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    一類獨(dú)立數(shù)為4圖的結(jié)構(gòu)研究

    2011-11-18 03:17:04周秀君
    關(guān)鍵詞:連通分支哈密頓結(jié)構(gòu)特征

    周秀君

    (廣東紡織職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,廣東 佛山 528041)

    一類獨(dú)立數(shù)為4圖的結(jié)構(gòu)研究

    周秀君

    (廣東紡織職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,廣東 佛山 528041)

    圖論研究中一個(gè)很重要的方面是利用圖的各種參數(shù)來(lái)刻畫圖的結(jié)構(gòu)。通過(guò)對(duì)圖的2個(gè)重要參數(shù)-獨(dú)立數(shù)和連通度的研究,給出獨(dú)立數(shù)4,而連通度不超過(guò)1圖的結(jié)構(gòu)特征。

    獨(dú)立數(shù);連通度;完全圖;哈密頓圖

    1 基本概念

    僅考慮簡(jiǎn)單圖,下面出現(xiàn)但未介紹的定義和圖論術(shù)語(yǔ)參看文獻(xiàn)[1,2],G=(V(G),E(G)),V(G)表示G的頂點(diǎn)集,E(G)表示G的邊集。對(duì)?u∈V(G),NG(u)={v|uv∈E(G),v∈V(G)}。若H?G,則NH(u)={v|uv∈E(H),v∈V(H)}。α(G)和κ(G)分別表示G的獨(dú)立數(shù)和連通度。用A=B定義A就是B。如果圖G含一個(gè)生成圈,則稱G是哈密頓的。哈密頓路是圖生成圖,簡(jiǎn)稱為哈路。(x,y)-哈路是圖中以x和y為2端點(diǎn)的生成路。若G=(V(G),E(G)),對(duì)?u,v∈V(G),都有uv∈E(G),則稱G是完全圖。若H1和H2是圖G的2個(gè)導(dǎo)出子圖,則H1-H2和H1∪H2分別表示G中由V(H1)-V(H2)和V(H1)∪V(H2)的導(dǎo)出子圖。H1?H2定義為H1∪H2且V(H1)∩V(H2)=Φ。文獻(xiàn)[2-4]給出了圖的獨(dú)立數(shù)為1,2或3,而連通度任意取值時(shí)圖的結(jié)構(gòu)特征。下面,筆者研究獨(dú)立數(shù)為4,而連通度不超過(guò)1圖的結(jié)構(gòu)特征。

    首先定義10類圖:

    K={G:G是完全的}HH={G:G是哈密爾頓的}

    G0={G=H1?H2,Hi∈K,i=1,2,α(G)=2}

    G1={G=H1?H2?H3,Hi∈K,i=1,2,3,α(G)=3}

    G2={G=H1?H2,H1∈K,H2∈HH,α(G)=3}

    G4={G=H1?H2,H1∈K,H2∈G2,α(G)=4}

    G5={G=H1?{x}?H2,H1∈K,H2∈HH,α(G)=4}

    G6={G=H1?H2,α(H1)=α(H2)=2,α(G)=4}

    G7={G=H1?H2,H1∈K,H2∈HH,α(G)=4}

    2 相關(guān)引理

    引理1[3]令G是一個(gè)階為n(n≥3)的圖,如果α(G)≤κ(G),那么G是哈密頓的。

    引理2{x1,x2}是G的一最小割點(diǎn)集,H是G-(x1,x2}一個(gè)連通分支,其中α(H)=κ(H)=2。令H′=G[V(H)∪{x1,x2}],則下列結(jié)論至少有一個(gè)成立:

    (1)H′中有(x1,x2)-哈路;

    證明令{y1,y2}是H的一割點(diǎn)集,H-{y1,y2}有2個(gè)連通分支Hi,Hi∈K,i=1,2。不妨設(shè)min{|H1|,|H2|}≥2。由于α(H)=2,因此(N(y1)∪N(y2))∩V(Hj)?V(Hj),j=1,2。于是,G[V(Hi)∪{y1,y2}]有(y1,y2)哈路Pi,i=1,2。

    先設(shè)G[V(Hi)∪{x1,x2}]有(x1,x2)-哈路,i∈{i,2}。易知H′中有(x1,x2)哈路,即(1)成立。

    下考慮G[V(Hi)∪{x1,x2}]沒(méi)有(x1,x2)-哈路的情形,i=1,2。

    引理3{x1,x2}是G的一最小割點(diǎn)集,H是G-{x1,x}一個(gè)連通分支,其中H∈G0,設(shè)H=H1?H2,H1含H的一割點(diǎn)x。則下面2個(gè)結(jié)論至少一個(gè)成立:

    (1)G[V(H)∪{x1,x2}]有(x1,x2)-哈路;

    (2)α(G[V(H)∪{xi}])=3,i∈{1,2},且G[V(H2)∪{x1,x2,x}]或G[V(H2)∪{x1,x2}]有(x1,x2)-哈路。

    證明不妨設(shè)G[V(H2)∪{x,x2}]有(x,x2)-哈路P。若N(x1)∩V(H1)/{x}=,則G[V(H1)∪{x1}]有(x1,x)-哈路。它和P形成G[V(H)∪{x1,x2}]中(x1,x2)-哈路,此時(shí)(1)成立。

