Lorenz系統(tǒng)在內(nèi)分岔參數(shù)空間中的新現(xiàn)象探討

裴啟明，蔣 龍 (長江大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

Lorenz系統(tǒng)在內(nèi)分岔參數(shù)空間中的新現(xiàn)象探討

裴啟明，蔣 龍 (長江大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

通過對Lorenz系統(tǒng)的線性穩(wěn)定性分析，取不動點的2個分量和Lorenz系統(tǒng)的諾雷系數(shù)作為參數(shù)，構(gòu)建一個新的參數(shù)空間——內(nèi)分岔參數(shù)空間。在該空間下對Lorenz系統(tǒng)進行數(shù)值計算，發(fā)現(xiàn)了一些新現(xiàn)象，如不動點與周期軌道或混沌吸引子的共存；周期軌道與局部混沌或通向混沌的倍周期分岔序列的共存等。

Lorenz方程；分岔圖；共存

19世紀60年代，B.Saltzman和E.N.Lorenz最先在2個無限大平板的熱對流模型中導(dǎo)出了Lorenz方程[1]。作為動力學(xué)系統(tǒng)中第1個出現(xiàn)奇怪吸引子的例子，Lorenz方程得到廣泛而徹底的研究。在常微分方程系統(tǒng)中，不動點的性質(zhì)對系統(tǒng)的全局行為影響很大。為了找到新現(xiàn)象，把不動點的一些分量作為內(nèi)參量，并和原來的有關(guān)參數(shù)一起構(gòu)成相應(yīng)的參數(shù)空間。在該空間中，可以通過不動點的變化對龐加萊映象所表現(xiàn)的系統(tǒng)的動力學(xué)行為進行研究。根據(jù)這個思想，筆者構(gòu)建了一個新參數(shù)空間——內(nèi)分岔參數(shù)空間，并在該空間下對Lorenz系統(tǒng)進行數(shù)值計算。

1 不動點平面及線性穩(wěn)定性分析

Lorenz方程為：

(1)

式中，變量x、y、z構(gòu)成三維相空間；r、σ、b分別為諾雷系數(shù)、普朗克常量和幾何比率。

設(shè)系統(tǒng)(1)的不動點為(x*，y*，z*)，當z*≠0時，有x*=y*，z*=r-1，b=x*2/z*。選擇x*、z*充當內(nèi)分岔參數(shù)，保留原參數(shù)σ， 建立一個新的參數(shù)空間(x*，z*，σ)，稱為內(nèi)分岔參數(shù)空間。在該新空間中，Lorenz方程的新形式為：

(2)

將x*-z*平面稱為不動點平面。

方程(2)在不動點(x*，y*，z*)的Jacobi矩陣為：

它的3個不等本征值λ1、λ2、λ3是特征方程λ3+a1λ2+a2λ+a3=0的解，其中：

(3)

由Von-Neman理論[2]可知，若所有的特征值λ均滿足Re(λ)lt;0，則不動點(x*，y*，z*)是漸近穩(wěn)定的。又由Routh-Hurwitz判據(jù)[2]，通過計算可得a1gt;0，a1a2gt;a3,a3gt;0，即定義了軌道空間中穩(wěn)定區(qū)域的邊界線。若取σ=10，由式(3)可知，只要x*≠0均有a3gt;0。因此，只需討論不等式的前2種情形。

圖1 不動點(x*，y*，z*)的漸近穩(wěn)定區(qū)域邊界

在此情況下，相空間體積的變化率為：

可見，只要a1gt;0，Λlt;0恒成立，系統(tǒng)是耗散的，此時系統(tǒng)為一個奇怪吸引子。當參數(shù)(x*，z*)在該曲線以下時，Λgt;0，系統(tǒng)是發(fā)散的，不予以考慮。

此外，幾何因子b必須滿足b=x*2/z*gt;0，而且b(-x*,z*)=b(x*,z*)。所以，討論中只要取x*gt;0、z*gt;0。

在不動點平面上，曲線z*=g(σ,x*)位于橫軸的上方。在該曲線的下方，參數(shù)(x*，z*)滿足a1a2gt;a3，不動點是漸近穩(wěn)定的；反之，不動點是不穩(wěn)定的。只有當不動點不穩(wěn)定時，系統(tǒng)才可能出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。

綜上所述，僅需在不動點平面的第一象限內(nèi)，在曲線z*=g(σ，x*)及以上部分選取參數(shù)(x*,z*)來對系統(tǒng)(2)的動力學(xué)行為進行研究。

2龐加萊截面

通過龐加萊截面可以直接將微分方程定義的連續(xù)動力系統(tǒng)簡化為二維離散動力系統(tǒng)[5]。在對Lorenz系統(tǒng)的研究中，通常以z=r-1作為龐加萊截面。該截面包含系統(tǒng)的2個非平庸不動點：

而且所有有趣的軌道都與它相交[6]。類似地，在內(nèi)分岔參數(shù)空間中，也取z=r-1=z*為龐加萊截面。

3 分岔圖及現(xiàn)象

借助龐加萊截面上的分岔圖，可以對系統(tǒng)的動力學(xué)行為進行探討。圖2為x*=0.5n(n=1,2,…,6)時，z*-x坐標系下的分岔圖，其中離散點為分岔序列，2條實線段分別為穩(wěn)定不動點S+和S-。通過這些分岔圖，找到了以下新現(xiàn)象。

