系統(tǒng)隨機(jī)共振的最佳耦合矩陣

李義華,黃文靜，李夏苗

(1.中南林業(yè)科技大學(xué)物流學(xué)院，中國 長(zhǎng)沙 410004；2.長(zhǎng)沙師范學(xué)校電子信息工程系，中國 長(zhǎng)沙 410081；3.中南大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，中國 長(zhǎng)沙 410075)

隨機(jī)共振(Stochastic Resonance, SR)的概念最早出現(xiàn)在1981年，由意大利學(xué)者Benzi.R等人在研究地球古氣象問題時(shí)提出[1-2]．隨機(jī)共振是指非線性系統(tǒng)由弱周期驅(qū)動(dòng)和隨機(jī)力干擾相協(xié)作而導(dǎo)致強(qiáng)周期輸出的現(xiàn)象．隨著研究的深入，90年代，G.Hu等在文獻(xiàn)[3]中指出單穩(wěn)態(tài)無周期驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)也會(huì)有隨機(jī)共振現(xiàn)象發(fā)生．對(duì)許多非線性系統(tǒng)來說，即使只有噪聲的干擾，只要它具有一定的能量閥值和非對(duì)稱性，隨機(jī)共振現(xiàn)象也可能發(fā)生．在現(xiàn)代隨機(jī)共振理論中，耦合振子系是最吸引人的研究對(duì)象之一，最初的結(jié)論由Benzi以及他的合作伙伴得出[4]．隨后，Linder[5-6]提出了時(shí)空秩序和序列增強(qiáng)SR理論，并且把SR推廣到兩維空間．在上述研究中，人們發(fā)現(xiàn)SR的發(fā)生是周期驅(qū)動(dòng)力、白噪聲和系統(tǒng)耦合共同作用的結(jié)果．近年來，文獻(xiàn)[7]對(duì)非線性耦合振子系進(jìn)行了較為深入細(xì)致的研究，發(fā)現(xiàn)耦合振子系會(huì)發(fā)生比單個(gè)振子更強(qiáng)的隨機(jī)共振效應(yīng)，同時(shí)還會(huì)出現(xiàn)單個(gè)振子系中很難出現(xiàn)的現(xiàn)象．如果耦合矩陣不同，隨機(jī)共振會(huì)有什么變化呢?本文對(duì)非線性Langevin方程的耦合進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)隨著耦合矩陣的不同，系統(tǒng)能量變化也會(huì)不同，隨機(jī)共振現(xiàn)象也會(huì)有所變化．利用遺傳算法對(duì)最優(yōu)耦合矩陣進(jìn)行搜索，從而使得系統(tǒng)功率譜的譜峰達(dá)到最大值．

1 單個(gè)無周期驅(qū)動(dòng)Langevin方程的隨機(jī)共振

Langevin系統(tǒng)的確定性方程為：

(1)

由文獻(xiàn)[8]知道，當(dāng)01時(shí)，平衡點(diǎn)和閥值消失，粒子在圓周上作周期性的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)．其中，S1表示一維空間，下同．

如果我們引入噪聲，方程就成為單個(gè)無周期驅(qū)動(dòng)的Langevin方程：

(2)

其中ξ(t)是Gaussian白噪聲，滿足：[ξ(t)]=0,[ξ(t)ξ(t′)]=δ(t-t′)．由于b-sinx的周期性，方程(2)可看成一個(gè)阻尼粒子在圓周上受到常驅(qū)動(dòng)力和隨機(jī)力共同作用的運(yùn)動(dòng)方程．當(dāng)b≤1時(shí)，系統(tǒng)(2)會(huì)發(fā)生隨機(jī)共振．

2 N個(gè)無周期驅(qū)動(dòng)一階Langevin方程的耦合

下面來看N個(gè)Langevin方程耦合的情況，方程如下：

(3)

其中bi≥0是第i個(gè)振子受到的常驅(qū)動(dòng)力，K>0是耦合系數(shù)，D為噪聲強(qiáng)度，ξi(t) 是Gaussian白噪聲，滿足[ξi(t)]=0,[ξi(t)ξi′(t′)]=δii′(t-t′)，相互作用矩陣為：

圖1 左圖：K=0.5,K=1時(shí)不同相互作用矩陣對(duì)應(yīng)的功率譜圖，右圖：K=0時(shí)單個(gè)振子的功率譜圖

如果變化系統(tǒng)(3)的相互作用σ矩陣，可以看到，隨著相互作用矩陣不同，功率譜的高度和寬度都有相應(yīng)變化，進(jìn)一步的數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)：相互作用矩陣中各個(gè)元素的值相差不多時(shí)的功率譜高度比矩陣中各個(gè)元素差別較大時(shí)的高度要小，并且矩陣中各個(gè)元素值不能取得太大，否則影響噪聲在系統(tǒng)中的作用．