    下設(shè)N(x1)∩V(H1)/{x}=Φ,則N(x2)∩V(H1)/{x}=Φ。于是,G[V(H1)∪{x2}]有(x,x2)-哈路Q。如果G[V(H2)∪{x,x1}]有(x,x1)-哈路,則它和Q形成G[V(H)∪{x1,x2}]中(x1,x2)-哈路,此時(shí)(1)成立。否則,N(x1)∩V(H2)=Φ或|(N(x1)∪N(x))∩V(G2)|=1。若N(x1)∩V(H2)=Φ,則N(x1)∩V(H1)={x},故x1x和P形成G[V(H2)∪{x1,x2,x}]中(x1,x2)-哈路。若|(N(x1)∪N(x))∩V(H2)|=1,則G[V(H2)∪{x1,x2}]有(x1,x2)-哈路。選取u1∈V(H1)/{x},u2∈V(H2)/N(x1),使得{u1,u2,x1}是獨(dú)立集。因此α(G[V(H)∪{x1}]=3。此時(shí)(2)成立。故引理3成立。

    3 主要結(jié)論的證明

    定理1如果α(G)=2,則G∈HH∪G0。

    證明若κ(G)≥2,根據(jù)引理1,則G∈H。下設(shè)κ(G)≤1。

    先設(shè)κ(G)=1。令x是G的一割點(diǎn),則G-x有2個(gè)連通分支H1和H2,這里H1和H2都是完全圖。由于α(G)=2,則Hi?{x}至少有一個(gè)完全圖,i=1,2。因此G=G|V(Hi)∪{x}]?H3-i∈G0。

    再設(shè)κ(G)=0,則G有2個(gè)連通分支H1和H2,這里H1和H2都是完全圖。由于α(G)=2,則Hi至少有一個(gè)是完全圖,i=1,2。因此G=V(Hi)?H3-i∈G0。故定理1成立。

    證明若κ(G)≥3,根據(jù)引理1,則G∈H。下設(shè)κ(G)≤2,分成3種情形討論。

    情形1κ(G)=0。令G有t個(gè)連通分支H1,…,Ht,可知2≤t≤α(G)=3。若t=3,由于α(G)=3,則H1,H2,H3都是完全圖,則G∈G1。下設(shè)t=2。不妨設(shè)α(H1)≤α(H2)。由于α(G)=3,則α(H1)=1和α(H2)=2。根據(jù)定理1,H2∈H∪G0,故G∈G1∪G2。

    情形2κ(G)=1。設(shè)x是G的一割點(diǎn),G-x有t個(gè)連通分支H1,…,Ht,可知2≤t≤α(G)=3。若t=3,由于α(G)=3,因此α(Hi)=1,i=1,…,3,且?j∈{1,2,3},使得Hj∪{x}∈K。故G∈G1。

    證明令G有t個(gè)連通分支H1,…,Ht。可知2≤t≤α(G)=4。若t=4,由于α(G)=3,則H1,…,H4都是完全圖,則G∈G3。

    下設(shè)t=3。不妨設(shè)α(H1)≤α(H2)≤α(H3)??芍?H3)≤α(G)-α(H1)-α(H2)≤2。由于α(G)=4,則α(H1)=α(H2)=1和α(H3)=2。根據(jù)定理1,H3∈HH∪G0,故G∈G3∪G4。

    證明設(shè)x是G的一割點(diǎn),G-x有t個(gè)連通分支H1,…,Ht,可知2≤t≤α(G)=4。先設(shè)t=4,由于α(G)=4,因此α(Hi)=1,i=1,…,4,且存在j∈{1,2,3,4},使得Hj∪{x}∈K,故G∈G3。

    其次設(shè)t=3。不妨設(shè)α(H1)≤α(H2)≤α(H3),于是:

    α(H3)≤α(G)-α(H1)-α(H2)≤4-1-1=2

    先設(shè)α(H1)=1和α(H2)=2,由定理1知,H2∈HH∪G0。若H2∈HH,則G=H1?{x}?H2∈G5。若H2∈G0,則H2=H21?H22,H21和H22都是完全的。于是,G=H1?{x}?H21?H22∈G3。

    [1]Bondy J A,Murty U S R.Graph Theory with Applications[M].New York:The Macmillan Press LTD,1976.

    [2]Enomoto H.Long Cycles in Triangle-free Graphs with Prescribed Independece Number adn Connectivity[J].J Combinatorial Theory,Series B,2004,91:43-55.

    [3]Chvátal V,Erd?s P.Anote on Hamiltonian circuits[J].Discrete Math,1972,2:111-113.

    [4]吳亞平,馮麗珠.獨(dú)立數(shù)小于4圖的結(jié)構(gòu)研究[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)學(xué)報(bào)):理工,2007,4(4):29-32.

    [編輯] 洪云飛

    10.3969/j.issn.1673-1409.2011.03.001

    O157.5

    1673-1409(2011)03-0001-03

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