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    隨機向量獨立性檢驗的研究

    2011-11-23 08:14:36徐文青
    關鍵詞:均勻分布獨立性結論

    徐文青

    (河南工程學院 數理科學系,河南 鄭州 451191)

    用隨機模擬方法解決實際問題時,選用的隨機數很重要,而衡量隨機數好壞的一個很重要的指標就是其獨立性.對于服從高維均勻分布的隨機數來說,其獨立性尤為重要.Ferrenberg等人曾指出,在統計物理學上很著名的Ising模型的Monte Carlo模擬中,因Tausworthe序列內的微妙相關而得到了完全錯誤的結果.Grassberger也發(fā)現了在統計物理學上另一個很著名的模型(三維自回避行走SAW)的Monte Carlo模擬也因Tausworthe序列的相關而出現類似的問題[1],這就使得研究隨機序列的獨立性成為一項很重要的工作.為了更充分地把握隨機向量的獨立性,一個很自然的想法就是對隨機向量進行獨立性檢驗.

    1 常見的獨立性檢驗方法的特點分析

    目前,對二維隨機向量(X,Y)的獨立性檢驗已有不少的研究,常見的方法有Pearson相關檢驗、Spearman秩相關檢驗、適應性檢驗[2]和核檢驗[3]等,這些方法通常都考慮如下檢驗問題:

    1)H0:X與Y獨立;

    2)H1:X與Y正相關.

    假設(Xi,Yi),i=1,2,…,n是(X,Y)的i.i.d.樣本,構造一個適當的統計量來進行檢驗. 這些方法都是在原假設為“X和Y相互獨立”的前提下去做的,這樣可以控制將“X和Y相互獨立”錯判成“X和Y不相互獨立”的概率.由于假設檢驗有保護原假設的傾向,即容易得到接受“X和Y相互獨立”的結論.一旦拒絕了原假設,那么將給“X和Y不相互獨立”提供有力的支持.但是,如果接受了原假設,只是說明我們沒有充足的證據反對它而已,支持的理由并不充分.在這種情況下,接受原假設與結論“X和Y相互獨立”之間有很大的差異.下面通過一個具體的例子來說明這種弊端.

    例1 考慮如下模型:

    0

    首先給出下面2個引理:

    引理1 沿用上述記號,則有ω1~U[0,1],ω2~U[0,1].

    證明由上述定義可知:

    ω1=ζη1+(1-ζ)ξ1,ω2=ζη1+(1-ζ)ξ2.

    對于任意的實數x,由全概率公式可求出ω的邊緣分布,即:

    即:ω1~U[0,1]. 同理可證ω2~U[0,1].

    引理2ω1和ω2的相關系數為P.

    根據上述模型,取P=0.047,由上面的結論知:ω1和ω2是相關的,從而不獨立.

    下面再用現有的方法對ω1和ω2進行獨立性檢驗,取顯著性水平為0.05. 現用計算機模擬產生7 000個ω=(ω1,ω2)的隨機樣本.

    用Pearson檢驗方法對ω=(ω1,ω2)進行獨立性檢驗,通過計算可得:P=0.096 6,顯然接受原假設,認為ω1和ω2相互獨立.

    用Spearman檢驗方法對ω=(ω1,ω2)進行獨立性檢驗,通過計算可得:P=0.093 5,也是接受原假設,認為ω1和ω2相互獨立.

    這顯然是錯誤的,出現錯誤的原因正是由于這些方法都是以“ω1和ω2相互獨立”為原假設,從而有保護原假設的傾向.但是在進行隨機模擬時,往往都要求隨機變量是相互獨立的,因此,在這種情況下,研究控制將“兩個隨機變量不獨立” 錯判成“兩個隨機變量獨立”的犯錯誤的概率的方法具有理論和應用價值,所以應該重新考慮在獨立性檢驗中的原假設的設置問題.

    2 檢驗隨機向量是否獨立的新方法

    通常,隨機數生成算法的研究都是以[0,1]上的均勻分布為基礎設計的,然后通過適當的函數變換來得到其他分布(如正態(tài)分布、指數分布等)的隨機數.一般軟件中都給出了均勻分布隨機數的生成方法,為了模擬時的方便,本文也從最簡單的均勻分布著手,來研究隨機向量的獨立性,進而對結論做進一步的推廣.

