過(guò)以上兩點(diǎn),足以說(shuō)明,基于區(qū)間預(yù)測(cè)的Verhulst模型預(yù)測(cè)方法具有對(duì)少量、離散數(shù)據(jù)樣本預(yù)測(cè)的巨大優(yōu)勢(shì)。

3 結(jié)束語(yǔ)

在已有的區(qū)間預(yù)測(cè)和Verhulst模型預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)上,綜合兩者的優(yōu)點(diǎn)得出了基于區(qū)間預(yù)測(cè)的Verhulst預(yù)測(cè)新方法,并將其應(yīng)用到TBM機(jī)動(dòng)彈道的預(yù)測(cè)當(dāng)中,較好的解決了TBM機(jī)動(dòng)彈道徑向偏移呈S形增長(zhǎng)的預(yù)測(cè)問(wèn)題。通過(guò)仿真算例的對(duì)比,證實(shí)了新方法具有相對(duì)誤差小、收斂性好的特點(diǎn),在工程中有一定的應(yīng)用價(jià)值。

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[4]張毅,楊耀輝,李俊莉.彈道導(dǎo)彈彈道學(xué)[M].長(zhǎng)沙:國(guó)防科技大學(xué)出版社,1999.

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