半群的模糊同余探討

郭曉永 (臨滄師范高等專(zhuān)科學(xué)校數(shù)理系, 云南 臨滄 677000)

黃衛(wèi)華 (文山學(xué)院數(shù)理系, 云南 文山 663000)

半群的模糊同余探討

郭曉永 (臨滄師范高等專(zhuān)科學(xué)校數(shù)理系, 云南 臨滄 677000)

黃衛(wèi)華 (文山學(xué)院數(shù)理系, 云南 文山 663000)

主要介紹了半群上模糊同余的概念，并討論了模糊同余的一些基本性質(zhì)。

模糊關(guān)系；模糊同余；模糊半群

自Murali[1]和Nemitz[2]提出集合上的模糊等價(jià)關(guān)系概念、Samhan[3]給出了半群的模糊同余的概念以來(lái)，不少學(xué)者將模糊數(shù)學(xué)理論與半群理論相結(jié)合，提出了一些有價(jià)值的概念，這些理論進(jìn)一步豐富了模糊數(shù)學(xué)的內(nèi)容。下面，筆者在模糊關(guān)系與模糊同余概念的基礎(chǔ)上研究半群上模糊同余的一些性質(zhì)。

1 基本概念

定義2[4]設(shè)S為半群，S上的模糊二元關(guān)系R稱(chēng)為模糊左(右)相容的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意x,y,t∈S有R(x,y)≤R(tx,ty)(R(x,y)≤R(xt,yt))。

定義3[4]半群S上的模糊二元關(guān)系R稱(chēng)為模糊相容的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意a,b,c,d∈S有min{R(a,b),R(c,d)}≤R(ac,bd)。

定義4[4]半群S上的模糊相容相似二元關(guān)系R稱(chēng)為模糊同余。

引理1[4]半群S上的模糊二元關(guān)系R是模糊同余的充要條件為既是模糊左相容相似關(guān)系又是模糊右相容相似關(guān)系。

由定義5，合成關(guān)系滿足結(jié)合律，即(P°Q)°R=P°(Q°R)，其中,P,Q,R均為模糊二元關(guān)系；X上的模糊二元關(guān)系R是傳遞的當(dāng)且僅當(dāng)R?R°R。

2 主要結(jié)論

定理1如果非空集合X上的模糊二元關(guān)系P,Q滿足P°Q=Q°P，則:

證明

=(P°Q)°(P°Q)(a,c)=(P°P)°(Q°Q)(a,c)

定理2如果半群S上的模糊同余P,Q滿足P°Q=Q°P，則P°Q也是S上的模糊同余。

證明先證P°Q為S的相似關(guān)系。顯然P°Q是自反的。對(duì)任意a,b∈S，有：

即P°Q是對(duì)稱(chēng)的。又由：

(P°Q)°(P°Q)=P°(Q°P)°Q=P°(P°Q)°Q?P°Q

則P°Q為相似關(guān)系。

下證相容性。設(shè)?x,y,t∈S，則：

同理可得(P°Q)(x,y)≤(P°Q)(tx,ty)，由引理1可知P°Q是相容的。因此，P°Q為模糊同余。

定理3設(shè)P,Q為半群S上的模糊同余，若P°Q為S上的模糊同余，則P°Q=P∨Q。

證明對(duì)?a,b∈S，因：

即P°Q≥P，同理可得P°Q≥Q。

設(shè)M為S上的模糊同余，且M≥P,M≥P，則對(duì)于?a,b∈S，有：

因而，P°Q為P與Q的最小上界。

群是特殊的半群，因此上述定理自然對(duì)于群也成立。正是由于群的特殊性，群上的模糊同余有下面特殊的性質(zhì)。

定理4若P與Q為群S上的模糊同余，則P°Q=Q°P。

證明對(duì)于?a,b∈S有：

即(P°Q)(a,b)≥(Q°P)(a,b)，同理可得(Q°P)(a,b)≥(P°Q)(a,b)。因此，P°Q=Q°P。

若S為一半群，S上的模糊同余按照包含關(guān)系構(gòu)成的模糊同余類(lèi)記為C(S)，由格的定義可以斷定C(S)必為格。證明在此省略。如果S為群，則C(S)有下面性質(zhì)：

定理5若C(S)為群S上的模糊同余類(lèi)，則(C(S),?,∩，°)是模格。

證明設(shè)P,Q,R∈C(S)，且P≤R。對(duì)于?a,b∈S，若：

則tlt;R(a,b)，且?x∈S，使得tlt;P(a,x),tlt;Q(x,b)，由P≤R可以得到tlt;P(a,x)≤R(x,a)，由R的傳遞性，則有：

因而有tlt;min{Q(x,b),R(x,b)}。于是：

因此，(P°(Q∩R))(a,b)gt;t，即有(P°Q)∩R≤P°(Q∩R)。故(C(S),?,∩, °)是模格。

3 結(jié) 語(yǔ)

結(jié)合模糊等價(jià)關(guān)系與半群的概念，研究了半群上模糊同余的一些性質(zhì)。這些性質(zhì)運(yùn)用到群中可得到更多的結(jié)果。而半群的模糊同余還有一些有用的性質(zhì)及應(yīng)用可以進(jìn)一步深入研究。

[1]Murali V.Fuzzy equivalent relations[J].Fuzzy Sets and Systems，1989，30：155-163.

[2] Nemitz W C.Fuzzy relations and fuzzy functions[J].Fuzzy Sets and Systems，1986，19：177-191.

[3] Samhan M.Fuzzy congruences on semigroups[J].Information.Science，1993，74：165-175.

[4]Ju Pil Kim, Deok Rak Bae.Fuzzy congruences in groups[J].Fuzzy Sets and Systems，1997，85：115-120.

[5] 劉文軍，谷云東，王加銀，等.半群中的粗模糊理想[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2004(3)：21-28.

[6] 張文修.模糊數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，1984.

[7] Klir G J， Folger T A.Fuzzy Sets, Uncertainties, and Information[M].N J：Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1988.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.07.004

O159

A

1673-1409(2011)07-0010-03

2011-05-30

郭曉永，男，碩士，講師，現(xiàn)主要從事半群理論和粗糙集理論方面的教學(xué)與研究工作。