    對于二維隨機向量(X,Y)來說,假設X和Y分別服從U[0,1],則(X,Y)是否服從[0,1]×[0,1]上的均勻分布與X和Y是否獨立有如下關系:

    引理3 在二維隨機向量(X,Y)中,X~U[0,1],Y~U[0,1],則(X,Y)~U[0,1]2?X和Y相互獨立.

    根據引理3,本文在研究X和Y的獨立性時,轉化為研究(X,Y)是否服從[0,1]×[0,1]上的均勻分布.

    假設X~U[0,1],Y~U[0,1],且F(x,y)是隨機向量(X,Y)的分布函數.考慮如下的假設檢驗問題:

    拒絕域的形式為:Da={ζ≤a},其中a>0,為臨界值.

    在證明該結論之前,首先給出3個引理.

    證明令η=I(0,x)(Xi)I(0,y)(Yi),i=1,2,…,n.由條件知:η1,η2,…,ηn獨立同分布,

    并且Eηi=E(I(0,x)(Xi)I(0,y)(Yi))=P(0

    Dηi=Dηi2-(Eηi)2=F(x,y)-F(x,y)2=σ2.

    證明沿用引理4的記號,可知

    由引理4知,當n充分大時,近似地有

    假設F(x,y)是二元連續(xù)函數,則當原假設H0成立時,存在(x0,y0)使得μ0=F(x0,y0)-x0y0且

    所以當0

    定理1 對于原假設H0,顯著性水平α的拒絕域的具體形式為:

    3 新方法的檢驗效果

    對于例1中的模型來說,取P=0.047可知ω1和ω2相互獨立的,但用傳統的獨立性檢驗方法來檢驗時,卻得到了錯誤的結論.下面再用本文提出的新方法對ω1和ω2進行獨立性檢驗,取顯著性水平α=0.05,樣本量n仍為7 000,由定理1計算可得拒絕域為:Da={ξ≤0.000 17},檢驗統計量的值為:ξ=0.014.顯然ξ>α,即ξ落入接受域,從而接受原假設H0認為ω=(ω1,ω2)不服從[0,1]×[0,1]上的均勻分布,再由引理1可知,ω1和ω2不獨立.顯然,經過比較可知,這種新的檢驗方法得到的結果更合理.

    此外,用3種不同的隨機數生成方法分別產生ω=(ω1,ω2)的樣本量為8 000和100 000的i.i.d樣本進行數據模擬,結果表明本文所提的新方法能更好地區(qū)分不獨立的隨機變量.

    4 新方法的推廣

    上面給出的方法是基于X和Y都是服從均勻分布構造的,事實上,對于其他連續(xù)分布函數也同樣適用.

    引理7[4]若隨機變量ξ的分布函數F(x),其中F(x)為連續(xù)函數,則F(ξ)~U[0,1].

    引理8 若隨機變量ξ~F1(x),ξ2~F2(x),其中F1(x),F2(x)為連續(xù)函數,則F1(ξ1)與F2(ξ2)相互獨立等價于ξ1與ξ2相互獨立.

    因此,對于任意2個服從連續(xù)分布的隨機變量ξ1~F1(x),ξ2~F2(x),顯然F1(ξ1)與F2(ξ2)滿足新方法中的假設條件,要檢驗ξ1與ξ2是否相互獨立,只需用新方法檢驗F1(ξ1)與F2(ξ2)是否相互獨立即可,這樣就使得本文所提出的新方法的適用范圍更寬泛.

    參考文獻:

    [1] 楊自強,魏公毅.綜述:產生偽隨機數的若干新方法[J].數值計算與計算機應用,2001(3):206-207.

    [2] Egmar R?del,Wolfgang k?ssler. Linear rank tests for independence in bivariate distributions-power comparisons by simulation[J].Computational Statistics & Data Analysis,2004(46): 645-660.

    [3] Gretton A, Fukumizu K, Teo C,et al. A kernel statistical test of independence[J].Advances in NIPS, 2008(4): 585-592.

    [4] 李賢平.概率論基礎[M].北京:高等教育出版社,2003:152-153.

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