一類三次系統(tǒng)的正規(guī)形和無環(huán)性

梁海華,吳奎霖

(1.廣東技術(shù)師范學(xué)院計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510665; 2.中山大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510275)

一類三次系統(tǒng)的正規(guī)形和無環(huán)性

梁海華1*,吳奎霖2

(1.廣東技術(shù)師范學(xué)院計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510665; 2.中山大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510275)

研究了具有次數(shù)不超過3的多項式倒積分因子的三次平面微分系統(tǒng)，給出了這類系統(tǒng)的正規(guī)形并證明了這類系統(tǒng)不存在極限環(huán).

倒積分因子; 三次系統(tǒng); 正規(guī)形; 極限環(huán)

近年來,很多文獻(xiàn)研究了具有不變代數(shù)曲線或具有Darboux型首次積分的二次系統(tǒng)的拓?fù)湫詰B(tài),見文獻(xiàn)[1]、[2]及其參考文獻(xiàn).研究相應(yīng)的三次系統(tǒng)的文獻(xiàn)則很少.本文研究一類三次平面多項式微分系統(tǒng)

(E3)

的正規(guī)形并討論它是否存在極限環(huán).為此,首先闡述一些基本概念和本領(lǐng)域的一些基本成果.

(1)

如果存在上述開集U及定義在其上的不恒為常數(shù)的連續(xù)可微函數(shù)R使得X(R)=-divX·R,則稱R是系統(tǒng)(1)的一個積分因子.利用積分因子往往能夠構(gòu)造出首次積分.如果1/V是系統(tǒng)(1)的一個積分因子,則稱V是系統(tǒng)(1)的一個倒積分因子.簡單計算可以看出,V是系統(tǒng)(1)的倒積分因子當(dāng)且僅當(dāng)X(V)=divX·V在U上恒成立.

對于一個多項式系統(tǒng)而言,代數(shù)曲線的存在性是十分重要的.例如,任一m次多項式系統(tǒng)(1),如果存在m(m+1)/2條線性無關(guān)的不可約的不變代數(shù)曲線,則該系統(tǒng)一定是Darboux可積的.詳細(xì)情形見文獻(xiàn)[3](最近文獻(xiàn)[4]把文獻(xiàn)[3]的結(jié)論推廣到n維仿射空間).另一個重要的結(jié)論是,利用一個已知的不變代數(shù)曲線,可以得到系統(tǒng)的正規(guī)形,見下面的命題.

命題1[5]假定C=0是m次多項式系統(tǒng)(1)的不可約的不變代數(shù)曲線,c=degC,且C的c次齊次項沒有重因子,則系統(tǒng)(1)具有如下正規(guī)形:

其中A、B和D是適當(dāng)?shù)亩囗検?滿足degA,degB≤m-c,degD≤m-c+1.

有趣的是系統(tǒng)(1)的倒積分因子也是該系統(tǒng)的不變代數(shù)曲線并以Px+Qy作為其余因子.這種具有特殊的代數(shù)曲線的多項式系統(tǒng)引起了人們極大的興趣[6].文獻(xiàn)[7]證明了：

命題2 令V是系統(tǒng)(1)的倒積分因子,則系統(tǒng)(1)的極限環(huán)(如果存在的話)必含于代數(shù)曲線∑={(x,y):V(x,y)=0}中.

利用這個命題來判斷具有倒積分因子的多項式系統(tǒng)是否存在極限環(huán)(若存在,是否唯一)顯然是十分方便的.我們給出一個簡單的例子.

例1 系統(tǒng)

具有倒積分因子V=(x2+y2)(x2+y2-1).不難看出x2+y2=1是該系統(tǒng)的極限環(huán).因此該系統(tǒng)具有唯一的一個極限環(huán)x2+y2=1.

本文將討論具有次數(shù)不超過3的不可約多項式倒積分因子的三次系統(tǒng)(E3),確定這類系統(tǒng)的正規(guī)形并證明這類系統(tǒng)不存在極限環(huán).這里所說的正規(guī)形是指在仿射變換下,必要時可以改變時間的尺度,使得系統(tǒng)可以化為該(正規(guī))形式.順便指出,文獻(xiàn)[8]探討了二次多項式系統(tǒng)的正規(guī)形,而文獻(xiàn)[9]證明了一類具有特殊結(jié)構(gòu)的二次多項式系統(tǒng)不具有極限環(huán),因此本文的結(jié)果是對這方面的一個拓展.

