利用彈性張量解析表達(dá)式識(shí)別任意空間取向TI介質(zhì)

陳文康 姚 陳 郝重濤

(中國(guó)地震局地質(zhì)研究所，北京 100029)

利用彈性張量解析表達(dá)式識(shí)別任意空間取向TI介質(zhì)

陳文康 姚 陳 郝重濤

(中國(guó)地震局地質(zhì)研究所，北京 100029)

利用任意空間取向橫向各向同性介質(zhì)(ATI)的彈性張量解析表達(dá)式，分析ATI彈性常數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，得到一個(gè)判斷ATI介質(zhì)的必要條件。假若介質(zhì)彈性矩陣滿足這個(gè)ATI必要條件，可做ATI假設(shè)，確定可能的ATI對(duì)稱軸空間取向。此時(shí)，如果通過(guò)坐標(biāo)變換得到的是VTI彈性矩陣，就說(shuō)明介質(zhì)確實(shí)是ATI介質(zhì)，這就完整地解決了從包含21個(gè)非零元素的彈性矩陣判斷介質(zhì)是否ATI的問(wèn)題。數(shù)值算例驗(yàn)證了這種方法在剔除非ATI彈性矩陣時(shí)的便捷與識(shí)別ATI介質(zhì)時(shí)的可靠。

橫向各向同性 ATI 彈性張量 對(duì)稱軸

0 引言

地震波在地下介質(zhì)傳播，當(dāng)經(jīng)過(guò)的介質(zhì)并非完全各向同性時(shí)，就會(huì)在宏觀上表現(xiàn)出地震波的傳播速度隨方向的不同而有所變化的現(xiàn)象，即地震波傳播的各向異性。通常都認(rèn)為，無(wú)論是地殼中的裂隙(Crampin et al.，1984)，還是從地殼淺部的各類沉積巖(Thomsen，1986)到上地幔的橄欖巖等各向異性(Hess，1964;Crampin，1966;Bamford，1977)，介質(zhì)中有個(gè)各向同性面，地震波速度在該平面內(nèi)一致，但卻不同于法向的速度。這種各向異性被稱為橫向各向同性(Transvesely Isotropy，TI)。至今，TI被認(rèn)為是不同深度地球介質(zhì)各向異性的主要特征。

以往對(duì)TI介質(zhì)的研究主要集中在具有水平或垂直對(duì)稱軸的TI介質(zhì)，即HTI或VTI，還有在波傳播入射面內(nèi)的TI對(duì)稱軸傾斜(TTI)的模型。但是TI介質(zhì)的對(duì)稱軸不可能都是垂直或水平的或TTI的。裂隙可能是傾斜的;由于構(gòu)造變形，TI沉積層未必有垂直對(duì)稱軸;上地幔的橄欖巖層在整個(gè)變形中形成的晶體定向排列未必都有水平對(duì)稱軸，這些要求在觀測(cè)解釋中需要突破以往VTI和HTI幾個(gè)簡(jiǎn)單模型的限制，而將TI模型擴(kuò)展到任意空間取向的TI，即ATI(姚陳等，2004)。

單就彈性常數(shù)而言，ATI彈性矩陣有21個(gè)非零且互異的分量，這與三斜介質(zhì)彈性矩陣具有的非零彈性常數(shù)個(gè)數(shù)相同。在地震的各向異性反演中，如果不對(duì)模型人為地增加限制條件，可以從具有最低對(duì)稱性的三斜模型出發(fā)得到21個(gè)彈性常數(shù)。如果地下介質(zhì)確實(shí)是三斜各向異性的，那么應(yīng)該有相應(yīng)的地質(zhì)解釋;但是，如果得到的21個(gè)彈性常數(shù)是ATI的，其地質(zhì)解釋與三斜介質(zhì)的顯然不同。為此，在理論上需要解決從反演的21個(gè)彈性常數(shù)進(jìn)一步確認(rèn)各向異性是否是ATI的問(wèn)題。

