一道解析幾何題引發(fā)的思考

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(應(yīng)城市第一中學(xué) 湖北應(yīng)城 432400) (應(yīng)城市第三中學(xué) 湖北應(yīng)城 432400)

一道解析幾何題引發(fā)的思考

●陶治國(guó)●江斌

(應(yīng)城市第一中學(xué) 湖北應(yīng)城 432400) (應(yīng)城市第三中學(xué) 湖北應(yīng)城 432400)

(1)判斷直線l與橢圓E交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)直線l0過(guò)點(diǎn)P與直線l垂直，點(diǎn)M(-1，0)關(guān)于直線l0的對(duì)稱點(diǎn)為N，直線PN恒過(guò)一定點(diǎn)G，求點(diǎn)G的坐標(biāo).

這是湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2011屆高三第2次聯(lián)考的一道解析幾何試題.第(1)小題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題;第(2)小題考查了點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱以及直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.從參考答案來(lái)看計(jì)算量非常大，學(xué)生在單位時(shí)間內(nèi)解出來(lái)的人數(shù)少之又少.那么命題者到底想考查什么？以下為命題者所給的參考答案：

解(1)由

消去y并整理得

從而

于是

故直線l與橢圓E只有一個(gè)交點(diǎn).

(2)直線l0的方程為

x0(y-y0)=2y0(x-x0),

即

2y0x-x0y-x0y0=0.

設(shè)點(diǎn)M(-1，0)關(guān)于直線l0的對(duì)稱點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(m,n),則

解得

從而直線PN的斜率為

因此直線PN的方程為

即

故直線PN恒過(guò)定點(diǎn)G(1,0).

1 筆者的思考

看到題目最常規(guī)的思路是:第(1)小題將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，然后利用判別式來(lái)判斷它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；第(2)小題利用對(duì)稱性求出點(diǎn)N的坐標(biāo),然后利用兩點(diǎn)式求出PN所在的直線方程，再判斷直線過(guò)哪一個(gè)定點(diǎn).按此方法計(jì)算量很大.以上解答為命題人所給的參考答案，非常復(fù)雜.筆者在講解試卷之前，想到了如下的簡(jiǎn)單方法，僅供讀者參考：

圖1

x′2+y′2=1,

(2)方法1設(shè)l0與MN交于點(diǎn)R，先猜定點(diǎn)為G(1,0),再證∠MPR=∠GPR.不妨設(shè)y0>0，則

從而

于是

tan∠GPR=tan∠MPR,

即

∠GPR=∠MPR，

則點(diǎn)N在直線PG上,故直線PN恒過(guò)定點(diǎn)G(1,0).

方法2設(shè)l0與MN交于點(diǎn)R，先猜定點(diǎn)為G(1,0),再證PR平分∠MPG.由

得

從而

又l0的方向向量為(x0,2y0)，故PR平分∠MPG.

2 意外的收獲

待解到此處時(shí)，本該結(jié)束了，但有學(xué)生提出問(wèn)題：定點(diǎn)是怎樣想到的？對(duì)于考生而言,這確實(shí)是個(gè)難點(diǎn)，這個(gè)問(wèn)題涉及到閱讀材料中的圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，首先補(bǔ)充一下圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì).

橢圓從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).

雙曲線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線交于雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).

拋物線從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)拋物線發(fā)射后，反射光線平行于拋物線的軸.

此題可以利用上面的光學(xué)性質(zhì)猜測(cè)這個(gè)定點(diǎn)：如圖1所示,因?yàn)镸(-1，0)是橢圓的左焦點(diǎn)，由第(1)小題知l為橢圓的切線，即把MP看作是從橢圓的左焦點(diǎn)發(fā)出的一條光線，而點(diǎn)N是點(diǎn)M關(guān)于l0的對(duì)稱點(diǎn)，則PN就是入射光線MP的反射光線，故反射光線PN必過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)(1,0).因此可以猜想直線PN恒過(guò)定點(diǎn)(1,0).

3 考題鏈接

圖2

關(guān)于圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的考查，筆者專門找了幾道相關(guān)例題以饗讀者：

例1已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)拋物線上點(diǎn)P(x0,y0)的切線為l,過(guò)點(diǎn)P作平行于x軸的直線m,過(guò)焦點(diǎn)F作平行于l的直線交m于點(diǎn)M，則|PM|的長(zhǎng)為

( )

解如圖2,由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知：∠1=∠2.又由

∠1=∠PFM,∠2=∠PMF,

得

∠PFM=∠PMF，

從而

PF=PM，

因此

( )

解法1如圖3所示，直線y=x與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為P′，連結(jié)P′F,P′F′,PF′.由圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)可知：∠1=∠2.又因?yàn)?/p>

∠PMN=∠1,∠PNM=∠2,

所以

∠PMN=∠PNM且∠PMN=∠F′EN,

于是

∠PNM=∠F′EN,

從而

PM=PN,F′E=F′N=MF,

PF+PF′=PM+PN=2PM=2a,

即

PM=a,

故選B．

圖3

圖4

解法2如圖4,過(guò)點(diǎn)O作OM∥l,F1A∥l,得

OM∥F1A.

由O為FF1的中點(diǎn),可得

AM=MF,

又∠1=∠PAF1,∠2=∠PF1A,由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知

∠1=∠2,

所以

∠PAF1=∠PF1A，

即PA=PF1.又由橢圓的定義知

PF+PF1=PA+AF+PA=2PA+2AM=

2PM=2a,

即

PM=a.

圖5

解如圖5所示，過(guò)點(diǎn)F1作F1A∥OB,O為F1F2中點(diǎn)且OB∥AF1，易知OB為△AF1F2中位線，于是AB=BF2.由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知PF1=PA,因此

PA-PF2=PF1-PF=2a,

即

(PB+AB)-(BF2-BP)=2a,

從而

(AB-BF2)+2BP=2a,

得

BP=a,

故

PM=PB=a.