實(shí)物復(fù)合期權(quán)模型在采礦權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用

王華強(qiáng)，劉黎明

（首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)，北京100070）

在評(píng)估實(shí)務(wù)中，采礦權(quán)的估價(jià)方法主要是采用貼現(xiàn)現(xiàn)金流法。該方法的評(píng)估原理，是選取某一適當(dāng)?shù)恼郜F(xiàn)率對(duì)未來(lái)預(yù)期現(xiàn)金流進(jìn)行折現(xiàn)。Fisher提出的這種貼現(xiàn)現(xiàn)金流方法，由于簡(jiǎn)單實(shí)用而在實(shí)務(wù)中被廣泛使用，但是它的缺點(diǎn)很明顯，尤其是面對(duì)不確定性高的采礦權(quán)。礦產(chǎn)品的價(jià)格具有隨機(jī)波動(dòng)特點(diǎn)，所以無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)未來(lái)的現(xiàn)金流。另一方面，在長(zhǎng)達(dá)幾年甚至十幾年的開(kāi)采期內(nèi)，選擇一個(gè)準(zhǔn)確的貼現(xiàn)率是很困難的。這種靜態(tài)的評(píng)估方法，沒(méi)有考慮在礦產(chǎn)開(kāi)采過(guò)程中的不確定性。

隨著期權(quán)定價(jià)理論在實(shí)物資產(chǎn)領(lǐng)域的應(yīng)用，實(shí)物期權(quán)理論逐漸形成。在國(guó)外，學(xué)者已經(jīng)將實(shí)物期權(quán)應(yīng)用到礦山整體價(jià)值評(píng)估［1］、近海石油租賃合約定價(jià)［2］、森林資源投資［3］等領(lǐng)域，但是這些研究中，沒(méi)有采礦權(quán)的估價(jià)。國(guó)內(nèi)學(xué)者自20世紀(jì)90年代開(kāi)始，逐漸將實(shí)物期權(quán)用于定價(jià)方面的應(yīng)用研究［4－8］，其領(lǐng)域涉及：自然資源評(píng)估、環(huán)境項(xiàng)目投資、礦業(yè)權(quán)評(píng)估、礦產(chǎn)資源投資策略等。雖然國(guó)內(nèi)學(xué)者將期權(quán)定價(jià)理論應(yīng)用在礦產(chǎn)權(quán)方面，但應(yīng)用中存在一些不足，主要表現(xiàn)在：僅僅將實(shí)物資產(chǎn)中的各項(xiàng)參數(shù)直接或稍加修正應(yīng)用到B－S模型；將礦產(chǎn)權(quán)價(jià)值與礦產(chǎn)資源收益的概念等同；不考慮礦產(chǎn)生產(chǎn)的時(shí)滯性；不加條件的直接使用期權(quán)的可加性等。

鄒紹輝等［8］提出，礦產(chǎn)企業(yè)最終獲得的收益應(yīng)當(dāng)補(bǔ)償其礦產(chǎn)投資資本的機(jī)會(huì)成本。雖然采礦權(quán)持有者具有開(kāi)采礦產(chǎn)資源并出售礦產(chǎn)品的權(quán)利，但是并不能獲得全部收益，而是應(yīng)付出一部分以采礦權(quán)為名義的收益。因此，在采礦權(quán)的期權(quán)模型中，標(biāo)的資產(chǎn)是礦產(chǎn)品的凈收益，敲定價(jià)格是投資的機(jī)會(huì)成本。盡管鄒紹輝等指出礦產(chǎn)資源采礦權(quán)是一個(gè)多期多階段的復(fù)合看漲期權(quán)，但是在文獻(xiàn)中的期權(quán)模型并非嚴(yán)格的復(fù)合期權(quán)模型。另外，機(jī)會(huì)成本反應(yīng)了投資的最大收益。在理性市場(chǎng)條件下，敲定價(jià)格不應(yīng)是機(jī)會(huì)成本而應(yīng)是預(yù)期收益。本文旨在分析采礦權(quán)的復(fù)合期權(quán)屬性，建立采礦權(quán)定價(jià)的復(fù)合期權(quán)模型，并實(shí)證分析，為采礦權(quán)投資決策提供依據(jù)。

