地形變應(yīng)變張量矩陣的不變量分析＊

劉序儼 季穎鋒 黃聲明 梁全強(qiáng)

地形變應(yīng)變張量矩陣的不變量分析＊

劉序儼1)季穎鋒1,3)黃聲明1)梁全強(qiáng)2)

在給出正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系的有關(guān)位移向量及其全微分、位移梯度矩陣、應(yīng)變張量矩陣的普適表達(dá)式的基礎(chǔ)上,又給出了任意兩種正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系下的應(yīng)變張量矩陣的普適轉(zhuǎn)換表達(dá)式,并指出：由于該變換矩陣為正交矩陣,故應(yīng)變張量矩陣為相似矩陣。并對(duì)應(yīng)變張量矩陣的幾何物理性質(zhì)進(jìn)行了分析,指出任何一種正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系的應(yīng)變張量矩陣都具有唯一不變的主應(yīng)變特征多項(xiàng)式,由該矩陣的主應(yīng)變特征值方程皆可求得地殼質(zhì)點(diǎn)處的主應(yīng)變及其主方向,由主方向單位向量又可把該矩陣化為以主應(yīng)變?yōu)閷?duì)角元素的對(duì)角矩陣,該矩陣及其對(duì)角矩陣的跡皆為該質(zhì)點(diǎn)處的體應(yīng)變,該矩陣的行列式等于該質(zhì)點(diǎn)處 3個(gè)主應(yīng)變的乘積,這些幾何物理量皆為該質(zhì)點(diǎn)處的地應(yīng)變不變量。

位移向量;位移梯度矩陣;應(yīng)變張量矩陣;普適表達(dá)式;幾何物理不變量

1 概述

應(yīng)變與旋轉(zhuǎn)是地殼運(yùn)動(dòng)的一種表現(xiàn)形式。地殼運(yùn)動(dòng)是指組成地殼介質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)位置不斷發(fā)生相對(duì)變化的一種現(xiàn)象,質(zhì)點(diǎn)位置的變化稱(chēng)為位移,在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生的位移稱(chēng)為地殼運(yùn)動(dòng)速率。對(duì)于剛體,由于其中任意兩點(diǎn)間的距離保持不變,在外力作用下,剛體可能發(fā)生整體平移或旋轉(zhuǎn),但絕不會(huì)發(fā)生變形。但實(shí)際上,地殼既不是剛體,也不是流體,而是介于兩者之間的一種彈性介質(zhì)。在外力作用下,地殼質(zhì)點(diǎn)位移體現(xiàn)為地殼介質(zhì)對(duì)該作用力的一種響應(yīng),包括平移、旋轉(zhuǎn)和應(yīng)變[1,2]。

由地殼質(zhì)點(diǎn)位移所引起的平移、旋轉(zhuǎn)與應(yīng)變構(gòu)成了地形變的 3種要素。在構(gòu)成地形變的 3種要素中,平移代表質(zhì)點(diǎn)從A挪至B,旋轉(zhuǎn)與應(yīng)變則一起表征了該質(zhì)點(diǎn)處的變形,旋轉(zhuǎn)與應(yīng)變分別為位移梯度矩陣的不同組合。人們不禁要問(wèn),位移梯度矩陣的幾何意義何在?為什么應(yīng)變與旋轉(zhuǎn)矩陣皆可表征為該矩陣的組合,其幾何物理含義是什么,不同坐標(biāo)系下的這兩個(gè)矩陣的轉(zhuǎn)換關(guān)系又是怎樣的,在不同坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)和應(yīng)變矩陣元素值都不相同,為什么說(shuō)兩者是等價(jià)的,其等價(jià)的內(nèi)涵和外延是什么,它們所表征的幾何物理特征又是什么?在對(duì)地殼形變位移觀測(cè)資料進(jìn)行應(yīng)變分析時(shí),如何選擇坐標(biāo)系,又如何求得位移分量對(duì)坐標(biāo)變量的偏導(dǎo)數(shù)呢?這些問(wèn)題正是本文要探討的主要內(nèi)容。

