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    決定一個Dirac方程特征值集的整函數(shù)的討論

    2011-11-23 08:14:44梁銀雙文生蘭
    關(guān)鍵詞:微分邊界條件特征值

    梁銀雙,文生蘭

    (1.中州大學(xué) 信息工程學(xué)院,河南 鄭州 450044;2.解放軍信息工程大學(xué) 理學(xué)院,河南 鄭州 450001)

    微分算子的特征值的跡恒等式深刻揭示了微分算子的譜結(jié)構(gòu),在特征值的計算及其反問題以及孤子理論和可積系統(tǒng)理論中都有很重要的作用.關(guān)于Dirac方程的研究始于1921年, Hurwitz得到了Dirac方程的特征值、特征函數(shù)的漸近式[1],并證明了在有限區(qū)間上Dirac系統(tǒng)的特征函數(shù)的完備性.Levitan和Sargsjan在文獻[2-3]中對Dirac算子進行了系統(tǒng)的論述,包括常型、奇型以及周期情況的研究.雖然關(guān)于微分算子跡的研究已積累了大量文獻,但是大多結(jié)果都是對局部方程局部邊界條件而得到的.1981年,李夢如用文獻[4]的方法,在文獻[5]中得到了帶有非局部邊界條件的S-L算子的跡公式.關(guān)于帶有非局部邊界條件Dirac算子的跡公式的討論,文獻[6]中已討論了一種情況.本文主要初步研究下述問題決定特征值的整函數(shù):

    1 問題(1)的兩個初值問題解的漸近估計

    為了給出問題(1)的通解結(jié)構(gòu),這里需要利用(1)的兩個初值問題解的漸近估計.

    先來考慮(1)的第一個初值問題:

    問題(2){Bdydx+P(x)y=λy,

    引理1 由文獻[7]可知,問題(2)的解Φ(x,λ)對λ的漸近式為:

    該初值問題解的具體形式在文獻[6]中已給出,這里不再贅述.

    接著考慮問題(1)的第二個初值問題:

    引理2 由文獻[7]知,問題(3)的解ψ(x,λ)對λ的漸近式為:

    2 決定問題(1)特征值集的整函數(shù)

    y(x,λ)=c1Φ(x,λ)+c2ψ(x,λ),c1,c2為常數(shù).

    由問題(1)的邊界條件知:

    (*)

    引入關(guān)于λ的整函數(shù):

    命題1 問題(1)的特征值集合與ω(λ)的零點集合重合.

    最后,通過計算對ω(λ)進行漸近估計,這里主要用到定積分計算的分部積分法.

    φ2(0,λ)=0,ψ2(0,λ)=1,

    所以,整函數(shù)ω(λ)關(guān)于λ的漸近估計式如下:

    參考文獻:

    [1] Hurwitz W.An expansion theorem for a system of linear differential equations of the first order[J].T rans Amer Math Soc,1921(22):526-543.

    [2] Levitan B M,Sargsjan I S. Sturm-Liouville and Dirac Operators[M].Boston:Kluwer Academic Publishers, 1991.

    [3] Levitan B M,Sargsjan I S. Introduction to Spectral Theory, Selfadjoint Differential Operater[M].Rhode Island:American Mathematical Society Providenee,1975.

    [4] 曹策問.非自伴Sturm-Liouville算子的漸近跡[J].?dāng)?shù)學(xué)學(xué)報,1981,24(1):84-94.

    [5] 李夢如.帶有非定局邊界條件的Sturm-Liouville算子的跡[J].鄭州大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,1981(1):1-7.

    [6] 梁銀雙,夏云青.對帶有非局部邊界條件的Dirac方程的跡的研究[J].中州大學(xué)學(xué)報,2011,28(2):119-123.

    [7] Abdukadyrov E.Calculation of the regularized spur for the Dirac system[J].Journal of Moscow University, 1967(4):17-24.

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