初探等比數(shù)列求和的幾種方法

徐榮祥

摘要：數(shù)列求和是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)、重點(diǎn)，屬于思維開發(fā)類的題目。在教學(xué)過程中，由于其數(shù)列安排的繁瑣、復(fù)雜，使學(xué)生一看容易產(chǎn)生“懵”的感覺，總是覺得無處下手，其實(shí)數(shù)列之間都有一定的關(guān)系，關(guān)鍵在于教師要引導(dǎo)學(xué)生分析、討論其數(shù)列之間的關(guān)系形式，進(jìn)而自主解決問題。新課改一直強(qiáng)調(diào)課堂教學(xué)中學(xué)生的主體性作用，作為教師在教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)列關(guān)系，然后引導(dǎo)學(xué)生拓展思維，分析、討論數(shù)列求和的解題方法。

關(guān)鍵詞：等比數(shù)列；求和；方法

數(shù)列求和作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)和重點(diǎn)，是高考考核的重要部分之一，作為教師應(yīng)加強(qiáng)關(guān)注學(xué)生，結(jié)合學(xué)生的個(gè)性特征，構(gòu)建和諧、平等的教學(xué)環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生分析、總結(jié)數(shù)列之間的關(guān)系，進(jìn)而讓學(xué)生自主探究、解證，凸現(xiàn)課堂教學(xué)中學(xué)生的主體性作用，鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新，探索多種等比數(shù)列求和的方法。

所謂等比數(shù)列指的是：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。其中，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。注：q=1時(shí)，an為常數(shù)列。在此，筆者結(jié)合自己多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談一下如何在等比數(shù)列求和教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)多中解題方法。

一、恒等變形法

所謂恒等變形法指的是：在保持原式結(jié)果恒等的情況下，優(yōu)化、改變?cè)}的表現(xiàn)形式。這樣一來，原式就具有明顯的共同點(diǎn)，便于更好地解決問題。對(duì)于此方法的運(yùn)用，可以首先師生共同分析、總結(jié)，改變?cè)?；之后引?dǎo)學(xué)生自主解題；最后，引導(dǎo)學(xué)生拓展思維，找出不同的變形式來解題，可以是自主地也可以是小組合作進(jìn)行，鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生思維能力的同時(shí)提高學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知。如：

解題：a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1。

1.師生共同分析、總結(jié)變形后的式子為：a1（1+q+q2+……+qn-1）之后，引導(dǎo)學(xué)生自主解決可以得出：a1（1+q+q2+……+qn-1）.分解因式等于：1-qn=（1-q）（1+q+q2+……+qn-1）.因此，a1（1+q+q2+……+qn-1）=a1（1-qn）/1-q，最后得出：sn=a1（1-qn）/1-q.

2.拓展學(xué)生思維空間，給予學(xué)生足夠的自主權(quán)，讓學(xué)生自主地或者小組合作找出其他的變形式，并解決問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。高中生已經(jīng)具備了一定的獨(dú)立思考能力，有了一定的思維結(jié)構(gòu)，很快學(xué)生就得出了不同的變形式。即：

a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn-a1qn=a1+（a1q++a1q2+…+a1qn-1+a1qn）-a1qn=a1+q（a1+a1q+…a1q2+…+a1qn-1）-a1qn=a1+qsn-a1qn，因此，a1+qsn-a1qn=sn，所以同樣得出：sn=a1（1-qn）/1-q，還可有：a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1=a1q+a1q2+……+a1qn-1+a1qn/q=sn-a1+a1qn/q，因此sn=sn-a1+a1qn/q最后也得出：sn=a1（1-qn）/1-q.這樣的方法還多種多樣，其關(guān)鍵在于教師的引導(dǎo)，數(shù)學(xué)本身屬于實(shí)踐性、探究性較強(qiáng)的學(xué)科，作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)抓住一切機(jī)會(huì)，給予學(xué)生自主權(quán)，培養(yǎng)學(xué)生積極探究的興趣和欲望，從而提高學(xué)生的綜合技能。

二、比例性推理法

所謂比例性推理法指的是：根據(jù)等比數(shù)列的本質(zhì)特征和性質(zhì)公式，實(shí)施推理，得出結(jié)論，能夠有效地鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力。如：等比數(shù)列的概念指出：a2/a1=a3/a2=……=an/an-1=q；通過等比定理可以推出：a2+a3+…+an/a1+a2+…+an-1=q；因此得出：sn-a1/sn-an=q；其中an=a1qn-1，將其帶入化簡式可以得出：sn（1-q）=a1（1-qn），最后得出：sn=a1（1-qn）/1-q.同樣可以引導(dǎo)學(xué)生通過分比定理來自主解決問題，即：通過分比定理推出：a2-a1/a1=a3-a2/a2=…=an-an-1/an-1=q-1/1；之后，運(yùn)用同樣的道理，運(yùn)用等比推理換化、得出化簡式：-a1+an/sn-an=q-1，進(jìn)而將an=a1qn-1帶入，得出最后的結(jié)果。

三、總結(jié)推理法

所謂總結(jié)推理法指的是：對(duì)原式進(jìn)行分解，逐一驗(yàn)證得出結(jié)果，根據(jù)其分解式的結(jié)果進(jìn)行推理、總結(jié)，得出最后結(jié)論。等比數(shù)列有一定的規(guī)律性，那么其分解因式的結(jié)果也肯定有一定的規(guī)律性，這樣，根據(jù)結(jié)果的規(guī)律性可以直接推導(dǎo)出最終結(jié)果。如：首先假設(shè)n=3，可以得出：s3=a1+a1q+a1q2=a1（1+q+q2）=a1（1-q3）/1-q；進(jìn)而，繼續(xù)假設(shè)，當(dāng)n=4時(shí)，原式為：s4=a1+a1q+a1q2+a1q3=a1（1+q+q2+q3）=a1（1-q4）/1-q；通過這兩組的確切數(shù)字分解可以直接得出：sn=a1（1-qn）/1-q.對(duì)此，教師還可以打破教材的束縛，拓展學(xué)生的思維，讓學(xué)生在不斷的探究過程中嘗到成功的喜悅，進(jìn)而增強(qiáng)自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。解決等比數(shù)列的問題時(shí)，只需引導(dǎo)學(xué)生尋找規(guī)律，進(jìn)行推理即可。因此，在教學(xué)中，教師要大膽鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新，并對(duì)創(chuàng)新的同學(xué)進(jìn)行表揚(yáng)，激勵(lì)學(xué)生自主創(chuàng)新的意識(shí)。就上述等比數(shù)列的例題，教師可讓學(xué)生自主探究，當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論是什么？當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論又是什么？詳細(xì)分析、總結(jié)推導(dǎo)過程，豐富學(xué)生的解題方式。

四、結(jié)語

總之，等比數(shù)列求和的方法是多種多樣的。作為教師，應(yīng)創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學(xué)生自主的深入探究，同時(shí)還可以舉辦“創(chuàng)新評(píng)比大賽”等活動(dòng)，激勵(lì)學(xué)生深入探究的積極性和欲望，鼓勵(lì)學(xué)生大膽拓展思維，升華學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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（作者單位 江蘇省高郵市甸垛中學(xué)）