2 應(yīng)變張量矩陣表達(dá)式

地殼介質(zhì)的位移是該質(zhì)點(diǎn)對(duì)外力作出的一種響應(yīng),而位移向量的空間變化率則刻畫(huà)了地殼介質(zhì)的應(yīng)變。地殼質(zhì)點(diǎn)的位移向量的空間變化率可由該質(zhì)點(diǎn)的位移梯度矩陣取得[3],位移梯度矩陣在任一正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系中的普適表達(dá)式為：

地殼質(zhì)點(diǎn)的位移梯度矩陣 E及轉(zhuǎn)置矩陣 ET之和的 1/2,給出了該質(zhì)點(diǎn)位移在其鄰域所產(chǎn)生的地殼介質(zhì)的應(yīng)變張量矩陣[1,3],其普適表達(dá)式為：

其中

式(4)中的[U1U2U3]為地殼質(zhì)點(diǎn)處的位移向量的全微分在該質(zhì)點(diǎn)處的正交單位標(biāo)架上的分量,[u1u2u3]為位移向量在坐標(biāo)標(biāo)架上的分量,[eξ1eξ2eξ3]為在該項(xiàng)質(zhì)點(diǎn)處的正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系的正交單位標(biāo)架[4]。地殼質(zhì)點(diǎn)處的應(yīng)變張量矩陣取決于該質(zhì)點(diǎn)處的坐標(biāo)標(biāo)架,在不同的坐標(biāo)系下有不同的表達(dá)式,但不管怎樣,由不同坐標(biāo)系給出的地殼變形都是唯一的,這就牽涉到應(yīng)變張量矩陣的性質(zhì)。

3 應(yīng)變張量矩陣及其性質(zhì)

式(2)給出了地殼某一質(zhì)點(diǎn)處的應(yīng)變張量矩陣的普適表達(dá)式,不論由哪種正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系下的應(yīng)變張量矩陣都能刻畫(huà)出地殼質(zhì)點(diǎn)處的位移所引起的任何一個(gè)方向的線(xiàn)應(yīng)變以及由該點(diǎn)處兩個(gè)方向間的角度改變量(剪應(yīng)變),因?yàn)樵谠擖c(diǎn)處的應(yīng)變張量矩陣已包含了該點(diǎn)處局部變形的所有信息。設(shè) eξ為該點(diǎn)處某一方向ξ相對(duì)于該點(diǎn)處的單位標(biāo)架的單位向量,則該方向上的線(xiàn)應(yīng)變?chǔ)纽慰捎蒣1,5]

求出。又設(shè)η為該點(diǎn)處的另一方向,其相對(duì)于該點(diǎn)處的單位標(biāo)架的單位向量為 eη,那么由 eξ和 eη兩個(gè)單位向量所構(gòu)成的角度改變量εξη(以弧度為單位)可由[5]

求出。若 eξ⊥eη,則εξη就是ξ η平面上的剪應(yīng)變。

不同坐標(biāo)系的應(yīng)變張量矩陣如同這兩個(gè)坐標(biāo)系的單位標(biāo)架一樣可以相互轉(zhuǎn)換,設(shè) (M：eAξ1,eAξ2, eAξ3)與 (M：eBu1,eBu2,eBu3)分別在 M點(diǎn)在 A與 B坐標(biāo)系下的單位活動(dòng)標(biāo)架,則這兩個(gè)坐標(biāo)系的應(yīng)變張量矩陣εA和εB的相互轉(zhuǎn)換表達(dá)式為[1]：

式中,eBu1,eBu2,eBu3與 eAξ1,eAξ2、eAξ3可由 M點(diǎn)在 B與A坐標(biāo)系中的位置向量表達(dá)式求得[4,5]。由于 cB和cA皆為正交矩陣,故 c亦為正交矩陣[1]。