1 采礦權(quán)建模

復(fù)合期權(quán)的研究起源于Black和Scholes在期權(quán)定價(jià)方面的開(kāi)創(chuàng)性工作。他們將股票視為寫(xiě)在公司價(jià)值上的期權(quán)，若公司價(jià)值可視為寫(xiě)在公司債券上的期權(quán)，則股票便是寫(xiě)在公司債券上的復(fù)合期權(quán)［9］。Geske把公司股票看作寫(xiě)在公司資產(chǎn)價(jià)值上的歐式看漲期權(quán)，再在歐式看漲期權(quán)上建模為復(fù)合期權(quán)，并導(dǎo)出了簡(jiǎn)單復(fù)合歐式期權(quán)模型封閉形式的解［10］。Geske給出的簡(jiǎn)單復(fù)合期權(quán)定價(jià)的一般公式，成為復(fù)合期權(quán)發(fā)展的基礎(chǔ)。復(fù)合期權(quán)本質(zhì)上是一系列權(quán)利的嵌套，適合描述涉及序列決策問(wèn)題。在實(shí)踐中，礦產(chǎn)企業(yè)按年度決定是否執(zhí)行采礦權(quán)，如果選擇執(zhí)行采礦權(quán)，將主要進(jìn)行兩步投資：第一，開(kāi)采階段，在這一階段需要投入資金，完成人力資源籌備、礦石開(kāi)采等工作，此時(shí)投入資金稱(chēng)之為開(kāi)采成本；第二，選礦階段，在這一階段需要投入資金，對(duì)第一階段的礦石進(jìn)行冶煉，最終獲得礦產(chǎn)品并出售，此階段投入資金稱(chēng)之為選礦成本，兩次投資總和為總投資。

采礦權(quán)持有者在采礦權(quán)起始日擁有一種期權(quán)，能夠在某開(kāi)采日投資開(kāi)采，稱(chēng)為開(kāi)采期權(quán)。如果持有者決定投資開(kāi)采，便又購(gòu)買(mǎi)到一種看漲期權(quán)，該期權(quán)使得采礦權(quán)持有者擁有在選礦階段結(jié)束后，出售礦產(chǎn)品并獲利的權(quán)利，稱(chēng)為選礦期權(quán)。對(duì)于選礦的期權(quán)，礦產(chǎn)企業(yè)在開(kāi)采時(shí)刻擁有一種是否進(jìn)行礦石冶煉的權(quán)利，而非義務(wù)。因此，選礦期權(quán)就是一份以礦產(chǎn)資源價(jià)值，即礦產(chǎn)品銷(xiāo)售的凈收益為標(biāo)的資產(chǎn)，以選礦資金的預(yù)期收益為敲定價(jià)格的看漲期權(quán)。對(duì)于開(kāi)采期權(quán)，礦產(chǎn)企業(yè)在采礦權(quán)起始時(shí)刻，擁有一種在某時(shí)刻是否進(jìn)行礦石開(kāi)采的權(quán)利，而非義務(wù)。因此，開(kāi)采期權(quán)是一份以選礦期權(quán)為標(biāo)的資產(chǎn)，以采礦資金的預(yù)期收益為敲定價(jià)格的看漲期權(quán)。這樣，采礦權(quán)是一份在看漲期權(quán)的基礎(chǔ)上，又擁有一份看漲期權(quán)的期權(quán)。因此，采礦權(quán)持有者擁有的不是簡(jiǎn)單的歐式看漲期權(quán)，而是一份兩期復(fù)合期權(quán)。