接下來，假設(shè)相互作用σ矩陣分別服從均勻分布、Γ分布、正態(tài)分布3種不同的概率分布，然后分別求出它們相應(yīng)的功率譜．發(fā)現(xiàn)矩陣元素服從不同分布的σ矩陣，功率譜高度和寬度都有相應(yīng)的變化．即使是服從同一分布的σ矩陣，功率譜高度和寬度也會(huì)隨著矩陣元素的不同而有相應(yīng)的變化．為了比較3種分布中哪一種概率分布最優(yōu)，把Γ分布的兩個(gè)參數(shù)μ、υ放到平面坐標(biāo)中，μ為橫坐標(biāo)，υ為縱坐標(biāo)，分別在橫縱坐標(biāo)上從1個(gè)單位開始取10個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)之間長(zhǎng)度為1，這樣就得到平面上100個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，將每個(gè)點(diǎn)的(x,y)取值作為Γ分布的兩個(gè)參數(shù)，再求這100個(gè)Γ分布對(duì)應(yīng)功率譜的平均值，得到一個(gè)平均功率譜圖．同樣對(duì)均勻分布、正態(tài)分布求平均，也可以得到它們相應(yīng)的平均功率譜圖．

可以看到，σ矩陣中元素服從均勻分布譜峰高度最高，寬度最窄；當(dāng)σ矩陣中元素服從Γ分布譜峰高度最低，寬度最大．實(shí)驗(yàn)過程中的數(shù)據(jù)顯示，在均值和方差相同的情況下，服從均勻分布的矩陣元素相差很小，然而服從正態(tài)和Γ分布的矩陣元素之間相差較大，后兩個(gè)分布使得系統(tǒng)共振的效果要好很多，所以譜峰高度比服從均勻分布高很多，其中服從Γ分布的矩陣元素差別最明顯，使得譜峰高度最高，寬度最窄．因此，不同的矩陣對(duì)系統(tǒng)能量輸出有著明顯的影響．

3 利用遺傳算法搜索最優(yōu)耦合矩陣

遺傳算法(Genetic Algorithm，簡(jiǎn)稱GA)是以自然選擇和遺傳理論為基礎(chǔ)，將生物進(jìn)化過程中適者生存的規(guī)則與群體內(nèi)部染色體的隨機(jī)信息交換機(jī)制相結(jié)合的高效全局尋優(yōu)搜索算法，由美國Michigan大學(xué)的J.Holland教授于1975年首次提出，現(xiàn)已發(fā)展成為一種實(shí)用、高效、魯棒性強(qiáng)的優(yōu)化技術(shù)，它的運(yùn)算流程如下：

(1)編碼；(2)初始群體的生成；(3)適應(yīng)度值評(píng)價(jià)檢測(cè)；(4)選擇；(5)交叉；(6)變異：群體P(t)經(jīng)過選擇、交叉、變異運(yùn)算后得到下一代群體P(t-1)； (7)終止條件判斷：若t≤T，則轉(zhuǎn)到步驟(2)；若t>T，則以進(jìn)化過程中所得到的具有最大適應(yīng)度的個(gè)體作為最優(yōu)解輸出，終止運(yùn)算．

為了找到最優(yōu)相互作用σ矩陣，使功率譜波峰達(dá)到最高點(diǎn)，我們采用遺傳算法對(duì)3×3,5×5相互作用σ矩陣進(jìn)行最優(yōu)值搜索．搜索過程中，設(shè)定求功率譜譜峰值的函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，Q矩陣中除對(duì)角線以外的各個(gè)元素為目標(biāo)函數(shù)的變量．因?yàn)榫仃囍性靥髸?huì)影響噪聲在系統(tǒng)中的作用，所以把目標(biāo)函數(shù)的變量控制在[0,1]之間．在求系統(tǒng)(2)的動(dòng)力解時(shí)，采用迭代法，迭代215次，根據(jù)遍歷性，足夠讓系統(tǒng)最后處于一個(gè)非常穩(wěn)定的狀態(tài)．但是，由于計(jì)算機(jī)采用的是精度計(jì)算，讓目標(biāo)函數(shù)對(duì)同一組變量所得的值有很小的差別，這就使得遺傳算法不能收斂到某一個(gè)固定值，而是圍繞某個(gè)值的周圍上下波動(dòng)，所以搜索到的最優(yōu)σ矩陣與波峰值都是一種近似值，結(jié)果如下：

