一類高階周期系數線性微分方程解的性質

陳創(chuàng)鑫, 陳宗煊

(華南師范大學數學科學學院,廣東廣州 510631)

1 引言與結果

本文使用值分布理論的標準記號[1-2].用記號σ(f)表示亞純函數f(z)的增長級,λ(f)表示f(z)的零點收斂指數,并引進下列定義.

為了研究周期系數線性方程解的性質,BANK和LANGLEY在文獻[4]中初步涉及了一個e-型級概念,CHIANG和GAO在文獻[5]中比較確切地提出了e-型級的概念,即

文獻[5]還證明了：假設A(z)=G(ez)=G(ζ),ζ=ez,G(ζ)在0<|ζ|<+∞內解析,那么

若A(z)為周期整函數,且A(z)=B(ez)=B(ζ),ζ=ez,B(ζ)為ζ的有理函數.明顯地必有下列形式B(ζ)=ζ-m(anζn+an-1ζn-1+…+a0).明顯地,若n>m,則ζ=∞必是B(ζ)的n-m階極點.

已有多人對二階周期系數方程解進行了研究[4-5,7-9],而對高階周期系數方程解的研究甚少．BANK和LANGLEY在文獻[4]中得到了下面的重要結果.

定理1 假設k≥2,A0是以2πi為周期的整函數,假設A0是ez的有理函數,A1,…,Ak-2為常數.如果f(z)(?0)是微分方程

f(k)+Ak-2(z)f(k-2)+…+A0(z)f=0

(1)

的解且滿足

(2)

那么存在q(1≤q≤k)滿足f(z)和f(z+q2πi)線性相關.

定理2 假設k≥2,A0是以2πi為周期的整函數,假設A0是ez的有理函數,A1,…,Ak-2為常數.如果f(z)(?0)是微分方程(1)的解且滿足式(2),那么存在整數q(1≤q≤k),常數d,及在1<|ζ|<+∞內解析的有理函數R(ζ)和S(ζ),使得

定理1指出存在q(1≤q≤k),滿足f(z)和f(z+q2πi)線性相關.后來,陳宗煊[6]證明了定理3,指出B(ζ)是多項式且其次數n不能被k整除時,f(z)和f(z+2πi)是線性無關的.

定理3 假設k≥2,A0是以2πi為周期的整函數,假設A0=B(ez)=B(ζ),ζ=ez,B(ζ)是n次多項式,且n不能被k整除；A1,…,Ak-2為常數.如果f(z)(?0)是微分方程(1)的解且滿足式(2),那么f(z)和f(z+2πi)線性無關,且有σ2(f)=1和σe(f)=n/k.

命題1 假設f(z)為亞純函數,那么

(i)如果σ2(f)<1,則σe(f)=0;

(ii)如果σ2(f)>1,則σe(f)=∞;

(iii)如果0<σe(f)<∞,則σ2(f)=1.

一個自然的問題是,當B(ζ)(ζ=ex)是有理函數時,f(z)和f(z+2πi)的線性相關性將如何？本文在下面的定理4中回答了這個問題.

定理4 假設k≥2,A0是以2πi為周期的整函數,假設A0(z)=B(ez)=B(ζ),ζ=ez,B(ζ)=ζ-m×(anζn+…+a0),不退化為常數,其中an≠0,且ai(i=0,1,…,n)為常數.A1,…,Ak-2為常數.設u=min{i:ai≠0,i=0,1,…,n},并令s=max{n-m,m-u}.如果f(z)(?0)是微分方程(1)的解且滿足式(2),那么成立σ2(f)=1及σe(f)=s/k.

定理5 假設k≥2,A0是以2πi為周期的整函數,假設A0=B(ez)=B(ζ),ζ=ez,B(ζ)=ζ-m(anζn+…+a0),不退化為常數.其中an≠0,且ai(i=0,…,n)為常數.A1,…,Ak-2為常數.設u=min{i:ai≠0,i=0,1,…,n},令s=max{n-m,m-u}.如果f(z)(?0)是微分方程(1)的解并滿足式(2),且條件(i)或(ii)成立:

(i)當n>m時,n-m不能被k整除；

(ii)當n≤m時,m-u不能被k整除.

那么f(z)和f(z+2πi)線性無關,并且成立σ2(f)=1及σe(f)=s/k.

