資產(chǎn)或無(wú)值看漲期權(quán)的模糊定價(jià)

余 星，孫紅果 (湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系，湖南 婁底 417000)

資產(chǎn)或無(wú)值看漲期權(quán)的模糊定價(jià)

余 星，孫紅果 (湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系，湖南 婁底 417000)

資產(chǎn)或無(wú)值看漲期權(quán)(asset or nothing call，AONC)是歐式期權(quán)的一種推廣，由于股票價(jià)格隨著市場(chǎng)的波動(dòng)，很難得到精確的期權(quán)價(jià)格。首先推導(dǎo)出確定情形下AONC期權(quán)，并將股票價(jià)格和波動(dòng)率模糊化，得到AONC期權(quán)的模糊定價(jià)模型，最后結(jié)合算例得到在給定置信度下期權(quán)的價(jià)格區(qū)間和最大置信度下AONC期權(quán)價(jià)格。

AONC；模糊波動(dòng)率；模糊定價(jià)；置信度；期權(quán)定價(jià)

資產(chǎn)或無(wú)值看漲期權(quán)(asset-or nothing call，AONC)是歐式期權(quán)的一種推廣，指在到期日，若股票價(jià)格低于敲定價(jià)，則合約一文不值，若超過(guò)敲定價(jià)格，則按合約規(guī)定支付現(xiàn)金1元。它屬于奇異期權(quán)中的一種，相關(guān)的研究較少，文獻(xiàn)[1]在B-S模型的基礎(chǔ)上求出了有交易成本的兩值期權(quán)的定價(jià)模型；文獻(xiàn)[2]利用對(duì)沖的思想和偏微分方法，研究了有交易成本且支付紅利的兩值期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題；文獻(xiàn)[3]研究了標(biāo)的資產(chǎn)服從連續(xù)擴(kuò)散過(guò)程具有隨機(jī)壽命的兩值期權(quán)定價(jià)公式；文獻(xiàn)[4]利用擬鞅定價(jià)方法求解了分?jǐn)?shù)情形下雙標(biāo)的兩值期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。他們都是在確定情形下討論兩值期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題，而實(shí)際定價(jià)問(wèn)題還要考慮到市場(chǎng)中存在的不確定性和模糊因素，為了使期權(quán)的定價(jià)更加接近實(shí)際，許多研究者引入了模糊定價(jià)模型，其中日本學(xué)者Yuji Yoshida假設(shè)股票價(jià)格是模糊隨機(jī)的，為此構(gòu)造了對(duì)稱的三角模糊數(shù)形式[5-6]；Hsien-Chung Wu[7]運(yùn)用了模糊數(shù)學(xué)的理論對(duì)經(jīng)典的B-S公式進(jìn)行了修正，得到的定價(jià)公式不用假設(shè)股票價(jià)格的模糊形式是對(duì)稱的，而且模糊程度可以與股票價(jià)格無(wú)關(guān)。下面，筆者推導(dǎo)出確定情形下AONC期權(quán)，并將股票價(jià)格和波動(dòng)率模糊化，得到AONC期權(quán)的模糊定價(jià)模型?湖南人文科技學(xué)院青年課題資助項(xiàng)目(2008QN013)。。

1 三角模糊數(shù)和α-截集

定義3定義模糊數(shù)的4種運(yùn)算如下:

[a,b]+[d,e]=[a+d,b+e] [a,b]-[d,e]=[a-e,b-d]

當(dāng)0?[d,e]時(shí):

[a,b]·[d,e]=[min{ad,ae,bd,be}]max{ad,ae,bd,be}

當(dāng)a,b,d,egt;0，則:

[a,b]·[d,e]=[ad,be]

當(dāng)0?[d,e]時(shí):

另外，院區(qū)內(nèi)的各間病房均配備了獨(dú)立衛(wèi)生間和陽(yáng)臺(tái)。衛(wèi)生間靠外墻設(shè)計(jì)，并設(shè)有窗戶，這既能采集自然光線，又能通風(fēng)透氣，保持病房?jī)?nèi)空氣清新，有效防止異味滋生。病房里的陽(yáng)臺(tái)使用大落地玻璃門，自然光能直接透射進(jìn)病房里，患者可以按需要在陽(yáng)臺(tái)進(jìn)行舒展活動(dòng)，呼吸新鮮空氣，配合周邊的花槽，令患者充分享受大自然的陽(yáng)光與綠化，保持良好的心態(tài)，有助于患者病情的控制及治療。

