B?cklund變換下一類Burgers方程精確解分析

王理凡

(金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 金華 321007)

B?cklund變換下一類Burgers方程精確解分析

王理凡

(金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 金華 321007)

形如ut=F(u,ux,uxx)的非線性偏微分方程由可積系統(tǒng)vx=P(v,u,ux),vt=Q(v,u,ux)定義的B?cklund變換u→v分類, 其最簡Burgers方程為ut=uxx+2uux,相應(yīng)的可積系統(tǒng)是vx=(λ+v)(u-v),vt=(λ+v)(u2-ux-uv)-λ(λ+v)(v-v),其中,λ是任意常數(shù)。將B?cklund變換連續(xù)n次作用于Burgers方程的零解u0(x,t)≡0, 并且每次取不同的參數(shù)λk(1≤k≤n), 得到了Burgers方程的精確解un(x,t),并揭示了Burgers方程光滑和(或)奇異扭結(jié)解相互作用的過程。

B?cklund變換；可積系統(tǒng)；Burgers方程；扭結(jié)解

非線性微分方程在物理學(xué)、工程學(xué)中都有著廣泛的應(yīng)用,特別是可用于描述帶有非均勻邊界條件的物理背景中的各種非線性波動現(xiàn)象的動力學(xué)機(jī)制。B?cklund變換現(xiàn)已成為求解某些非線性偏微分方程的有力工具，是可積系統(tǒng)方面的一個(gè)重要研究領(lǐng)域。文獻(xiàn)[1]研究了形如:

ut=F(u,ux,uxx)

(1)

的非線性偏微分方程由可積系統(tǒng):

vx=P(v,u,ux)vt=Q(v,u,ux)

(2)

定義的B?cklund變換u→v的分類,證明了這樣的非線性偏微分方程只能是Burgers方程：

ut=uxx+2uux

(3)

相應(yīng)的可積系統(tǒng)是：

(4)

下面，筆者將在以上研究的基礎(chǔ)上,將B?cklund變換反復(fù)作用于Burgers方程的零解,從而得到Burgers方程的許多精確解,進(jìn)而分析Burgers方程光滑和(或)奇異扭結(jié)解相互作用的過程, 并通過部分圖形描述、分析非線性波動現(xiàn)象。

設(shè)u為Burgers方程(3)的一個(gè)解，則由可積系統(tǒng)(4)的第1個(gè)方程可得：

(5)

式中，c(t)是積分常數(shù)。將式(5)代入系統(tǒng)(4)的第2個(gè)方程可以得到函數(shù)c(t)所滿足的常微分方程, 由該常微分方程的解即可得到Burgers方程的解。

結(jié)果1將u0(x,t)≡0代入系統(tǒng)(4)并取參數(shù)λ=λ1可得Burgers方程的解：

(6)

注1u1是行波解。當(dāng)參數(shù)λ1>0時(shí),它是一個(gè)光滑扭結(jié)，而當(dāng)λ1<0時(shí)，它是一個(gè)奇異扭結(jié)。

例1當(dāng)λ1=1時(shí),u1是一個(gè)光滑扭結(jié);當(dāng)λ1=-1時(shí),u1是一個(gè)奇異扭結(jié)(見圖1) 。

結(jié)果2將u1(x,t)代入(4)并取參數(shù)λ=λ2可得Burgers方程的解:

(7)

圖1 光滑扭結(jié)(左)和奇異扭結(jié)(右)

注2u2可看成是2個(gè)光滑和(或)奇異扭結(jié)的相互作用,共有以下3種情形:①u2若是2個(gè)光滑扭結(jié)相互作用的過程,結(jié)果是1個(gè)光滑扭結(jié)；②u2若是1個(gè)光滑扭結(jié)與1個(gè)奇異扭結(jié)的相互作用,結(jié)果是1個(gè)奇異扭結(jié)；③u2若是2個(gè)奇異扭結(jié)相互作用的過程,結(jié)果也是1個(gè)光滑扭結(jié)。

例2當(dāng)λ1=-2,λ2=-1時(shí)，u2就是2個(gè)奇異扭結(jié)相互作用的過程,結(jié)果是1個(gè)光滑扭結(jié)(見圖2)。

圖2 2個(gè)奇異扭結(jié)的相互作用過程

結(jié)果3將u2(x,t)代入(4)并取參數(shù)λ=λ3可得Burgers方程的解：

注3u3可看成是3個(gè)光滑和(或)奇異扭結(jié)解的相互作用, 共有以下6種情形：①u3若是3個(gè)光滑扭結(jié)的相互作用,結(jié)果是1個(gè)光滑扭結(jié); ②u3若是1個(gè)光滑扭結(jié)和2個(gè)奇異扭結(jié)(光滑扭結(jié)位于2個(gè)奇異扭結(jié)之間)的相互作用,結(jié)果是1個(gè)光滑扭結(jié);③u3若是另外一種1個(gè)光滑扭結(jié)和2個(gè)奇異扭結(jié)(2個(gè)奇異扭結(jié)為鄰)的相互作用,結(jié)果也是1個(gè)光滑扭結(jié);④u3若是1個(gè)奇異扭結(jié)和2個(gè)光滑扭結(jié)(2個(gè)光滑扭結(jié)為鄰)的相互作用,結(jié)果是1個(gè)奇異扭結(jié);⑤u3若是另一種1個(gè)奇異扭結(jié)和2個(gè)光滑扭結(jié)(奇異扭結(jié)在2個(gè)光滑扭結(jié)之間)的相互作用,結(jié)果也是1個(gè)奇異扭結(jié);⑥u3若是3個(gè)奇異扭結(jié)的相互作用, 結(jié)果也是1個(gè)奇異扭結(jié)。

例3當(dāng)λ1=-3,λ2=-2,λ3=-1時(shí),u3就是3個(gè)奇異扭結(jié)的相互作用,結(jié)果是1個(gè)奇異扭結(jié)(見圖3)。

圖3 3個(gè)奇異扭結(jié)的相互作用過程

一般地, 將B?cklund變換連續(xù)n次作用于Burgers方程的零解u0(x,t)≡0, 并且每次取不同的參數(shù)λk(1≤k≤n),則可得到Burgers方程的解un(x,t), 它可看成是n個(gè)(光滑和(或)奇異)扭結(jié)的相互作用。不管這n個(gè)扭結(jié)的相對位置如何, 當(dāng)奇異扭結(jié)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，作用的結(jié)果是1個(gè)光滑扭結(jié)；而當(dāng)奇異扭結(jié)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，作用的結(jié)果是1個(gè)奇異扭結(jié)。

[1]王理凡.一類二階非線性偏微分方程B?ecklund變換的分類[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2011，38(1):19-21.

[2] Cao X, Wu H, Xu C.On Miura transformations among nonlinear partial differential equations[J]. J Math Phys, 2006,47 :083515.

[3] Byrnes S G.B?cklund transformations and they equation [J]. J Math Phys,1976,17: 836-842.

[4] Mclaughlin D W, Scott A C.A restricted B?cklund transformationszx=F(x,y,z)[J].J Math Phys, 1973,14:1817-1828.

[5] Nimmo J J C, Crighton D G.B?cklund transformation for nonlinear parabolic equations[J]. Proc R Soc London, 1982,384:381-401.

[6] Oliver P J.Applications of Lie Groups to Differential E quations[J]. New York :Springer-Verlag, 1993.

[7] Wu H. On B?cklund transformations for nonlinear partial differential equations[J].J Math Anal Appl, 1995,192:151 - 179.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.03.002

O175.29

1673-1409(2011)03-0004-03