2 證明所需引理

引理1[10]假設F(z)除了在∞點有孤立本性奇點外,在R0<|z|<∞內解析,那么F(z)可以表示成F(z)=zmΦ(1/z)P(z)eh(z),其中m為整數,P(z)是由F(z)的零點形成的多項式或Weierstrassion乘積,h(z)為整函數,Φ(1/z)在R0<|z|≤∞內(含∞點)解析且Φ(1/z)|z=∞=1,確切地Φ(1/z)=eΦ1(1/z),Φ1(1/z)在R0<|z|≤∞內(含∞點)解析且Φ1(1/z)|z=∞=0.

引理3[6]假設g(ξ)除了在∞點有孤立本性奇點外,在R0<|z|<∞內解析,那么

(i)g(ξ)可以表示成g(ξ)=ξmψ(ξ)F(ξ),其中m為整數,F(ξ)為整函數,ψ(ξ)在R0<|z|≤∞內(含∞點)解析,且ψ(ξ)≠0,ψ(∞)=1,當ξ→∞時

(3)

(4)

其中ν(ρ)為整函數F(ξ)的中心指標;

(iii)g(ξ)可以表示成

g(ξ)=ξmW(ξ)eh(ξ),

(5)

如果g(ξ)僅有有限多個零點,那么當ξ→∞時

注1 關于區(qū)域0<|ξ|<∞內的Nevanlinna特征函數.假設G(ξ)在0<|ξ|<∞內亞純,考慮當ξ→∞時,G(ξ)的增長性,可以由|ξ|≥1內的Nevanlinna理論[12]來考慮,定義

(6)

和N1(ρ,G)為|ξ|≥1內的極點的計數函數,以及

T1(ρ,G)=m1(ρ,G)+N1(ρ,G).

(7)

由文獻[7]可知：對于m1(ρ,G)，與Tumura-Clunie引理相應的結果仍然成立,以及G(ξ)在ξ=∞有極點的充分必要條件為T1(ρ,G)=O(logρ).

考慮當|ξ|=ρ→ 0時,G(ξ)的增長性,可以定義G*(ξ)=G(1/ξ),由考慮當ρ→∞時,T1(ρ,G*)的增長性來決定ρ→ 0時,G(ξ)的增長性.

我們還可定義G(ξ)在點ξ=∞的增長級[7]為

(8)

而G(ξ)在點ξ=0的增長級定義為

σ0(G)=σ∞(G*).

(9)

另一方面,如果G(ξ)在0<|ξ|<∞內解析,則N1(ρ,G)=0.由引理1和引理3可知G(ξ)可表為

G(ξ)=ξnψ(ξ)F(ξ),

(10)

其中n為整數,ψ(ξ)在1<|ξ|≤∞內解析,ψ(ξ)≠0,ψ(∞)=1,F(ξ)為復平面內的整函數.由式(6)、(7)和(10)可知當|ξ|=ρ充分大時

m1(ρ,G)=m(ρ,F)+O(logρ),
T1(ρ,G)=T(ρ,F)+O(logρ),

結合式(8),得到

(11)

考慮當|ξ|→∞時,G(ξ)的增長性,我們還可記

M1(ρ,G)={|G(ξ)|:|ξ|=ρ(>1)}.

(12)

由于ψ(ξ)≠0,ψ(∞)=1,由式(10)、(12)，可知當ρ充分大時

(13)

由于ψ(ξ)≠0,ψ(∞)=1,由式(11)、(13),可知

(14)

引理4[6]假設整函數f(z)滿足f(z)=ξdG(ξ),其中d為常數,ξ=ez/q,q為正整數,G(ξ)在0<|ξ|≤∞內解析,那么

(15)

(16)

3 定理4的證明

M[T(r,f)]k+1,

(17)

其中M(>0)為常數.

下面根據n與m的大小關系來證明σ2(f)=1及σe(f)=s/k.

首先,若u

|A0(z)|=M(r,A0)=|an|e(n-m)r(1+o(1)),

其中an≠0,au≠0為常數.將其代入式(17),并注意到s≥1,n-m≥1,可得σ2(f)≥1.另一方面,由Wiman-Valiron理論[13],從方程(1)可得σ2(f)≤1,故σ2(f)=1.

首先考慮σ∞(G).由引理3的(i),G(ξ)=ξd×ψ(ξ)F(ξ),其中m為整數,F(ξ)為整函數.ψ(ξ)在1<|ξ|≤∞(含∞點)內解析且ψ(ξ)≠0,ψ(∞)=1.

