這個高考題怎么能不輕松拿下

● (奔牛高級中學(xué) 江蘇常州 213131)

這個高考題怎么能不輕松拿下

●蔣亦萬姝瑋(奔牛高級中學(xué) 江蘇常州 213131)

2011年江蘇省數(shù)學(xué)高考試卷的最大特點之一是難易分明.在解答題部分，大部分學(xué)生從第18題的第(3)小題開始就做得很辛苦.從學(xué)生的反饋情況來看，數(shù)學(xué)水平差一點的學(xué)生不會做，大部分學(xué)生做得模模糊糊，少數(shù)比較優(yōu)秀的學(xué)生做得很徹底、心中很踏實.當(dāng)筆者嘗試獨立求解之后，很是震驚，此題多么常規(guī)、典型，是專題講解的圓錐曲線問題吶！怎么可以不快速、簡捷地拿下呢？

圖1

(1)(2)略；

(3)對任意k>0，求證：PA⊥PB．

(2011年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

方法1由題意，設(shè)直線PA的方程為y=kx，與橢圓方程聯(lián)立方程組

得點A,P的坐標(biāo).由點P的坐標(biāo)求得點C的坐標(biāo)，從而得到直線AC的方程，再與橢圓方程聯(lián)立求得點B的坐標(biāo).

注方法1雖然思路簡單，但可以預(yù)見運算復(fù)雜，應(yīng)慎重實施，考慮有沒有更簡潔的方法.

方法2大膽設(shè)點，引入多個變量，最后處理一個多元問題.嘗試求解如下：

由題意設(shè)P(x0,y0),B(x1,y1),x0>0，y0>0，則點A的坐標(biāo)為(-x0,-y0),點C的坐標(biāo)為(x0,0).由點A,C,B共線知，

點P,B在橢圓上，從而

式(2)-式(3)得

即

結(jié)合式(1)得

從而

將以上分析過程稍加整理就是第(3)小題的證明.

學(xué)生為何不用方法2求證？筆者分析有以下原因:

一是學(xué)生缺乏“主動設(shè)點、引入多元”解決問題的意識.只會機械地解方程組、求點坐標(biāo)，即選擇了方法1，在計算上花了很長時間，無奈之下稀里糊涂地得到了一個證明，不少環(huán)節(jié)是蒙的.

二是學(xué)生怕多元問題，不敢或者不愿主動設(shè)點、引入多個變量.方法2需要學(xué)生有較強的觀察能力，能靈活處理多個方程式,如得到式(1)、式(2)、式(3)之后怎么處理，這些都是學(xué)生解題時的弱項.

在數(shù)學(xué)高考模擬考試中，多次出現(xiàn)類似第(3)小題的問題，所用到的思想方法與方法2差不多.因此，學(xué)生要學(xué)會用方法2獨立求證此類問題.

圖2

(1)略.

(2)設(shè)直線PA的斜率為k1，直線MA的斜率為k2，求k1k2的取值范圍．

(2010年江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)一模數(shù)學(xué)試題)

即

又因為

所以

由點P在橢圓C上知

即

故

又

-2

從而

筆者總結(jié):應(yīng)用方程組求解點坐標(biāo)是一種基本方法，但是當(dāng)其中一個方程含參數(shù)時，一定要慎重考慮，計算較復(fù)雜.這時就凸顯出“主動設(shè)點、引入多元”求解問題的優(yōu)越性，這種技巧也稱為“設(shè)而不解”，往往難在“如何消元”.

(1)略.

①求證：直線OA與OB的斜率之積為定值；

②求OA2+OB2．

(2011年江蘇省南通市高三第三次數(shù)學(xué)調(diào)研試題)

(2)①證明設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

由點M在橢圓上，得

整理得

將式(4)和式(5)代入(注意到cosθsinθ≠0)，得

②解因為

所以

又

故

從而

注例2也只有少數(shù)學(xué)生能夠獨立求解完整，大部分學(xué)生無從下手，為什么？學(xué)生沒有“主動設(shè)點、引入多元”求解問題的意識.事實上，只要能大膽設(shè)點嘗試，一點不難.類似的問題還有：2009年福建省數(shù)學(xué)高考文科試題第22題，2011年江蘇省淮安市第四次數(shù)學(xué)調(diào)研試題第17題，……

筆者在高三的2輪復(fù)習(xí)中，專題講解了“解析幾何中的多元問題”，但是從學(xué)生高考情況反饋來看，還是不夠理想.中等水平學(xué)生告訴筆者：這是一個多元問題，教師專門講過的，但是做得有點模糊.這說明專題講解有效果，能讓學(xué)生學(xué)會一種數(shù)學(xué)思想方法，今后將會用這些思想方法去嘗試解決問題，從而具備更強的突破難題的能力.但是，僅僅有一個方向感是不夠的，更需要學(xué)生具備靈活處理問題的動手能力.教師的講解，無法取代學(xué)生的親手嘗試、切身感悟和自發(fā)反思.