1 系統(tǒng)(E3)的正規(guī)形

假定V(x,y)是系統(tǒng)(E3)的一個不可約的倒積分因子,且degV≤3.我們將根據(jù)V(x,y)的次數(shù)來確定系統(tǒng)(E3)的正規(guī)形,使得系統(tǒng)(E3)仿射等價于該正規(guī)形.根據(jù)文獻(xiàn)[10]、[11],任一不可約的三次平面多項式經(jīng)過仿射變換后,可以化為如下4種形式:

(A3)ax3+xy2+bx2+cx+dy+e;

(B3)ax3+bx2+y2+cx+d(a≠0);

(C3)ax3+xy+bx2+cx+d(a≠0);

(D3)ax3+bx2+cx+y+d(a≠0).

任一不可約的二次多項式經(jīng)過仿射變換后總能化為如下4種形式:(A2)x2+y2+1(復(fù)單位圓);(B2)x2+y2-1(實(shí)單位圓);(C2)xy-1(雙曲拋物線);(D2)y-x2(拋物線).而任一一次多項式經(jīng)過仿射變換后總能化為x+c.

本節(jié)的主要結(jié)論是如下定理:

定理1 設(shè)系統(tǒng)(E3)具有一個不可約的多項式倒積分因子,則

(a)如果該倒積分因子是三次多項式,則系統(tǒng)(E3)具有如下正規(guī)形

(2)

其中V是(A3)～(D3)中的一個,而r,s和m是常數(shù)且r2+s2≠0;

(b)如果該倒積分因子是二次多項式,則系統(tǒng)(E3)具有如下正規(guī)形

(3)

其中V是(A2)～(D2)中的一個,而r,m,n,k,l,a是常數(shù)且a2+n2+m2≠0;

(c)如果該倒積分因子是一次多項式,則系統(tǒng)(E3)具有如下正規(guī)形

(4)

其中A,B是關(guān)于x,y的二次多項式,C是關(guān)于x的三次多項式.

證明作為系統(tǒng)(E3)的倒積分因子,V滿足X(V)=divX·V,即

P(x,y)Vx(x,y)+Q(x,y)Vy(x,y)=

(Px(x,y)+Qy(x,y))V(x,y).

根據(jù)地理學(xué)內(nèi)容，可將地理國情監(jiān)測劃分為2個方面，基礎(chǔ)性地理國情監(jiān)測和專題性地理國情監(jiān)測，以便最真實(shí)客觀地反映自然地表及人文地理的現(xiàn)狀。地理國情監(jiān)測具體內(nèi)容延續(xù)普查時期的內(nèi)容體系，利用符合監(jiān)測時點(diǎn)和分辨率的衛(wèi)星影像，收集民政、國土、環(huán)保、建設(shè)、交通、水利、農(nóng)業(yè)、統(tǒng)計、林業(yè)等最新版專題資料，采集變化信息，同時結(jié)合外業(yè)核查結(jié)果，補(bǔ)充新增和變化內(nèi)容，使各類要素的現(xiàn)勢性符合當(dāng)年的真實(shí)狀態(tài)，形成覆蓋全國的時間序列數(shù)據(jù)成果。

(5)

首先證明(a).不失一般性,我們設(shè)系統(tǒng)(E3)的不可約的三次多項式倒積分因子V已經(jīng)是(A3)～(D3)中的一個,并依照這4種形式來證明.

(1)V=ax3+xy2+bx2+cx+dy+e.

如果a≠0,則V的最高次齊次項ax3+xy2沒有重因子.根據(jù)命題1,系統(tǒng)(E3)經(jīng)過仿射變換后可以化為

這里L(fēng)=mx+ny+k,r,s,m,n,k是實(shí)數(shù).

把P=rV-LVy,Q=sV+LVx代入式(5)得到

(rV-LVy)Vx+(sV+LVx)Vy=[(r+n)Vx+(s-m)Vy]V,

從而nVx=mVy.由于V的最高次齊次項ax3+xy2沒有重因子,所以(Vx,Vy)=1(見文獻(xiàn)[5]的引理5).故m=n=0.于是系統(tǒng)(E3)具有正規(guī)形(2).

