在高等代數(shù)習(xí)題課教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生能力的探討

李珍珠

（湖南科技學(xué)院 人事處，湖南 永州 425100）

在高等代數(shù)習(xí)題課教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生能力的探討

李珍珠

（湖南科技學(xué)院 人事處，湖南 永州 425100）

本文就在高等代數(shù)習(xí)題課教學(xué)中如何提高學(xué)生整體認(rèn)識能力、分析問題和解決問題的能力、運用高等數(shù)學(xué)觀點解決初等數(shù)學(xué)問題的能力以及創(chuàng)新意識和科學(xué)研究能力等四個方面進行了探討，并提出了相應(yīng)的措施。

高等代數(shù)；習(xí)題課；數(shù)學(xué)實驗；能力

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計算科學(xué)專業(yè)的一門非常重要的專業(yè)基礎(chǔ)課,它不僅是許多后繼課程的基礎(chǔ),而且它具有高度的抽象性、整體性和計算的復(fù)雜性。正是由于它具有上述特點, 導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感覺困難, 覺得概念抽象、證明枯燥難懂，并且習(xí)題不會做，這就需要老師幫助學(xué)生掌握教學(xué)內(nèi)容中的基本概念、結(jié)論、方法和技巧,上習(xí)題課就是一種比較好的方法。筆者認(rèn)為通過習(xí)題課教學(xué)，可以在以下四個方面提高學(xué)生能力。

1適時系統(tǒng)整理知識體系，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的整體性認(rèn)識能力

高等代數(shù)是由概念及定理的互相聯(lián)系而構(gòu)成的知識體系，在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生覺得很多概念、定理似曾相識又似是而非，為此，習(xí)題課教學(xué)時，應(yīng)對前面出現(xiàn)過的概念與后面類似的概念進行比較，學(xué)生對概念的理解只有通過對知識的系統(tǒng)整理過程才能深化。比如學(xué)完歐氏空間概念后，就要及時把它與線性空間的概念進行比較，歐氏空間是實數(shù)域上的線性空間，并且歐氏空間比線性空間多規(guī)定了一種代數(shù)運算：內(nèi)積運算.弄清楚歐氏空間和線性空間的異同后，還有助于幫助學(xué)生理解線性空間的同構(gòu)和歐氏空間的同構(gòu)這兩個概念.只要將二者進行比較，學(xué)生就不難明白教材在定義歐氏空間的同構(gòu)映射時，映射除了要象線性空間的同構(gòu)映射一樣保持向量的加法與數(shù)量乘法運算以外，還必須保持內(nèi)積運算，從而對于兩個同構(gòu)的歐氏空間來說，作為線性空間它們一定同構(gòu).又如矩陣的關(guān)系有三種：等價、相似和合同，這三種關(guān)系分別涉及矩陣、二次型、線性變換、歐氏空間四章。在講線性變換這一節(jié)習(xí)題時，就可以把矩陣的等價、相似和合同關(guān)系聯(lián)系起來，通過分析讓學(xué)生明白相似或合同的兩個矩陣一定等價，但等價不一定相似或合同，而相似與合同沒有必然聯(lián)系；接著在講實對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形這一節(jié)習(xí)題時，抓住矩陣的對角化問題這一主線，就可以將矩陣的相似和合同關(guān)系完美地統(tǒng)一起來，從而使這幾章的內(nèi)容形成一個有機的整體，使學(xué)生加深了對概念的理解，還對已學(xué)過的概念有了一個更深層次的認(rèn)識，可以使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識形成一個整體性認(rèn)識。

2適當(dāng)引入數(shù)學(xué)實驗思想，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力

數(shù)學(xué)教育家波利亞指出：數(shù)學(xué)教師的首要責(zé)任是盡其一切可能來發(fā)展他的學(xué)生們的解決問題的能力.因此，在習(xí)題課教學(xué)中，教師應(yīng)對主要內(nèi)容進行凝結(jié)、提煉，突出高等代數(shù)的理論應(yīng)用特色，將抽象的理論與生產(chǎn)、生活中的實際問題結(jié)合起來，又通過對實際問題的處理和相關(guān)理論的尋求處理的方法，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用理論分析、解決具體問題的能力.因此，在習(xí)題課教學(xué)中，適當(dāng)引入數(shù)學(xué)實驗思想，可以提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力?！坝捎跀?shù)學(xué)與其它學(xué)科之間相互交叉，相互滲透，大量新興的數(shù)學(xué)方法在科學(xué)研究和生產(chǎn)管理各領(lǐng)域中被成功應(yīng)用，而傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，重視數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)和數(shù)學(xué)理論的證明，但是卻嚴(yán)重地和數(shù)學(xué)應(yīng)用的實際脫離”。[2]因此，在習(xí)題課教學(xué)中，適當(dāng)?shù)匾霐?shù)學(xué)實驗的思想，引導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后利用計算機和數(shù)學(xué)軟件等工具來進行數(shù)學(xué)推導(dǎo)、演示和數(shù)值計算，通過具體的演算和直觀的圖形變化演示，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的興趣。

例如，在歐氏空間中，用施密特正交化方法把一組基化為標(biāo)準(zhǔn)正交基時，這個方法學(xué)生往往不能很好地接受和理解，只能死記公式，如果教學(xué)中引入數(shù)學(xué)實驗的思想，讓同學(xué)們熟悉數(shù)學(xué)軟件Matlab，并編寫解決上面這個問題的相應(yīng)Matlab 程序，利用程序來實驗將歐氏空間中一般基變成標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法，再把這個過程放到幾何歐氏空間 R3中去演示，這樣讓學(xué)生融入一個有數(shù)又有形、有領(lǐng)悟又有創(chuàng)造的學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣自然提高了。