i)3×3矩陣，將矩陣元素控制在[0,1]之間，遺傳200代后，搜索到的波峰值如圖2所示．

圖2 左圖： 3×3耦合矩陣在200代遺傳中每代最優(yōu)解以及解的均值；右圖：遺傳算法搜索到的3×3最優(yōu)耦合矩陣的功率譜圖

搜索到的最優(yōu)矩陣為

它對(duì)應(yīng)的功率譜圖如圖2右圖，波峰值為3.552 199′79′735 525 0e+003．它的第一、二特征值分別是0.000 003 5和-0.169，正定．把最優(yōu)矩陣分別與任意3個(gè)矩陣相加，得到新的矩陣對(duì)應(yīng)的功率譜圖．可以看出，新矩陣的功率譜的高度小很多，并且波峰寬度明顯大些．所以，系統(tǒng)的能量輸出遠(yuǎn)不如最優(yōu)矩陣．同時(shí)，任意選了3個(gè)矩陣，畫出它們對(duì)應(yīng)的功率譜圖，可以發(fā)現(xiàn)，跟最優(yōu)矩陣的功率譜圖相比較，波峰的高度和寬度都遠(yuǎn)沒有最優(yōu)矩陣的理想．所以，最優(yōu)矩陣讓系統(tǒng)產(chǎn)生了共振，使得系統(tǒng)的輸出能量達(dá)到最高．為了找出耦合矩陣與功率譜最大值之間的關(guān)系，計(jì)算出6個(gè)任意選擇的矩陣的第一、第二特征值，將除0以外的各個(gè)矩陣的第二特征值(即第二大的特征值)進(jìn)行比較，可以看出，隨著矩陣第二特征值的變化，功率譜最大值也相應(yīng)地發(fā)生變化，并且功率譜波峰值大的，耦合矩陣的第二特征值就較大，如圖4左圖．因此，耦合矩陣的第二特征值與波峰值有一定的聯(lián)系．

ii)5×5矩陣，也是將矩陣元素控制在[0,1]之間，遺傳450代后，搜索到波峰值如圖3所示.搜索到的最優(yōu)矩陣為

它對(duì)應(yīng)的功率譜圖如圖3右圖，波峰值為3.688 194 631 425 216e+003．它的第一、二特征值分別是-0.000 001和-0.064．

圖3 左圖：5×5耦合矩陣在450代遺傳中每代最優(yōu)解以及解的均值；右圖：遺傳算法搜索到的5×5最優(yōu)耦合矩陣的功率譜圖

類似3×3矩陣，拿最優(yōu)矩陣分別與任意3個(gè)矩陣相加，得到新的矩陣對(duì)應(yīng)的功率譜圖，可以看出，新矩陣的功率譜的高度小很多，并且波峰寬度明顯大些，所以，系統(tǒng)的能量輸出遠(yuǎn)不如最優(yōu)矩陣．同時(shí)，我們?nèi)我膺x了3個(gè)矩陣，畫出它們對(duì)應(yīng)的功率譜圖，可以發(fā)現(xiàn)，跟最優(yōu)矩陣的功率譜圖比起來，波峰的高度和寬度都遠(yuǎn)沒有最優(yōu)矩陣的理想，所以，最優(yōu)矩陣讓系統(tǒng)產(chǎn)生了共振現(xiàn)象，使得系統(tǒng)的輸出能量達(dá)到最高．可以看出，正如前面所說，矩陣中的元素有差別時(shí)功率譜的高度和寬度更加理想，并且系統(tǒng)能量輸出能達(dá)到最大，最大值都在3 500左右．為了找出耦合矩陣與功率譜最大值之間的關(guān)系，我們計(jì)算出6個(gè)任意選擇的矩陣的第一、第二特征值，將除0以外的各個(gè)矩陣的第二特征值進(jìn)行比較，如圖4右圖，可以看出，隨著矩陣第二特征值的變化，功率譜最大值也相應(yīng)的發(fā)生變化，并且功率譜波峰值大的，耦合矩陣的第二特征值也較大．因此，耦合矩陣的第二特征值與波峰值有一定的聯(lián)系．

圖4 最優(yōu)矩陣與任選矩陣第二特征值的比較.左圖：A坐標(biāo)代表任意選出來的6個(gè)3×3σ矩陣或5×5σ矩陣與最優(yōu)矩陣的序列(其中左圖中序列4為最優(yōu)矩陣，右圖中序列6為最優(yōu)矩陣). D坐標(biāo)代表對(duì)應(yīng)矩陣的第二特征值

4 結(jié)語

本文主要討論了系統(tǒng)經(jīng)過耦合后在噪聲作用下發(fā)生的隨機(jī)共振現(xiàn)象．隨著耦合矩陣的不同，系統(tǒng)的能量輸出也相應(yīng)地發(fā)生著變化．本文利用遺傳算法搜索到最優(yōu)耦合矩陣，使得系統(tǒng)能量輸出達(dá)到最大值，這讓我們對(duì)隨機(jī)共振有了更加深入的了解．隨機(jī)共振現(xiàn)象處處都存在，近年來，對(duì)隨機(jī)共振現(xiàn)象的發(fā)生及相應(yīng)機(jī)制的研究受到各個(gè)領(lǐng)域科學(xué)家們?cè)絹碓蕉嗟年P(guān)注，增進(jìn)對(duì)它的了解，可以幫助我們更好地控制系統(tǒng)能量輸出與微小機(jī)制的運(yùn)作．

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