Cowin等(1987)從理論上提出并解決了根據(jù)彈性矩陣確定各向異性鏡像對(duì)稱面，從而確定各向異性所屬對(duì)稱系的問(wèn)題，但涉及的問(wèn)題較多，計(jì)算也比較復(fù)雜。

本文將針對(duì)ATI介質(zhì)彈性矩陣的識(shí)別問(wèn)題，從ATI彈性張量解析表達(dá)式(Spies，1994;姚陳等，2009)出發(fā)，分析各ATI彈性常數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從中提取判斷各向異性是否ATI的一個(gè)必要條件;給出確定ATI對(duì)稱軸方向的方法，通過(guò)坐標(biāo)變換將ATI彈性矩陣轉(zhuǎn)換為VTI的彈性矩陣，完成ATI的識(shí)別。最后對(duì)方法的可行性進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證。

1 利用ATI彈性張量解析表達(dá)式獲得ATI必要條件

用大寫字母C表示對(duì)稱面坐標(biāo)系O－lmn下的彈性張量，小寫字母c表示在非對(duì)稱面坐標(biāo)系O－xyz下的彈性張量;另外，還同時(shí)使用4個(gè)角標(biāo)的4階彈性張量Cijkl、cijkl和2個(gè)角標(biāo)的Voigt形式的彈性矩陣CJK、cJK。彈性張量(以非對(duì)稱面坐標(biāo)系下的為例)滿足對(duì)稱性cijkl=cjikl=cklij，cJK=cKJ。對(duì)于三斜以外的各向異性介質(zhì)，對(duì)稱面坐標(biāo)系(三斜介質(zhì)無(wú)對(duì)稱面)下的彈性張量有最少的非零元素。

因?yàn)橛幸粋€(gè)各向同性平面，TI介質(zhì)是具有軸對(duì)稱性的。當(dāng)TI對(duì)稱軸與直角坐標(biāo)系的一個(gè)坐標(biāo)軸重合時(shí)，TI彈性張量?jī)H有5個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。取C11、C33、C13、C55和C66為VTI的5個(gè)獨(dú)立彈性常數(shù)，其它非零 VTI彈性常數(shù)為 C22=C11、C23=C13、C44=C55、C12=C11－ 2C66。

當(dāng)TI有任意空間取向時(shí)(ATI)，TI彈性張量一般具有21個(gè)非零彈性常數(shù)，這與三斜、在非對(duì)稱面坐標(biāo)系下的單斜、正交各向異性相似，難以看出對(duì)稱性。但由于ATI的彈性張量只依賴對(duì)稱軸空間取向和VTI彈性常數(shù)，它的21個(gè)彈性常數(shù)有以下統(tǒng)一的解析表達(dá)式(Spies，1994;姚陳等，2009)

其中，cijkl是ATI的彈性張量，用大寫字母C及2個(gè)角標(biāo)表示的C12等是VTI彈性常數(shù)，δij是Kronecker符號(hào)，ni是ATI對(duì)稱軸。

為了分析ATI各個(gè)彈性常數(shù)之間的關(guān)系，先定義以下VTI彈性常數(shù)之間的3個(gè)絕對(duì)偏離:

展開ATI彈性張量解析表達(dá)式以分析各元素之間的關(guān)系。

以上對(duì)21個(gè)ATI彈性常數(shù)進(jìn)行了分組，其中第1組9個(gè)元素對(duì)應(yīng)著對(duì)稱面坐標(biāo)系下的非零元素，即VTI彈性常數(shù)，而第2組12個(gè)元素對(duì)應(yīng)著對(duì)稱面坐標(biāo)系下的零元素。在非對(duì)稱面坐標(biāo)系下，第1組元素通常仍有較大的數(shù)值，而第2組元素雖然不為零卻也相對(duì)較小。