其中,cik為轉(zhuǎn)換矩陣 c中第 i行第 k列的元素。按定義,與這些分量即為張量,與是其指標(biāo)記號(hào),εA和εB是其整體記號(hào)[1]。

4 應(yīng)變張量矩陣的不變量分析

按彈性力學(xué),通常在剪應(yīng)變?yōu)榱愕钠矫嫔?正應(yīng)變會(huì)取得極大值和極小值,也就是所謂的主應(yīng)變[1,2,6,7],主應(yīng)變實(shí)際上是應(yīng)變張量矩陣的特征值。這些特征值所屬的方向稱(chēng)為特征向量的方向,亦即主方向[1,2,6,7]。在地殼某質(zhì)點(diǎn)處所產(chǎn)生的主應(yīng)變及其主方向與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān),是該質(zhì)點(diǎn)變形的一種不變量,這是因?yàn)樵谑?7)中,聯(lián)系A(chǔ)坐標(biāo)與B坐標(biāo)系下的兩個(gè)應(yīng)變張量矩陣εA和εB之間的變換矩陣 c為正交矩陣,因此εA和εB為相似矩陣[8-10]。在這里,“相似”一詞是指在不同坐標(biāo)系下的所有應(yīng)變張量矩陣都是等價(jià)的,雖然,在不同坐標(biāo)系下應(yīng)變張量矩陣元素?cái)?shù)值各不相同,但它們卻都隱藏著與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)的地殼某質(zhì)點(diǎn)處地殼局部變形的某些幾何物理不變量,這正是等價(jià)或相似概念的內(nèi)涵,而不同坐標(biāo)系下,因該質(zhì)點(diǎn)處的局部標(biāo)架各不相同,因而各自的矩陣元素?cái)?shù)值也各不相同,正是該概念的外延。根據(jù)線(xiàn)性代數(shù)理論[8-10],不難證明,不同坐標(biāo)系下應(yīng)變張量矩陣隱藏著在該質(zhì)點(diǎn)處局部變形的某些幾何物理不變量,挖掘出這些幾何物理不變量,可以加深我們對(duì)應(yīng)變張量矩陣特性的認(rèn)識(shí),這些幾何物理不變量分別為：

1)應(yīng)變張量矩陣具有相同的主應(yīng)變特征值多項(xiàng)式

設(shè)λ為主應(yīng)變,則應(yīng)變張量矩陣ε的特征值方程為：

式中 I為三階單位矩陣,式(10)的展開(kāi)式為：

其中：

由于在地殼某質(zhì)點(diǎn)處的主應(yīng)變是一個(gè)幾何不變量,故 I1、I2、I3亦皆為不變量。

設(shè)λi為應(yīng)變張量矩陣的某一主應(yīng)變,ξi為該主應(yīng)變對(duì)應(yīng)的特征向量(主方向),則ξi可由矩陣特征值方程求出;

2)應(yīng)變張量矩陣的行列式等于主應(yīng)變乘積,為一常數(shù)

3)應(yīng)變張量矩陣皆可表達(dá)為對(duì)角線(xiàn)元素為主應(yīng)變的對(duì)角張量矩陣

由于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值皆為實(shí)數(shù),設(shè)λ1、λ2、λ3分別為該矩陣互不相等的特征值 (主應(yīng)變),ξ1、ξ2、ξ3分別為各其所對(duì)應(yīng)的單位特征向量 (主方向),則這 3個(gè)特征向量必相互正交,則把該矩陣轉(zhuǎn)換為對(duì)角矩陣的轉(zhuǎn)換矩陣為 c=(ξ1,ξ2,ξ3),由此可得以主應(yīng)變?yōu)榉至康膶?duì)角應(yīng)變張量矩陣ελ為

若λ1、λ2、λ3有兩個(gè)是重根,此時(shí)可對(duì)重根所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)特征向量分別做施密特正交化[8-10],以取得單位正交基,即單位特征向量。