首先對(duì)模型的符號(hào)進(jìn)行設(shè)定：

P為年度礦產(chǎn)品的價(jià)值；C和I為對(duì)應(yīng)開(kāi)采成本和選礦成本；S為礦產(chǎn)品收益，S＝P－I；采礦權(quán)期限為n年，年度時(shí)刻為T(mén)i，Ti＝0，1，2，3，…，n；Vi、為T(mén)i時(shí)刻的采礦權(quán)價(jià)值；Ti時(shí)刻的開(kāi)采成本的預(yù)期收益為K1，開(kāi)采的產(chǎn)品總成本的預(yù)期收益為K2，K1＝C×α，K2＝I×α，其中α為預(yù)期收益比例。

為了建立采礦權(quán)的定價(jià)模型，本文需要對(duì)礦產(chǎn)企業(yè)的經(jīng)營(yíng)狀況進(jìn)行假設(shè)，具體內(nèi)容如下：

假設(shè)1：年初支付開(kāi)采成本，年末支付選礦成本，且其預(yù)期收益比例為常數(shù)；由此假設(shè)可知，企業(yè)一旦執(zhí)行開(kāi)采期權(quán)，進(jìn)入采礦階段，獲得的選礦期權(quán)的期限為一年。

假設(shè)2：最終行權(quán)日不超過(guò)采礦權(quán)期滿(mǎn)日。

假設(shè)3：開(kāi)采和選礦成本以現(xiàn)有技術(shù)水平為基準(zhǔn)，即投資成本不變。

假設(shè)4：礦產(chǎn)品凈收益S的分布服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。

假設(shè)5：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)。

據(jù)前文分析，每年的采礦權(quán)可以看作是復(fù)合期權(quán)，所以采礦權(quán)的價(jià)格是按年度系列計(jì)算的復(fù)合期權(quán)價(jià)格的總和。下文首先以開(kāi)開(kāi)采時(shí)刻為T(mén)i為例，計(jì)算該時(shí)刻復(fù)合期權(quán)的價(jià)格，然后求總和得到采礦權(quán)的價(jià)值。

又，在t＝Ti時(shí)刻相應(yīng)的終止條件為：

因此，在區(qū)域Ω1上的期權(quán)定價(jià)公式：

由此，可得到開(kāi)采時(shí)刻為T(mén)i的復(fù)合期權(quán)價(jià)格：

其中

參數(shù)a1i中S＊是滿(mǎn)足方程：

其中

M（a，b；ρ）表示二維累計(jì)正態(tài)分布函數(shù)：M（a，b；ρ）＝p｛X≤a，Y ≤b｝

這里X ～N（0，1）、Y ～N（0，1）都是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，Cov（X，Y）＝ρ，（0＜ρ＜1）。

由上述分析可知，某一年的采礦權(quán)價(jià)格，可以由簡(jiǎn)單復(fù)合期權(quán)模型得到，那么整個(gè)期限采礦權(quán)價(jià)格，即為逐年的復(fù)合期權(quán)價(jià)格之和：

相關(guān)參數(shù)同上。

2 實(shí)證研究

2.1 參數(shù)計(jì)算

實(shí)例：廣實(shí)會(huì)計(jì)師事務(wù)所有限公司為云南達(dá)亞有色金屬有限公司獅子山銅礦采礦權(quán)進(jìn)行評(píng)估。其主要參數(shù)總結(jié)如表1所示。

因?yàn)樵u(píng)估計(jì)算期銅精礦產(chǎn)量共30351．23t，且礦產(chǎn)的服務(wù)年限為9．52年，所以可以得到銅精礦的生產(chǎn)規(guī)模為3188．15t／a。又有銅精礦的不含稅價(jià)格，可得年度礦產(chǎn)品的價(jià)值為124018345．82元；因?yàn)樵u(píng)估計(jì)算期銅礦石產(chǎn)量共491萬(wàn)t，且礦產(chǎn)的服務(wù)年限為9．52年，所以可以得到銅礦石的生產(chǎn)規(guī)模為515756．30t／a。又有單位總成本費(fèi)用，可得獅子山銅礦年生產(chǎn)總成本為98277363．45元。所以，礦產(chǎn)資源年收益為25740982．37元。按照礦產(chǎn)生產(chǎn)的實(shí)際情況，銅精礦的生產(chǎn)過(guò)程包括采礦過(guò)程和選礦過(guò)程。根據(jù)礦產(chǎn)生產(chǎn)的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，一般可以認(rèn)為，地下開(kāi)采成本與選礦成本比例為2∶1。因此，獅子山銅礦的年開(kāi)采成本為65518242．30元，相應(yīng)選礦成本為32759121．15元。