將f(z)=ξdG(ξ)代入方程(1),得到

(18)

(19)

其中ν(ρ)為整函數F(ξ)的中心指標.由于F(ξ)為超越整函數,由式(18)、(19)得到

(1+o(1))+qkanξq(n-m)(1+o(1))=0,

(20)

再由式(14)可知

(21)

下面考慮σ0(G).由式(9),σ0(G)=σ∞(G*),其中G*(t)=G(1/t),ξ=1/t.由歸納法,可得

G(s)(ξ)=(-1)s(G*)(s)(t)ts+s+

(22)

其中dj為常數.由條件可假設B(ξq)=(ξ-mq)×(anξnq+…+a0),其中an(≠0),…,a0為常數,且n>m,再結合u的定義,可知

(23)

將式(22)、(23)代入式(18),得到

(24)

G*(t)=tm*ψ*(t)F*(t),

(1+o(1))+(-1)kqk[ant(m-n)q+…+

aut(m-u)q]=0,

(25)

其中ν*(ρ)為整函數F*(t)的中心指標.

下面再根據u與m的大小關系進行討論.

若u

(1+o(1))+(-1)kqkaut(m-u)q(1+o(1))=0,

(26)

再由式(14)可知

若u≥m,則由式(25)得

(1+o(1))+O(1)=0,

(27)

下面考慮情形(ii):當nm時的證明,由于

A0(z)=anζn-m+an-1ζn-1-m+…+a0ζ-m=

anζn-m+an-1ζn-1-m+…+auζu-m,

而u-m

首先考慮σ∞(G).由式(18)、(19)知

(1+o(1))+O(1)=0,

(28)

其中ν(ρ),Cj,ρ如式(18)～(20)所述.如果F(ξ)為超越整函數,那么ν(ρ)→∞,則式(28)矛盾.從而F*(ξ)最多為多項式,因此σ(F)=0.由式(14)可知

σ∞(G)=σ(F)=0.

(29)

下面考慮σ0(G).由式(24)可得

o(1))+(-1)kqk[ant(m-n)q+…+aut(m-u)q]=0,

(30)

由于m-u>m-n>0,故由式(30)可得

(1+o(1))+(-1)kqkaut(m-u)q(1+o(1))=0,

(31)

A0(z)=B(ζ)=am+am-1ζ-1+…+a0ζ-m=

am+am-1ζ-1+…+auζu-m,

(32)

而B(ζ)不為常數,故u

首先考慮σ∞(G).因為A0(z)=am+am-1ζ-1+…+auζu-m,類似于情形(ii)可得σ∞(G)=0.

再考慮σ0(G).由式(17)、(22)可知

(1+o(1))+(-1)kqk[am+am-1tq+…+

aut(m-u)q]=0,

(33)

從而可得

(1+o(1))+(-1)kqkaut(m-u)q(1+o(1))=0,

(34)

4 定理5的證明

先證明在條件(i)下定理成立.

假設f(z)(?0)是微分方程(1)的解且滿足式(2).如果f(z)與f(z+2πi)線性相關,由f(z)滿足式(2),那么由定理1及定理2,可知f(z)在1<|ζ|<∞內可表為

f(z)=R(ez)exp(dz+Q(ez))=

edzR(ez)exp(Q(ez))=ζdR(ζ)exp(Q(ζ)),

(35)

其中d為整數,ζ=ez,R(ζ)和Q(ζ)皆為ζ的有理式,且在1<|ζ|≤∞內解析.將式(35)代入方程(1)得到

(36)

(37)

由于Q(ζ)為有理式,故當|ζ|→∞時,有

(38)

由式(37)、(38)可知

|Fj(ζ)|=O(1) (j=0,…,k-1).

(39)

倘若ζ=∞為Q(ζ)的解析點,則當|ζ|→∞時,|ζQ′(ζ)|=O(1),而n>m,故ζ=∞為B(ζ)的n-m階極點,因而式(36)不可能成立.從而ζ=∞不可能是Q(ζ)的解析點.因此不妨設ζ=∞為Q(ζ)的α階極點，由式(36)、(39)及ζ=∞為B(ζ)的n-m階極點,得到kα=n-m,這與假設條件:n-m不能被k整除相矛盾,從而f(z)和f(z+2πi)線性無關.

結合定理4,可以得到

再證明在條件(ii)下定理也成立.

令B*(t)=B(1/t)=B(ζ),由于n≤m,故

B*(t)=antm-n+an-1tm+1-n+…+autm-u(au≠0).

假設f(z)(?0)是微分方程(1)的解且滿足式(2).如果f(z)與f(z+2πi)線性相關,由于f(z)滿足式(2),那么由定理1及定理2,可知f(z)在1<|t|≤∞內可表為

f(z)=td1R*(t)exp(Q*(t)),

(40)

其中d1為整數,t=e-z,R*(t)和Q*(t)在1<|t|≤∞內解析.將式(40)代入方程(1)得

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