這些展開式的好處是方便分析21個(gè)ATI彈性常數(shù)對(duì)VTI彈性常數(shù)及對(duì)稱軸空間取向的依賴性，從而便于進(jìn)行組合以突顯它們之間內(nèi)在的聯(lián)系。從上面給出的ATI彈性常數(shù)的解析表達(dá)式，容易得到

該式只包含ATI對(duì)稱軸的信息，而與5個(gè)VTI彈性常數(shù)無(wú)關(guān)。根據(jù)此式，還可以消去對(duì)稱軸的影響，得到以下不依賴于對(duì)稱軸空間取向的等式

以上6個(gè)元素在彈性矩陣中的位置用下劃線標(biāo)示，其中左側(cè)3個(gè)元素帶1條線，右側(cè)3個(gè)元素帶2條線

式(6)對(duì)任意各向異性強(qiáng)度、任意空間取向的TI介質(zhì)都成立，是判斷介質(zhì)是否ATI介質(zhì)的一個(gè)必要條件，本文“ATI必要條件”專指此式。如果ATI必要條件不能滿足，那么就說(shuō)明介質(zhì)不可能是ATI的。這樣可以很方便地排除一些非ATI的彈性矩陣。

2 確定ATI對(duì)稱軸

如果ATI必要條件可以滿足(包括在誤差范圍內(nèi)近似成立)，可假設(shè)介質(zhì)為ATI介質(zhì)。那么根據(jù)式(5)，兩兩組合，可以得到

于是，利用式(7)右側(cè)任意一個(gè)比例式，均可方便地確定ATI的對(duì)稱軸空間取向，即ni的值。比如，利用式(7)右側(cè)第1個(gè)比例式，得到

這里有3種不同的4元素組合可用于確定ATI對(duì)稱軸空間取向;ATI必要條件就相當(dāng)于要求這3種組合確定的ATI對(duì)稱軸空間取向相一致(可以相差一個(gè)負(fù)號(hào))。

3 從ATI到VTI

在假設(shè)介質(zhì)為ATI并確定了ATI對(duì)稱軸空間取向后，還需要通過(guò)坐標(biāo)變換，轉(zhuǎn)換到以該軸為第3個(gè)坐標(biāo)軸的坐標(biāo)系O－lmn(由于只關(guān)心TI介質(zhì)，本文稱之為VTI坐標(biāo)系)下，看彈性矩陣能否變成VTI的彈性矩陣。在ATI必要條件滿足時(shí)，只有通過(guò)這一步的變換，才能最終確定介質(zhì)是不是ATI的。

因?yàn)門I介質(zhì)有關(guān)于n^軸的軸對(duì)稱性，若介質(zhì)確實(shí)是ATI的，則l^、m^的選取不會(huì)影響VTI坐標(biāo)系下的彈性矩陣。于是，O－lmn的另外2個(gè)坐標(biāo)軸可以在垂直于n^的平面內(nèi)任取，只要保證的正交性及右手性。不妨取l^同時(shí)也垂直于非對(duì)稱面坐標(biāo)系的z軸，即

式(9)中，×表示矢量叉乘，1/|z^×n^|是單位化因子。在確定以后，也就確定了從非對(duì)稱面坐標(biāo)系到VTI坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣。這個(gè)3×3的坐標(biāo)變換矩陣不能直接用于6×6彈性矩陣的坐標(biāo)變換，但可以根據(jù)它寫出用于6×6彈性矩陣的坐標(biāo)變換的Bond矩陣(Auld，1975)，進(jìn)而進(jìn)行Bond變換得到VTI坐標(biāo)系下的彈性矩陣。

4 數(shù)值算例

除TI介質(zhì)以外，正交各向異性也是地震波傳播各向異性的研究中比較常用的各向異性介質(zhì)模型，而它在非對(duì)稱面坐標(biāo)系下的彈性矩陣，也與ATI彈性矩陣一樣，有21個(gè)非零元素，難以直觀地分辨出介質(zhì)所屬對(duì)稱系;本節(jié)就采用來(lái)進(jìn)行反演，用本文的方法判斷它們是否蘊(yùn)含著TI對(duì)稱性。