若λ1=λ2=λ3=λ,此時(shí)不存在主應(yīng)變與主方向,地殼質(zhì)點(diǎn)在任何方向受力情況與靜止流體中質(zhì)點(diǎn)受力一樣,把與該力大小相等方向相反的力稱(chēng)為靜水壓力,設(shè)靜水壓力為 P,地殼介質(zhì)體積模量設(shè)為B,由文獻(xiàn)[7,12-15],則在該質(zhì)點(diǎn)處的體應(yīng)變?yōu)椋?/p>

4)應(yīng)變張量矩陣的跡為體應(yīng)變且為一常數(shù)

根據(jù)彈性力學(xué)理論[1],應(yīng)變張量矩陣的跡等于該點(diǎn)處的體應(yīng)變,故

把應(yīng)變張量矩陣對(duì)角化以后,其對(duì)角矩陣的跡為主應(yīng)變之和,該和即等于體應(yīng)變?chǔ)1,4]

根據(jù)向量場(chǎng)理論[16],體應(yīng)變又可表達(dá)為：

式中 u為該質(zhì)點(diǎn)的位移向量,▽為哈密頓微分算子,其表達(dá)式為

顧及到式 (4),則式 (17)變?yōu)椋?/p>

5 認(rèn)識(shí)與討論

在給出正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系下的有關(guān)位移梯度矩陣、應(yīng)變張量矩陣的普適表達(dá)式的基礎(chǔ)上,給出了任意兩種正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系下的應(yīng)變張量矩陣的普適表達(dá)式,對(duì)位移梯度矩陣的幾何物理性質(zhì)進(jìn)行了較為詳細(xì)的分析,并著重指出因在正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系中,局部單位坐標(biāo)標(biāo)架的轉(zhuǎn)換矩陣是正交的,因此應(yīng)變張量矩陣為相似矩陣。在此基礎(chǔ)上,對(duì)應(yīng)變張量矩陣的幾何物理性質(zhì)進(jìn)行比較深入的分析,并指出隱藏在應(yīng)變張量矩陣中的這些地形變不變量正是相似矩陣等價(jià)概念的內(nèi)涵,而不同坐標(biāo)系下的應(yīng)變與旋轉(zhuǎn)張量矩陣元素具有不同數(shù)值正是該項(xiàng)概念的外延。

應(yīng)變與旋轉(zhuǎn)張量矩陣皆為位移梯度矩陣及其轉(zhuǎn)置的不同組合,因此,位移梯度矩陣既刻劃地殼某一質(zhì)點(diǎn)處所有的地應(yīng)變信息,又給出該質(zhì)點(diǎn)處的地殼剛體旋轉(zhuǎn)方向及其旋轉(zhuǎn)角位移,即給出了該質(zhì)點(diǎn)處的空間應(yīng)變率。

既然不同正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系的應(yīng)變張量矩陣可以相互轉(zhuǎn)換[4],那么到底使用哪種坐標(biāo)系下的應(yīng)變張量公式進(jìn)行應(yīng)變分析好呢?這要視觀測(cè)資料而定。如果采用在WGS84坐標(biāo)框架下的 GPS觀測(cè)資料計(jì)算應(yīng)變時(shí),文獻(xiàn)[17]建議,即使在小范圍內(nèi)也應(yīng)采用球坐標(biāo)系應(yīng)變張量公式,而不應(yīng)使用平面坐標(biāo)系的應(yīng)變張量公式,以免引入系統(tǒng)誤差,因?yàn)樵撐恼J(rèn)為“球面上的垂直位移可以產(chǎn)生徑向和緯向的正應(yīng)變,徑向位移可以產(chǎn)生緯向的正應(yīng)變,緯向位移也可以產(chǎn)生剪應(yīng)變”。特別在研究面積大、時(shí)間跨度長(zhǎng),位移量大的情況下更是必需的,當(dāng)然,在這種情況下采用文獻(xiàn)[18]給出的橢球面上的應(yīng)變張量公式較好,因?yàn)榇藭r(shí)顧及WGS84橢球面上的曲率,比球面更為精密。