如果a=0,即V=xy2+bx2+cx+dy+e,則分為b=0及b≠0這2種情況來討論.

a03=a02=a21=a30=b30=b11=b03=b21=0,

a00=-b02d+a20e,a01=a20d,a12=a20,

a11=-2b02,a10=a20c,

b20=b12,b01=b12d,b10=2b02+b12c,b00=b02c+b12e.

由此,系統(tǒng)(E3)可以寫為

這就是正規(guī)形(2).對于b<0的討論完全類似,此處從略.

(ii)b=0.此時V=xy2+cx+dy+e.如果d≠0,則把V=xy2+cx+dy+e代入式(5)，得

a02=a03=a30=a20=a21=b20=b11=b30=b21=b03=0,

a12=a01/d,a10=a01c/d,a00=-b02d+a01e/d,

a11=-2b02,b00=b02c+b12e,b10=b12c,b01=b12d.

故系統(tǒng)(E3)可以寫為正規(guī)形(2):

如果d=0,即V=xy2+cx+e,則e≠0,否則V是可約多項式.類似前面的分析可得

b00=b02c+b12e,b10=b12c,a10=a00c/e,

a11=-2b02,a12=a00/e,

且系統(tǒng)(E3)的其他系數(shù)全部等于零.這時系統(tǒng)(E3)可以化為正規(guī)形(2):

證畢.

(2)V=ax3+bx2+y2+cx+d.

b00=-a01c/2c+b02d，b10=b02c,

b20=-3a01/2,a00=a30d,a02=a30,

而系統(tǒng)(E3)的其他系數(shù)為零.這樣,系統(tǒng)(E3)變?yōu)?/p>

這就是正規(guī)形(2).

(3)V=ax3+xy+bx2+cx+d.

b00=b01c+b11d,b10=2bb01+b11c,b20=3b01+bb11,

b30=b11,a10=-b01+a30c,a11=a30,a20=a30b,a00=a30d,

而系統(tǒng)(E3)的其他系數(shù)為零.這樣,系統(tǒng)(E3)化為正規(guī)形(2):

(4)V=ax3+bx2+cx+y+d.

b30=b01,b00=b20c/3,b10=b01c,

a01=a30,a00=-b30/3,a10=a30c.

故系統(tǒng)(E3)變?yōu)檎?guī)形(2):

(6)

最后,注意到系統(tǒng)(E3)是三次系統(tǒng),所以在正規(guī)形(2)中必有r2+s2≠0.這就完成了(a)的證明.

其次證明(b).不失一般性,設(shè)系統(tǒng)(E3)的不可約的二次多項式倒積分因子V已經(jīng)是(A2)～(D2)中的一個,并依照這4種形式來進(jìn)行證明.

(1)V=x2+y2+1.

-a10-b01=0,-a11+2b00-2b02=0,

-a10-a12+b01-3b03=0,

-a11=0,-a12-b03=0,2a00-2a20-b11=0,

a01-a21+b10-b12=0,

2a02-2a20+b11=0,a03-a21=0,

a10-3a30-b01-b21=0,-a30-b21=0,

a11-2b02+2b20=0,a12-3a30-3b03+b21=0,

-b11=0,b12-b30=0.

化簡得

a00=a20,a01=a21-b10+b30,a02=a20,

a03=a21,a10=-b21,a11=0,a12=-b21,a30=-b21,

b00=b20,b01=b21,b02=b20,b03=b21,b11=0,b12=b30.

代回系統(tǒng)(E3)就可以得到

這就是正規(guī)形(3).其他情形(B2)～(D2)的討論完全類似,此處從略.

a00=c(a10+b11c-b21c2),a01=c(a11+2b12)c,

代回系統(tǒng)(E3),得

2b21cx+b21x2-2a11y-4b12cy+4b12xy-2a12y2),

這就是正規(guī)形(4).證畢.