3.1幾種特殊的共存

1)不動點與周期軌道(用nP表示，n為自然數(shù))的共存 觀察圖2，當x*=0.5、1.0時不僅有不動點與1P的共存，也有不動點與2P的共存。尤其是x*=1.0時，出現(xiàn)不動點與2P共存的范圍更大。不動點與2P的共存在x*=1.5、2.0時也很明顯。x*=2.0、2.5時，出現(xiàn)不動點與4P的共存。x*=3.0時，還存在不動點與多種高周期軌道的共存。圖3是圖2(f)的局部放大圖。圖3(a)中，當13.8966≤z*≤13.9181時不動點與6P共存；14.0121≤z*≤14.0250時不動點與3P的共存。圖3(b)中，當14.4188≤z*≤14.4236時不動點與10P共存；14.4796≤z*≤14.4823時不動點與5P共存。

2)周期軌道與局部混沌的共存 當x*=2.0時，取不同的初值進行數(shù)值計算得到分岔圖4。其中，實線給出對稱的2P軌道中的1支；離散點給出由倍周期分岔而產(chǎn)生的局部混沌?？梢?，兩者在25.0≤z*≤25.4范圍內(nèi)共存。

圖2 z*-x坐標系下的分岔圖

圖3 圖2(f)的局部放大圖

圖4 x*=2.0時，對稱的2P軌道(實線)與局部混沌(離散點)共存

3)周期軌道與通向混沌的倍周期分岔序列的共存 當x*=0.5，20.84≤z*≤21.76時，取2個不同的初值，得到分岔圖5，其中實線給出對稱的2P軌道，離散點給出倍周期分岔序列。由虛線框部分的放大圖可知，此時的倍周期序列是由1P軌道經(jīng)歷數(shù)次分岔后得到的。對稱的2P軌道從z*=21.72開始與該序列中的2P共存，隨后與4P共存…，一直持續(xù)到z*=21.58時與混沌共存。這是2P軌道與1·2n(n=1,2,3,…)倍周期分岔序列的共存。另一種情形是當x*=3.0，z*值較大時，2P軌道與4·2n(n=0,1,2,…)倍周期序列的共存。圖6為x*=3.0,55.3≤z*≤57.0的周期窗口，該圖也是取2個不同初值得到的。其中，實線給出對稱的2P軌道；離散點給出倍周期分岔序列。若將圖中55.3≤z*≤56.3范圍的4部分(a)、(b)、(c)、(d)在X軸上放大,發(fā)現(xiàn)4部分的結(jié)構(gòu)非常相似，均由1P軌道經(jīng)倍周期分岔后導(dǎo)致了混沌。所以，對稱的2P軌道先與4P共存，之后與8P共存… ，最終與混沌共存。

圖5 x*=0.5時，對稱的2P軌道(實線)與1·2n(n=1,2,3,…)倍周期序列(離散點)共存 圖6 x*=3.0時，對稱的2P軌道(實線)與4·2n (n=0,1,2,…)倍周期序列(離散點)共存

3.2x*很小時，1P與2P頻繁地交替出現(xiàn)

圖2(a)中除了在局部極小范圍內(nèi)出現(xiàn)倍周期分岔序列外，在其他區(qū)域中1P與2P總是反復(fù)交替。圖2(b)中， 1P與2P交替得較慢，周期窗口持續(xù)得更長。當x*=1.5、2.0時現(xiàn)象更明顯。

3.3在z*-x平面存在大量1·2n(n=0,1,2,…)倍周期分岔序列

這些倍周期分岔序列總會導(dǎo)致相空間中較小區(qū)域中出現(xiàn)局部混沌吸引子。

4 結(jié) 語

在原參數(shù)空間中，文獻[2-3]認為Lorenz系統(tǒng)在rgt;rh=24.74，3個不動點都不穩(wěn)定時才出現(xiàn)混沌吸引子，而在內(nèi)分岔參數(shù)空間下，2個非平庸不動點穩(wěn)定時也能與混沌或各種周期軌道共存。這些特殊現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)補充并完善了前人對Lorenz系統(tǒng)的研究，為今后的工作開辟了一條新的研究思路。

[1]Saltzman B. Finite amplitude convection as an initial value problem[J]. J Atoms Sci, 1962，19：329-335.

[2]劉秉正，彭建華.非線性動力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2005.

[3]王光瑞，陳光旨.非線性常微分方程的混沌運動[M].廣西：廣西科學(xué)技術(shù)出版社，1996.

[4]Hao B L, Liu J X, Zheng W M.Symbolic Dynamics Analysis of the Lorenz Equations[J].Phys Rev E，1998，57：5378-5415.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.07.001

O414.2

A

1673-1409(2011)07-0001-04

2011-04-29

湖北省教育廳重點項目(D20101303)。

裴啟明，女，碩士，講師，現(xiàn)主要從事非線性科學(xué)方面的教學(xué)與研究工作。