如果在 IFRF框架對(duì)地殼形變進(jìn)行應(yīng)變分析,則不需顧及地球曲率,因?yàn)?x、y、z這 3個(gè)直角坐標(biāo)觀測(cè)值本身就內(nèi)蘊(yùn)了地球曲率信息,此時(shí)可采用空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)變公式進(jìn)行應(yīng)變分析,在顧及了地球曲率情況下,無(wú)論是采用直角坐標(biāo)系,還是球面抑或橢球面坐標(biāo)系應(yīng)變公式所得到的應(yīng)變張量在理論上都是等價(jià)的,因?yàn)樗麄冎g的數(shù)值可以相互轉(zhuǎn)換。

在取得諸測(cè)站的位移觀測(cè)資料后,是否就可直接按式(2)進(jìn)行地應(yīng)變分析呢?回答是否定的,究其原因是除天體起潮力引起的空間變化率可知外[19-22],在一般情況下,我們無(wú)法得知觀測(cè)點(diǎn)的位移坐標(biāo)函數(shù)表達(dá)式,但在這種情況下,如何解決應(yīng)變張量計(jì)算呢?為此,許多學(xué)者進(jìn)行了探討[23-25],雖然這些探討在某些方面有所不同,但總的來(lái)說(shuō)都是以若干個(gè)觀測(cè)點(diǎn)作為支撐點(diǎn)來(lái)確定某個(gè)內(nèi)插函數(shù),在進(jìn)行內(nèi)插時(shí),如果沒(méi)有給觀測(cè)值提供一種假定的動(dòng)力學(xué)模型數(shù)據(jù)的話(huà),那么,采用純粹的幾何模型內(nèi)插方法必須滿(mǎn)足觀測(cè)點(diǎn)的分布密度能保證相鄰觀測(cè)點(diǎn)之間的線(xiàn)性?xún)?nèi)插達(dá)到足夠的精度以滿(mǎn)足研究的需要,以及所選定的幾何內(nèi)插函數(shù)能確保相鄰觀測(cè)點(diǎn)之間存在近似線(xiàn)性?xún)?nèi)插關(guān)系,內(nèi)插函數(shù)可采用樣條逼近技術(shù)或擬合推估方法求得。在求取旋轉(zhuǎn)張量矩陣時(shí),也面臨同樣的困境,但也是采用上述相同的方法予以解決,見(jiàn)文獻(xiàn)[26]。

1 王敏中,王煒,武際可.彈性力學(xué)教程[M].北京：北京大學(xué)出版社,2002.(WangMinzhong,WangWei andWu Jike. The course of elastic mechanics[M].Beijing：Beijing University Publishing House,2002)

2 米恩斯著,丁中一譯,王仁校.應(yīng)力與應(yīng)變[M].北京：科學(xué)出版社,1982.(W D Means.Stress and strain[M]. Springer-VerlayNew York,Inc,1976)

3 牛濱華,孫春巖.固體彈性介質(zhì)與地震波傳播[M].北京：地質(zhì)出版社,2005.(Niu Binhua and Sun chunyan.Solid elastic medium and seismic wave trans mit[M].Beijing：Geologic Press,2005)

4 劉序儼,季穎鋒,梁全強(qiáng).正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系應(yīng)變張量的普適表達(dá)[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué),2008,(4)：89-96. (Liu Xuyan,Ji Yingfeng and LiangQuanqiang.Expression of strain tensor in orthogonal curvilinear coordinates[J].Journal of Geodesy and Geodynamics,2008,(4)：89-96)

5 劉序儼,黃聲明,梁全強(qiáng).正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系的應(yīng)變張量轉(zhuǎn)換[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué),2008,(4)：71-76.(Liu Xuyan,Huang Shengming and Lian Quanqiang.Conversion of strain tensor matrice between two orthogonal curvelinear coordinates[J].Journal of Geodesy and Geodynamics,2008, (2)：71-76)

