基于Lp(a,c)算子定義的亞純函數(shù)鄰域的性質(zhì)

周 偉

(淮陰師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，中國 淮安 223300)

近年來，基于不同的線性算子，有關(guān)p葉解析或亞純函數(shù)類的性質(zhì)和特征被廣泛研究，請參閱文獻[1～4]．有學(xué)者在利用線性算子Lp(a,c)定義亞純多葉函數(shù)的基礎(chǔ)上，較為詳盡的研究了以原點為極點的、具有正系數(shù)的亞純函數(shù)的新子類的性質(zhì)，并得出了一些新的結(jié)論[5-7].文中在利用線性算子Lp(a,c)定義亞純函數(shù)鄰域概念的基礎(chǔ)上，進一步探究鄰域與亞純函數(shù)新子類的一些包含關(guān)系.

1 預(yù)備知識

定義1設(shè)∑P表示形如

(1)

定義2設(shè)f∈∑p，關(guān)于∑p的線性算子Lp(a,c)定義如下：

Lp(a,c)f(z)=φp(a,c;z)*f(z).

易驗證Lp(a,c)算子滿足：

z(Lp(a,c)f(z))′=aLp(a+1,c)f(z)-(a+p)Lp(a,c)f(z).

由線性算子Lp(a,c)定義亞純多葉函數(shù)的新子類如下.

定義3若f∈∑p且滿足

(2)

其中z∈E；-1≤B

(3)

定義4設(shè)f∈∑p且形如(1)式，定義f的δ鄰域為

-1≤B

(4)

設(shè)f∈∑p且形如(3)式，定義

0≤B

(5)

2 相關(guān)引理

為證明定理需要，給出以下引理.

(6)

(7)

時，結(jié)論是精確的.

3 主要結(jié)論及證明

以下假定a>0且c>0.

定理1設(shè)f∈Ωp(a,c;A,B)，且f形如(1)式,若f滿足

則Nδ(f)?Ωp(a,c;A,B).

證由(2)式可得g∈Ωp(a,c;A,B)當且僅當

上式等價于

(8)

其中

(9)

由(9)式可得

n,p∈N.

若δ不能再減小，則結(jié)論是精確的.

證利用和定理1相同的證明方法可證得

余下部分的證明類似于定理1的證明. 下面考慮精確性.取

(10)

由定理的假設(shè)可得

n=p,p+1,…;p∈N.

利用(4)式可得

易證常數(shù)1是最精確的. 證畢.

類似于證明定理2的方法易推證下面結(jié)論成立.

參考文獻：

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