4.1 正交各向異性

這里將對(duì)稱坐標(biāo)系下的正交各向異性彈性常數(shù)取為Anderson等(1995)文章中橄欖巖Fo90Fa10在1 500K測(cè)得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(單位GPa):

在非對(duì)稱面坐標(biāo)系下的彈性矩陣為

該矩陣是反演的基礎(chǔ)，即我們要根據(jù)此彈性矩陣來(lái)判定介質(zhì)是否ATI。

為此，首先將所給的彈性常數(shù)代入ATI必要條件，即c34c26c15=c35c24c16一式(式中元素在彈性矩陣cJK中的位置用下劃線標(biāo)出，其中左側(cè)元素帶1條線而右側(cè)元素帶2條線)，看是否成立。因?yàn)樽筮?(11.4991)*(－0.2398)*(－0.3636)=1.0026，而右邊=(9.3732)*(2.1453)*(－2.7122)=－54.5378，等式不成立，亦即ATI必要條件不成立，此介質(zhì)一定不是ATI介質(zhì)。事實(shí)上，我們知道這是正交各向異性介質(zhì)。

這里我們只用一個(gè)非常簡(jiǎn)單的等式，就識(shí)別出介質(zhì)的彈性常數(shù)矩陣并不是我們關(guān)心的TI介質(zhì)的，有效避免了不必要的計(jì)算。

4.2 ATI介質(zhì)

VTI彈性常數(shù)CJK選擇郝重濤等(2007)文中模型6的氣飽和頁(yè)巖質(zhì)煤的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(單位GPa):

從矩陣元素C11與C33之間，C12與C13之間的巨大差別(各向同性則差別為零)，容易看出，這是一種各向異性很強(qiáng)的TI介質(zhì)。

為獲得ATI彈性矩陣，將ATI對(duì)稱軸空間取向即n^的坐標(biāo)取為

利用ATI彈性張量解析表達(dá)式式(1)可以得到ATI彈性矩陣，即TI介質(zhì)在非對(duì)稱面坐標(biāo)系下的彈性矩陣:

與4.1節(jié)一樣，該矩陣是反演的基礎(chǔ)，即我們要根據(jù)此彈性矩陣來(lái)判定介質(zhì)是否ATI。

為此，同樣先將所給的彈性常數(shù)代入ATI必要條件，即c34c26c15=c35c24c16一式(式中元素在彈性矩陣cJK中的位置用下劃線標(biāo)出，其中左側(cè)元素帶1條線而右側(cè)元素帶2條線)，看是否成立。因?yàn)樽筮?(－1.3033)*(－1.6942)*(－3.2779)=－7.2377，而右邊=(－0.9775)*(－3.7648)*(－1.9668)=－7.2377，等式成立，即ATI必要條件可以滿足，此介質(zhì)有可能是ATI介質(zhì)。

于是，可以假設(shè)介質(zhì)為ATI，獲取其對(duì)稱軸空間取向，利用公式(8.1)計(jì)算得

進(jìn)一步確定VTI坐標(biāo)系的另外2個(gè)坐標(biāo)軸的坐標(biāo)

于是，從非對(duì)稱面坐標(biāo)系到VTI坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣為

其中角標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置。相應(yīng)的Bond矩陣為

利用Bond變換得到VTI坐標(biāo)系下的彈性矩陣為

其中，(M)表示Bond矩陣M，(c)表示在非對(duì)稱面坐標(biāo)系下的彈性矩陣cJK。CinversedJK符合對(duì)VTI彈性矩陣的要求，也與最初給出的VTI彈性矩陣CJK完全一致，這就說(shuō)明VTI坐標(biāo)系下介質(zhì)彈性矩陣確實(shí)是VTI的，而在非對(duì)稱面坐標(biāo)系下的彈性矩陣cJK確實(shí)代表著ATI介質(zhì)。至此，ATI介質(zhì)的識(shí)別最終完成。