6 楊W C,布迪納斯編.岳珠峰,等譯.羅式應(yīng)力應(yīng)變公式手冊(cè)[M].北京：科學(xué)出版社,2005.(YoungW C and Budynas R G.Roak’s for maulas for stress and strain(7th Edition).NewYork：Oxford,etc.McGraw-Hill Companies Ins, 2005)

7 Jaeger J C.Elasticity fracture and flow[M].Lodon：Methuem amp;CO.Lto.New York：Johnwi-Leyamp;Sows.I NC.1964)

8 俞正光,林潤(rùn)亮,魯自群.線(xiàn)形代數(shù)與幾何[M].北京：清華大學(xué)出版社,2009.(Yu Zhengguang,Lin Runliang and Lu Ziqun.Linear algebra and geometry[M].Beijing：Tsinghua University Press,2009)

9 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.線(xiàn)性代數(shù)及應(yīng)用[M].北京：高等教育出版社,2008.(Edited by Department ofMathematics of TongjiUniversity.Linear algebra and it’s application[M]. Beijing：Advanced Education Press,2008)

10 戴明強(qiáng),劉子瑞編.工程數(shù)學(xué) (上冊(cè))[M].北京：科學(xué)出版社,2009.(Dai Mingqiang and Liu Zirui.Engineering mathematics(1st Volume)[M].Beijing：Science Press, 2009)

11 Christopher Clapham.Oxford concise dictionary of mathematics[M].Shanghai：Shanghai Foreign Language Education Press,2001.

12 Paul P U.College physics[M].Beijing：Mechanical Industry Press,2003.

13 傅承義,陳運(yùn)泰,祁貴仲.地球物理學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：科學(xué)出版社,1985.(Fu C Y,Chen Y T and Qi G Z.Foundation of earth physics[M].Beijing：Science Press,1985)

14 John Wahr.Geodesy and gravity[M].Samizdat Press, 1996.

15 劉序儼,等.承壓井水位觀測(cè)系統(tǒng)對(duì)體應(yīng)變的響應(yīng)機(jī)制分析[J].地球物理學(xué)報(bào),2009,52(12)：3 147-3 157. (Liu Xuyan,et al.Response analysis of the well-water system in cinfined aquifer[J].Chinese Jourual of Geophysics,2009,52(6)：1 389-1 401)

16 Greenberg M D.Advanced engineering mathematics(The 2nd edition)[M].Beijing：Publishing House of Electronics Industry,2004)

17 石耀霖,朱守彪.用 GPS位移資料計(jì)算應(yīng)變方法的討論[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué),2006,(1)：1-6.(Shi Yaolin and Zhu Shoubiao.Discussion on method of calculation strain with GPS displacement data[J].Journal of Geodesy and Geodynamics,2006,(1)：1-6)

18 劉序儼,黃聲明,梁全強(qiáng).旋轉(zhuǎn)橢球面上的應(yīng)變與旋轉(zhuǎn)張量表達(dá)[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué),2007,(3)：240-249.(Liu Xuyan,Huang Shengming and Liang Quanqiang. Expression of strain and rotation tensor in Geodetic coordinates[J].Journal of Geodesy and Geodynamics,2007, (3)：240-249)

19 北京大學(xué)地球物理系,武漢測(cè)繪學(xué)院大地測(cè)量系,中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)地球物理教研室主編.重力與固體潮教程[M].北京：地震出版社,1982.(Department of Geophysics ofBeijing University,Depart ment of Geodesy ofWuhan Institute of Surveying andMapping,Teaching and Reseasch Group Of Geophysics of China Science and TechlologyUniversity.Course of gravity and earth tide[M].Beijing：Seismological Press,1982)

20 梅爾基爾著,杜品仁,吳慶鵬,陳益惠,劉克人譯.行星地球的固體潮[M].北京：科學(xué)出版社,1984.(Melchior P. Translated byDu Pinren,et al.The tides of the planet earth [M].Beijing：Science Press,1984)

21 vanicek P and Krakiwsky E J.Geodesy：The concepts[M]. New York：Elsevier Science Publishing company,I NC. 1986.