3注重高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，提高學(xué)生運用高等數(shù)學(xué)觀點解決初等數(shù)學(xué)問題的能力

《高等代數(shù)》課程在學(xué)生進入大學(xué)的第一個學(xué)期開課，學(xué)生剛進入大學(xué)，正處于由中學(xué)到大學(xué)的心里和學(xué)習(xí)上的適應(yīng)期。學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)時，習(xí)慣于形象思維，而大學(xué)代數(shù)是很注重討論基礎(chǔ)理論的, 這就要求學(xué)生盡快從中學(xué)數(shù)學(xué)的形象思維轉(zhuǎn)向大學(xué)數(shù)學(xué)的抽象思維。因此在習(xí)題課教學(xué)時, 教師應(yīng)緊密地引導(dǎo)學(xué)生把大學(xué)代數(shù)與中學(xué)代數(shù)知識聯(lián)系起來, 從而使學(xué)生對中學(xué)代數(shù)學(xué)的有關(guān)內(nèi)容有更加深刻的了解，幫助學(xué)生樹立學(xué)好《高等代數(shù)》這門基礎(chǔ)課的信心。因此在習(xí)題課教學(xué)中就有必要引導(dǎo)學(xué)生用大學(xué)代數(shù)理論居高臨下處理中學(xué)數(shù)學(xué)教材, 發(fā)揮高等代數(shù)對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)作用。

首先，要用初等數(shù)學(xué)的知識作基礎(chǔ)，加強對高等代數(shù)的理解。例如，用消元法解線性方程組時，首先將中學(xué)學(xué)過的線性方程組的同解變換轉(zhuǎn)換成矩陣的初等變換，由此得到一種用途廣泛的解題方法——矩陣的初等變換法．接著可以引導(dǎo)學(xué)生歸納矩陣初等變換的多種用途——利用矩陣的初等變換法可以求解線性方程組，可以求矩陣的秩，可以求矩陣在等價關(guān)系和合同關(guān)系下的標(biāo)準(zhǔn)形，可以求逆矩陣，可以直接求解部分矩陣方程等．

其次，借助高等代數(shù)觀點，深化對中學(xué)數(shù)學(xué)教材的認(rèn)識。初等數(shù)學(xué)的習(xí)題多如汪洋大海，用高等數(shù)學(xué)的方法可以使我們居高臨下地去觀察初等問題，用高觀點指導(dǎo)初等數(shù)學(xué)解題。比如初等數(shù)學(xué)中有這樣一類不等式的證明：（1）設(shè)有兩

表面上看來，這是一系列毫不相關(guān)的不等式，但從歐式空間的柯西—布涅柯夫斯基不等式這個觀點去分析，其本質(zhì)上都是柯西—布涅柯夫斯基不等式的特例。我們就可以從這一高度去統(tǒng)一它們的證明，思路將更為開闊，并能推廣這些不等式以及找到更加廣泛的應(yīng)用。

4注意挖掘和引入問題，提高學(xué)生創(chuàng)新意識和科學(xué)研究能力

高等代數(shù)不僅是中學(xué)代數(shù)的繼續(xù)和提高,也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ), 是研究數(shù)學(xué)其他分支和自然科學(xué)的基本工具. 在大學(xué)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育中，高等代數(shù)的理論和方法對培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)計算能力、抽象思維能力、邏輯推理能力等都有十分重要的作用，同時對培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和科學(xué)研究能力有著得天獨厚和不可估量的作用. 為此，習(xí)題課教學(xué)，應(yīng)該帶有強烈的研究意識。

數(shù)學(xué)大師陳省身先生說過：“數(shù)學(xué)系的學(xué)生，應(yīng)在習(xí)題課上一起討論一些有意思，又有一定難度的問題 ?！币虼耍陡叩却鷶?shù)》習(xí)題課，除了講解一些普遍性的問題，更應(yīng)通過挖掘、歸納、理解提出一些有較好學(xué)術(shù)價值的問題供學(xué)生討論。

其次，還可以把一些討論的數(shù)學(xué)熱點問題引入課堂。例如，在“Eisenstein判別法的推廣與應(yīng)用”、“多項式的最大公因式的矩陣求法”和“正定矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用”等問題上還可以再推廣、再引申，還有許多問題值得進一步探究。再比如，屠伯塤1999年在《數(shù)學(xué)學(xué)報》發(fā)表“亞正定陣?yán)碚摗币詠?，引起了?shù)學(xué)界的廣泛關(guān)注，后來許多學(xué)者發(fā)表了一系列有趣的推廣文章。以這些為事例，可以在習(xí)題課上引導(dǎo)學(xué)生，根據(jù)所學(xué)的有關(guān)知識，讓學(xué)生明白如何查找文獻，如何找研究課題，如何開展研究，有利于培養(yǎng)學(xué)生的研究意識，激發(fā)學(xué)生的研究興趣，提高學(xué)生的科學(xué)研究能力。

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社，2003.

[2]張波,周山,鄧志云.數(shù)學(xué)實驗課的研究與認(rèn)識[J].井岡山學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2006,27(8):13-15.

[3]劉雪梅.淺談“高等代數(shù)”習(xí)題課教學(xué)[J].高等數(shù)學(xué)研究，2008,11(4):99-100.

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A

1673-2219（2011）12-0001-02

2011－10－20

湖南省普通高校精品課程建設(shè)項目；湖南科技學(xué)院優(yōu)秀教學(xué)團隊建設(shè)項目。

李珍珠（1966－），女，湖南祁陽人，研究方向為數(shù)值代數(shù)。

（責(zé)任編校：何俊華）