本文選取了證監(jiān)會(huì)行業(yè)分類(lèi)中有色金屬礦采選業(yè)的歷年銷(xiāo)售毛利率，以行業(yè)的平均毛利率來(lái)表示投資預(yù)期收益比率，將其平均值23．61%作為投資預(yù)期收益比率。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益可由十年期2009國(guó)債27（019927）的年利率3．68%來(lái)代替。根據(jù)銅價(jià)歷史數(shù)據(jù)，本文計(jì)算得到年波動(dòng)率為0．29714。期權(quán)定價(jià)參數(shù)總結(jié)如表2所示。

表1 評(píng)估參數(shù)表

表2 期權(quán)定價(jià)參數(shù)表

2.2 定價(jià)實(shí)證結(jié)果

在采礦權(quán)期期初，采礦權(quán)持有者具有一年的基建時(shí)間。因此，第一個(gè)復(fù)合期權(quán)是2010年9月30日的，此刻距離評(píng)估基準(zhǔn)日是1年，距離采礦權(quán)到期日有9．5年。依此類(lèi)推，將在此后每年9月30日遇到一個(gè)復(fù)合期權(quán)，直到2019年9月30日。2019年9月30日為采礦權(quán)期限內(nèi)最后一個(gè)復(fù)合期權(quán)，其成熟期為2020年3月31日。由上述推導(dǎo)的采礦權(quán)定價(jià)公式，首先應(yīng)該確定協(xié)方差、臨界礦產(chǎn)資源收益值，以及其他累計(jì)分布函數(shù)的參數(shù)值，然后代入公式中計(jì)算結(jié)果。在計(jì)算中，由于本文選例的特殊性，礦山服務(wù)年限是9．52年，所以在計(jì)算最后半年的復(fù)合期權(quán)時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)和敲定價(jià)格都相應(yīng)減半。二維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累計(jì)分布函數(shù)M（a1i，b1i；ρi）和 M（a2i，b2i；ρi），表3中分別以 M1和M2代替。本文通過(guò)數(shù)學(xué)軟件Matlab計(jì)算復(fù)合期權(quán)的各參數(shù)值，所得結(jié)果如表3所示。

表3 常數(shù)波動(dòng)率復(fù)合期權(quán)評(píng)估表

由表3得到采礦權(quán)的價(jià)值約為4216．61萬(wàn)元，相對(duì)于貼現(xiàn)現(xiàn)金流評(píng)估值為2228．81萬(wàn)元，復(fù)合期權(quán)模型得到的采礦權(quán)的價(jià)值高于貼現(xiàn)現(xiàn)金流法得到的采礦權(quán)價(jià)格。如前所述，實(shí)物期權(quán)思想認(rèn)為，不確定性增加了礦產(chǎn)資源投資的價(jià)值。復(fù)合期權(quán)模型考慮了未來(lái)信息的價(jià)值、礦產(chǎn)企業(yè)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)的靈活性，并且認(rèn)為這些因素是有價(jià)值的。而貼現(xiàn)現(xiàn)金流評(píng)估認(rèn)為，未來(lái)信息價(jià)值固定，假定了企業(yè)的經(jīng)營(yíng)活動(dòng)一成不變，并否定了不確定性的價(jià)值。所以，在復(fù)合期權(quán)模型中采礦權(quán)的價(jià)值，高于在貼現(xiàn)現(xiàn)金流貼現(xiàn)模型中。