5 結(jié)論

(1)從ATI彈性張量表達(dá)式出發(fā)，ATI彈性常數(shù)之間必然存在一定的關(guān)系。理論上，這些內(nèi)在的關(guān)系應(yīng)該是不受TI各向異性的強(qiáng)弱以及ATI對(duì)稱軸空間取向限制的，是具有普遍適用性的。本文提取了這樣一個(gè)關(guān)系式，即“ATI必要條件”。

(2)如果介質(zhì)的彈性矩陣不能滿足ATI必要條件，說(shuō)明介質(zhì)一定不是ATI介質(zhì)。根據(jù)這一點(diǎn)可以方便地排除許多有21個(gè)非零元素而沒有TI對(duì)稱性的彈性矩陣。

(3)對(duì)于滿足ATI必要條件的彈性矩陣，為最終確定是否ATI，還需走以下流程:先確定可能的ATI對(duì)稱軸，再進(jìn)行坐標(biāo)變換得到VTI坐標(biāo)系下彈性矩陣，并與VTI彈性矩陣進(jìn)行比較。

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IDENTIFYING A TIMEDIUM WITH ARBITRARY ORIENTATION BY USING THE ANALYTIC EXPRESSION OF ITS ELASTIC TENSOR

CHENWen-kang YAO Chen HAO Chong-tao
(Institute of Geology，Chinese Earthquake Administration，Beijing 100029，China)

Transverse isotropy(TI)symmetry is widely applied to the study of seismic anisotropy.It can model almost all kinds of observed anisotropy，including stress-aligned cracks in the crust，a variety of sedimentary rocks and anisotropic minerals such as olivine in the uppermost mantle.TI anisotropy represents themain characteristics of different kinds of anisotropymedia at various depths.

TImedia are not always horizontal(HTI)or vertical(VTI)，but could be with an arbitrary orientation of symmetry axis.Cracksmay be vertical or nearly vertical，but they could also be tilted;sedimentary rocks that underwent tectonic deformation may not retain vertical axis;the lattice preferred orientation of upper mantle olivine could also differ from horizontal.These ask for the breaking of usual hypothesis of VTIor HTI，and solving the problems concerningwave propagation and data interpretation through a TImedium with arbitrary orientation(ATI).

In terms of elasticity matrix，the ATImedium is similar to the triclinic medium，both of which have 21 nonzero and distinct components.Given the elastic matrix of the medium，it’s important to determine the symmetric system it belongs to.Considering the prevalence of TIsymmetry in the study of anisotropy，it’s especially important to decide whether themedium is an ATIone.

Due to the rotational invariance of the TImedium about its axis，the 21 components of the ATI elastic coefficientmatrix are notmutually independent at all.In fact，they can be expressed by five mutually independent elasticity constantsmeasured in its innate symmetric coordinate system and the orientation of the symmetry axis.In light of the analytical expression for the ATI elastic tensor，it is possible to analyze the relations between the ATI elastic coefficients and find a way to identify ATI elastic matrix.

transverse isotropy，ATI，elastic tensor，symmetry axis

P315.72

A

0253－4967(2011)03－0684－09

10.3969/j.issn.0253 － 4967.2011.03.017

2010－08－02收稿，2011－05－12改回。

國(guó)家自然科學(xué)基金(40874028)資助。

陳文康，男，1983年生，2007年畢業(yè)于北京大學(xué)地球物理系，獲得學(xué)士學(xué)位，同年進(jìn)入中國(guó)地震局地質(zhì)研究所攻讀碩士學(xué)位，研究方向?yàn)榈卣鸩ǜ飨虍愋?，電?010－62009185，E－mail:dukang_lc@qq.com。