22 劉序儼.應(yīng)變固體潮主應(yīng)變及剪應(yīng)變計(jì)算——四川姑咱應(yīng)變固體潮分析[J].地球物理學(xué)報(bào),1994,37(Supp.1)：213-221.(Liu Xuyan.Analysis on earth strain tide of Guza sesmiostation[J].Acta Geophysica Sinica,1994,37 (Supp.Ⅱ)：213-221)

23 Altiner Y.Analytical surface deformation theory for detection of the Earth’s crust movement[M].Berlin：Heidelberg,etc.Springer-Verlag,1999,1-70.

24 瓦尼切克主編,黃立人,孫鐵珊,張中伏譯,陳鑫連校.四維大地測(cè)量定位 [M].北京：地震出版社,1990.(Vanicek P.Four-dimensional geodetic positioning[M].I AG SSG 4.96,Springer International,1987)

25 吳云,等.用 GPS觀測(cè)結(jié)果對(duì)中國(guó)大陸及鄰區(qū)現(xiàn)今地殼運(yùn)動(dòng)和形變的初步探討[J].地震學(xué)報(bào),1999,21(5)：545 -553.(Wu Yun,et al.Primary research of crustal movement of China’s continent and it’s adjacent area by ussing GPS observation data[J].Acta Seismologica Sinice,1999, 21(5)：545-553)

26 劉序儼,黃聲明,林巖釗.地形變旋轉(zhuǎn)張量探討[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué),2010,(5)：57-63.(Liu Xuyan, Huang Shengming and Lin Yanzhao.Research on rotation tensor of crustal defor mation[J].Journal of Geodesy and Geodynamics,2010,(5)：57-63)

ANALYSIS OF INVARIANTS IN STRA IN TENSOR MATRIXES OF CRUSTAL DEFORMATI ON

Liu Xuyan1),Ji Yingfeng1,3),Huang Shengming1)and LiangQuanqiang2)

(1)Earthquake Adm inistration of Fujian Province,Fuzhou 350003 2)Xianm en Research Centre of Earthquake Surveying,X iam en 361021 3)Faculty of Science,Kobe University,Rokkotaim achi1-1,N ada,Kobe6578501,Japan)

On the basis of deducing the universal expressions in an orthogonal curvilinear coordinate system of the displacement gradientmatrix and the strain tensormatrix of displacement vectors,we further derive the universal expression of the conversional matrix between two partial coodinates in random different orthogonal curvilinear coordinate systems,meanwhile,indicats that this conversionalmatrix also belongs to the orthogonalmatrixes so that the strain tensormatrixes are similarmatrixes.W ith this understanding,the after deply analysisof the geometric and physical natures of the strain tensormatrixes,discovers the invariant code mystery of crustal deformation hidden in these matrixes,which is,whatever the orthogonal curvilinear coordinate system is,the strain tensormatrix has a unique and invariant principle strain characteristic polynomial and by its corresponding strain eigenvalue equation we can derive the principle strainswith their directions at any crustal particle,then the matrix can be turned into a diagonalmatrix by putting the principle strains values as its diagonal elements,and the matrix trace equals the body strain,the matrix determinant equals a product of the principe strains.All these geometric and physical quantities are the crustal deformation invariants at the spot.

displacement gradient matrix;strain and rotation tensor matrix;universial expression;geometric and physical invariant;opting for a coordinate system

(1)福建省地震局,福州 350003 2)廈門(mén)地震勘察研究中心,廈門(mén) 361000 3)日本神戸大學(xué)大學(xué)院理學(xué)研究科,神戸 6578501)

1671-5942(2011)04-0066-05

2011-01-26

中國(guó)地震局老專(zhuān)家科研基金

劉序儼,男,研究員,長(zhǎng)期從事固體潮與地殼形變研究.E-mail：xuyanliu@126.com

O347

A