貼現(xiàn)現(xiàn)金流法認(rèn)為，企業(yè)有著固定的利潤(rùn)和成本，不考慮時(shí)間的價(jià)值，這種不科學(xué)的方法不能作為投資決策依據(jù)。復(fù)合期權(quán)定價(jià)方法，綜合考慮到這些不確定性，得到的采礦權(quán)的價(jià)值高于市場(chǎng)上的評(píng)估價(jià)格，即市場(chǎng)存在負(fù)溢價(jià)。這說(shuō)明市場(chǎng)的采礦權(quán)價(jià)格存在著價(jià)值低估。那么，對(duì)于一家預(yù)期收益率為行業(yè)平均毛利率23．61%的企業(yè)，該采礦權(quán)存在價(jià)值投資的空間。

3 總結(jié)

在采礦權(quán)評(píng)估實(shí)務(wù)中，貼現(xiàn)現(xiàn)金流方法對(duì)采礦權(quán)的估計(jì)，往往需要對(duì)未來(lái)有一定的預(yù)期和嚴(yán)格的假設(shè)，不能考慮和處理礦產(chǎn)開(kāi)采面臨的不確定性和管理柔性。由于這種方法缺少不確定的價(jià)值，造成估價(jià)不夠準(zhǔn)確。近期文獻(xiàn)利用期權(quán)對(duì)采礦權(quán)的定價(jià)研究，集中在簡(jiǎn)單期權(quán)上，不能充分考慮到礦產(chǎn)企業(yè)開(kāi)采的實(shí)際情況，對(duì)采礦權(quán)的評(píng)估不夠準(zhǔn)確。本文基于復(fù)合期權(quán)理論，將采礦權(quán)看作是一系列年度的復(fù)合看漲期權(quán)的總和。在一定的假設(shè)下，推導(dǎo)出基于復(fù)合期權(quán)的采礦權(quán)定價(jià)公式，并實(shí)證分析，發(fā)現(xiàn)復(fù)合期權(quán)模型估值更加符合實(shí)際。復(fù)合期權(quán)定價(jià)方法得到的采礦權(quán)的價(jià)值，高于市場(chǎng)的評(píng)估價(jià)格，即負(fù)溢價(jià)，這說(shuō)明市場(chǎng)的采礦權(quán)價(jià)格存在價(jià)值低估，采礦權(quán)具有投資價(jià)值。

［1］ Brennan，Schwarts．Evaluating Natural Resource Investments［J］．The Journal of Business，1985，58 （2）：135－157．

［2］ Paddock，Siegel．Option Valuation of Claims on Real Assets：The Case of Offshore Petroleum Leases ［J］．The Quarterly Journal of Economics，1988，103 （3）：479－508．

［3］ Margaret Insley．A Real Options Approach to the Valuation of a Forestry Investment［J］．Journal of Environmental E－conomics and Management．2002，44：471－492．

［4］ 柯昌文，王宗軍．實(shí)物期權(quán)在自然資源投資中的應(yīng)用 ［J］．華東經(jīng)濟(jì)管理，2007，21 （9）：95－98．

［5］ 張華倫，曾韋韋，李秉祥．環(huán)境項(xiàng)目投資的實(shí)物期權(quán)方法［J］．統(tǒng)計(jì)與決策，2006，（9）：31－32．

［6］ 劉朝馬，廖作鴻．礦業(yè)權(quán)評(píng)估的實(shí)物期權(quán)方法研究初探［J］．中國(guó)礦業(yè)，2003，12 （1）：16－18．

［7］ 朱磊，范英，魏一鳴．基于實(shí)物期權(quán)理論的礦產(chǎn)資源最優(yōu)投資策略模型 ［J］．中國(guó)管理科學(xué)，2009，17 （2）：36－41．

［8］ 鄒紹輝．基于期權(quán)的礦產(chǎn)資源采礦權(quán)價(jià)值形成機(jī)理研究［J］．金屬礦山，2009，（10）：35－38．

［9］ Black，F(xiàn)，Scholes，M．The Pricing of Options and Corporate Liabilities ［J］．The Journal of Political Economy，1973，81 （3）：637－654．

［10］ Robert Geske．The valuation of compound options ［J］．The Journal of Financial and Quantitative Analysis，1977，12 （4）：541－552．