2 系統(tǒng)(E3)的無環(huán)性

這一節(jié)將證明,當(dāng)三次系統(tǒng)(E3)具有次數(shù)不超過3的不可約多項式倒積分因子V時,它一定不存在極限環(huán).已有文獻(xiàn)在討論類似的問題時往往是以命題2作為主要工具,即假定所考慮的系統(tǒng)存在極限環(huán),則該環(huán)必含于V=0中.因此V=0必須含有閉曲線.應(yīng)用到我們所討論的問題,對于degV=2,不失一般性可設(shè)V=x2+y2-1.對于degV=3,根據(jù)文獻(xiàn)[12],任一含有閉曲線的三次代數(shù)曲線可以化為(經(jīng)過仿射變換)

(7)

故不失一般性可設(shè)V具有式(7)左端的形式.然后分別證明degV=2及degV=3時V=0不是該系統(tǒng)的閉軌線,從而系統(tǒng)(E3)不存在極限環(huán).然而這種方法在討論過程中比較繁瑣,故我們不打算采用之.另一方面,對于任一平面微分系統(tǒng),只要其存在不恒為常數(shù)的解析的首次積分,則該系統(tǒng)不存在極限環(huán).事實(shí)上,假設(shè)該系統(tǒng)存在極限環(huán)γ,則可在γ附近找到一條軌線γ1,使得γ1無限纏繞而趨于γ.設(shè)系統(tǒng)的首次積分是H.由于H解析,所以H(γ1)可以無限地接近H(γ).這矛盾于H(γ)和H(γ1)是2個不同的常數(shù).在下面的討論中,我們將使用這一原理以及定理1來證明系統(tǒng)不存在極限環(huán).為此首先證明下面的引理.

引理1 假設(shè)系統(tǒng)(1)存在一個解析的倒積分因子V.此外,存在實(shí)數(shù)r以及定義在2上、不恒為常數(shù)的實(shí)值解析函數(shù)B(x,y),使得X(B)=r·divX,即

P(x,y)Bx(x,y)+Q(x,y)By(x,y)=

r(Px(x,y)+Qy(x,y))，

(8)

則系統(tǒng)(1)不存在極限環(huán).

證明如果r=0,則

X(B)=P(x,y)Bx(x,y)+Q(x,y)By(x,y)≡0.

如果r≠0,令

則H在2上解析.根據(jù)式(8)得

下面證明本節(jié)的主要定理：

定理2 假設(shè)系統(tǒng)(E3)有一個次數(shù)不超過3的不可約的多項式倒積分因子V,則系統(tǒng)(E3)不存在極限環(huán).

證明當(dāng)degV=1時,根據(jù)命題2以及V(x,y)=0不可能包含閉曲線可看出定理的結(jié)論是成立的.

當(dāng)degV=2時,根據(jù)定理1,系統(tǒng)(E3)具有正規(guī)形(3).

令B(x,y)=ny2-mx2+2axy-2lx+2ky.直接計算得

X(B)=P(x,y)Bx(x,y)+Q(x,y)By(x,y)=

r(Px(x,y)+Qy(x,y)),

其中P(x,y)=(ax+ny+k)V-rVy,Q(x,y)=(mx-ay+l)V+rVx.由引理1,系統(tǒng)(E3)不存在極限環(huán).

當(dāng)degV=3時,系統(tǒng)(E3)具有正規(guī)形(2).

令B(x,y)=2ry-2sx,則

X(B)=P(x,y)Bx(x,y)+Q(x,y)By(x,y)=

m(Px(x,y)+Qy(x,y)),

其中P(x,y)=rV-mVy,Q(x,y)=sV+mVx.由引理1,系統(tǒng)(E3)不存在極限環(huán).證畢.

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Keywords： inverse integrating factor; cubic system; normal form; limit cycle

【責(zé)任編輯 莊曉瓊】

NORMALFORMANDNONEXISTENCEOFLIMITCYCLEOFACLASSOFCUBICSYSTEM

LIANG Haihua1*,WU Kuilin2

(1.Department of Computer Science,Guangdong Polytechnic Normal University,Guangzhou 510665,China;2.Department of Mathematics,Sun Yat-Sen University,Guangzhou 510275,China)

A planar cubic differential system with an inverse integrating factor,whose degree is no larger than 3,is investigated.The normal form of this system is given and it is proved that this system has no limit cycles.

2010-09-01

國家自然科學(xué)基金項目(10871214);廣東省自然科學(xué)基金項目(9151008002000012)

*通訊作者,haiihuaa@tom.com

1000-5463(2011)02-0028-05

O175.12

A