彎曲時(shí)空的多普勒效應(yīng)

李沅洪，呂君麗，王永久

(湖南師范大學(xué)物理系，中國 長沙 410081)

美國的天文學(xué)家Hubble在1929年通過遠(yuǎn)距星云的觀察資料，遠(yuǎn)距離恒星的光譜出現(xiàn)一種宇宙學(xué)紅移．離地球越遠(yuǎn)的恒星紅移越大．他通過觀察資料總結(jié)出規(guī)律：恒星光譜的宇宙學(xué)紅移與恒星和地球的距離成正比．在科學(xué)界，人們普遍認(rèn)為這種紅移實(shí)際上是多普勒效應(yīng)，也就是說，這種紅移是由于恒星跟地球之間的相對(duì)遠(yuǎn)離造成的．宇宙是由引力引導(dǎo)的，引力場(chǎng)就是一個(gè)彎曲時(shí)空，研究彎曲時(shí)空的多普勒效應(yīng)對(duì)宇宙學(xué)研究有重要意義[1-7]．

1 狹義相對(duì)論中的多普勒效應(yīng)

設(shè)在折射率為n的介質(zhì)中有一平面波在傳播，此波的波陣面垂直于xoy平面．波在兩個(gè)慣性系s和s′中的相速度分別為u和u′．s和s′的相對(duì)速度為v，方向與ox軸相同．

令在時(shí)刻t=t′=0兩參照系對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸重合，此時(shí)波陣面從o點(diǎn)出發(fā)．

在s系中，經(jīng)過時(shí)間t0后，波陣面?zhèn)鞑サ木嚯x為ut0=xcosθ+ysinθ，θ為u和x軸夾角，或?qū)懗桑?/p>

到時(shí)刻t，到達(dá)觀察者P(x,y)的波數(shù)為：

(1)

在s′系中計(jì)算，在對(duì)應(yīng)時(shí)間間隔內(nèi)到達(dá)P(x′,y′)的波數(shù)為：

在對(duì)應(yīng)時(shí)間間隔內(nèi)，通過觀察者P的波數(shù)應(yīng)該相等．于是我們得到

(2)

將狹義洛侖茲變換代入(2)式有

(3)

由式(1)可得

(4)

(5)

這些關(guān)系式表征光行差現(xiàn)象的相對(duì)論多普勒效應(yīng)．

設(shè)

(6)

則式(4)和(5)分別與質(zhì)點(diǎn)合成的式子

和

當(dāng)v=c時(shí)，由(6)可得到波的相速度：

(7)

與伴隨粒子的速度相同．

在(4)和(5)中代入u=c，可得常見的相對(duì)論多普勒效應(yīng)表示式

通常以ν′=ν0表示原子的本征頻率，則有

2 彎曲時(shí)空中的多普勒效應(yīng)

下面我們計(jì)算在任意引力場(chǎng)(即彎曲時(shí)空)中，光源和接收器任意運(yùn)動(dòng)的情況下的多普勒效應(yīng)．

或者

(8)

輻射光子后有

(9)

由能量—?jiǎng)恿渴睾阌?/p>

(10)

其中εμ為光子的四維動(dòng)量．這樣，(9)可變?yōu)椋?/p>

(11)

由(8)～(11)可得

(12)

因?yàn)楣庾屿o止質(zhì)量0，所以有

(13)

假設(shè)輻射沿著x1方向，那么εμ只有ε0和ε12個(gè)不為零的分量．由(12)～(13)有

(14)

(15)

(16)

或

這就是光源和接收器運(yùn)動(dòng)情況下的引力頻移的一般表達(dá)式．

pi=0.

取時(shí)軸正交系(靜態(tài)場(chǎng))g0i=0，將上式代入(16)得到

在平直空間中，gμν=diag{1,-1,-1,-1}代入(16)有

再代入(7)有

這正是狹義相對(duì)論中多普勒效應(yīng)的表達(dá)式．

參考文獻(xiàn)：

[1] 王永久,龔添喜,陳菊華.一類無奇點(diǎn)宇宙模型[J].物理學(xué)報(bào),2010, 59(2): 712-715.

[2] 曹廣濤,王永久.Kasner 時(shí)空中的中微子震蕩相位[J].物理學(xué)報(bào), 2010, 59(8): 5921-5924.

[3] 黃秀菊,王永久.Interference phase of mass neutrinos in Kerr space-time[J]. Commun Theor Phys, 2003,40(6):742-744.

[4] 黃秀菊,王永久.Higher-dimensional cosmological models with density-parameter-dependet cosmological constant[J]. Chin Phys Lett, 2004, 21(8):1670-1672.

[5] 王永久.相對(duì)論天體和宇宙[M].長沙：湖南師范大學(xué)出版社,2000.

[6] 王永久,唐智明.引力理論和引力效應(yīng)[M].長沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社,1990.

[7] 王永久. 引力論和宇宙論[M].長沙：湖南師范大學(xué)出版社,2004.