一類倒向隨機(jī)微分方程解的比較定理

顏寶平

(銅仁學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系，中國(guó) 銅仁 554300 )

1 引言及主要結(jié)果

設(shè)(Ω,F,P)是一個(gè)完備的概率空間，{Wt}0≤t≤1為其上的d-維標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)，{Ft}0≤t≤1是{Wt}0≤t≤1的自然σ-代數(shù)流，即Ft=σ{N,σ(Ws;0≤s≤t)}，其中N為σ(Ws;0≤s≤t)的P-零測(cè)集全體，，用∏[T,1]表示定義在[T,1]×Ω上的Rn×Rn×d值Ft-適應(yīng)過(guò)程(X,Y)的集合．在∏[T,1]上定義范數(shù)：

顯然(∏[T,1],‖·‖)是一個(gè)Banach空間．文中用Ci表示不同的常數(shù)．

本文討論了下列形式的BSDE：

(1)

在(∏[T,1],‖·‖)中解的比較定理．

彭實(shí)戈證明了方程(1)的系數(shù)滿足Lipschitz條件時(shí)其解的比較定理[1]，曹志剛、嚴(yán)加安在1999年證明了方程(1)的系數(shù)在非Lipschitz條件下解的比較定理[2]；文[3]證明了方程(1)的系數(shù)在另一類非Lipschitz條件時(shí)其解的比較定理.

本文將證明在一類局部Lipschitz條件下BSDE(1)解的比較定理.

我們對(duì)f(s,x,y)的假定如下：

(H1)對(duì)幾乎所有的(t,ω)，f(t,ω,x,y)關(guān)于(x,y)連續(xù)；

(H2)存在2個(gè)常數(shù)C>0和α∈[0,1]使

隨著公司規(guī)模的擴(kuò)大，對(duì)技術(shù)人才、硬件設(shè)備、項(xiàng)目費(fèi)用及周轉(zhuǎn)資金的需求會(huì)越來(lái)越高，在這方面會(huì)有較大的投資。

|f(t,ω,x,y)|≤C(1+|x|α+|y|α)，P-a.s.,a.e.t∈[0,1].

(H3)對(duì)?N>0，存在對(duì)應(yīng)的常數(shù)CN，使得當(dāng)|x1|

|f(t,x1,y1)-f(t,x2,y2)|2≤CNK(t,|x1-x2|2)+LN|y1-y2|2，

我們的主要結(jié)果是:

(2)

(3)

2 主要結(jié)果的證明

定理的證明

再由引理1有

由(H3)及Jensen不等式，有

取C1=LN，從而

由Gronwall不等式有

再由常微分方程比較定理，當(dāng)t∈[T,1]時(shí)，有

在引理2的證明中我們可以知道BSDE(1)、(2)之間的解與解、系數(shù)與系數(shù)之間存在著如下關(guān)系：

因此文獻(xiàn)[3]的定理1就是我們所給定理的特例.

參考文獻(xiàn)：

[1] 嚴(yán)加安，彭實(shí)戈，方詩(shī)贊，等.隨機(jī)分析選講[M].北京：科學(xué)出版社，1997.

[2] CAO Z G, YAN J A. A comparison theorem for solutions of backward stochastic differential equations[J]. Adv Math, 1999,28(4):304-308.

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[6] 冉啟康. 一類非Lipschitz條件的BSDE適應(yīng)解的存在唯一性[J]. 工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2006,23(2):286-292.