它對(duì)應(yīng)的α-截集也可以用區(qū)間表示為:

2 確定情形下AONC的定價(jià)模型

資產(chǎn)或無(wú)值看漲期權(quán)滿足以下的價(jià)格過(guò)程[9]：

式中，H(x)是Heviside函數(shù)，當(dāng)xgt;0時(shí)，H(x)=1，當(dāng)xlt;0時(shí)，H(x)=0；V表示AONC期權(quán)的價(jià)格：

式中，S為標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格；σ為標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率；r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。

3 模糊情形下資產(chǎn)或無(wú)值看漲期權(quán)的定價(jià)模型

考慮一個(gè)歐式的看漲兩值期權(quán)AONC，3個(gè)月到期，敲定價(jià)格為30元，假設(shè)當(dāng)前標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在33元周圍波動(dòng)，波動(dòng)率在10%附近波動(dòng)，且無(wú)風(fēng)險(xiǎn)波動(dòng)率為5%。模糊利率、模糊波動(dòng)率、模糊標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格都被分別假定成三角模糊數(shù)：

由式(1)可得以上3個(gè)模糊數(shù)的α-截集分別為：

其中:

根據(jù)模糊數(shù)的四則運(yùn)算法則，可以得到AONC模糊價(jià)格的α-截集為：

3.1給定置信度下期權(quán)值的區(qū)間

根據(jù)以上定價(jià)公式,當(dāng)給定投資者預(yù)期的置信度時(shí), 借助Matlab軟件,可以得到對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)格的區(qū)間,比如給定置信度α=0.95,可以得到AONC期權(quán)價(jià)格區(qū)間為[32.4016, 32.6298];特別地,當(dāng)給定α=1,得到期權(quán)價(jià)格的左右區(qū)間端點(diǎn)值均為32.5187元,這正是確定情形下的期權(quán)價(jià)格。

3.2最大置信度下期權(quán)價(jià)格

建立如下優(yōu)化模型:

Maximumα

約束條件:

借助Matlab軟件可以得到給定預(yù)期的期權(quán)價(jià)值對(duì)應(yīng)的最大的置信度,比如當(dāng)c=31時(shí)解出α=0.4883，表示以0.4883的置信度得到期權(quán)的值為31;當(dāng)c=31.8時(shí)解出α=0.7267，表示以0.7267的置信度得到期權(quán)的值為31.8;當(dāng)c=32.5時(shí)解出α=0.9912，表示以0.9912的置信度得到期權(quán)的值為32.5。

[1]馬芙玲,梁滿發(fā).交易成本下的兩值期權(quán)的定價(jià)模型研究[J].上海師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009(6): 588-593.

[2]孫天宇，劉新平.有交易成本且支付紅利的兩值期權(quán)定價(jià)模型[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008(6): 19-22.

[3]梅雨,閔先雄.具有隨機(jī)壽命的兩值期權(quán)定價(jià)[J].周口師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2009(5): 35-37.

[4]趙巍.分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的雙標(biāo)的兩值期權(quán)定價(jià)模型[J].淮海工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008(4)：89-92.

[5] Yuji Yoshida.The valuation of European options in uncertain environment[J].European Journal of Operational Research，2003，145：221-229.

[6] Yuji Yoshida.A discrete-time model of American put option in an uncertain environment[J].European Journal of Operational Research，2003，151：153-166.

[7] Hsien-Chung Wu：Pricing European options based on the fuzzy pattern of Black-Scholes formula[J].Computersamp; Operations Research，2004，31：1069-1081.

[8] Klir G J, Yuan B. Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Applications[M]. New Jersey：Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1995.

[9]姜尚禮.期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法[M]. 北京:高等教育出版社，2008.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.07.005

O29;F830.9;F224

A

1673-1409(2011)07-0013-02

2011-05-27

余星,女,碩士,講師，現(xiàn)主要從事金融數(shù)學(xué)方面的教學(xué)與研究工作。