量子力學(xué)雙語教學(xué)實(shí)踐

凌東波 明 燚

（安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039）

量子力學(xué)雙語教學(xué)實(shí)踐

凌東波 明 燚

（安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039）

量子力學(xué)是物理專業(yè)本科階段重要的課程之一。雙語講授量子力學(xué)在安徽大學(xué)是一次有益的嘗試，在這一教學(xué)過程中，有相當(dāng)多的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)值得總結(jié)。

束縛態(tài)；經(jīng)典類比；狄拉克符號(hào)

1 采用的教材

我們采用 Griffiths的著作 “Introduction to Quantum Mechanics”[1]。這一著作寫法上適合初學(xué)者，是很有特色的一本教材。兼顧了詳細(xì)的計(jì)算和清晰的物理概念，注重闡述物理理論產(chǎn)生的背景和動(dòng)機(jī)。具體體現(xiàn)在以下方面

1.1 直接引入薛定諤方程。這種講法很直接，相比較流形的國(guó)內(nèi)教科書的引進(jìn)方式[2]，這是容易講授的方式。我們知道薛定諤方程的獲得是通過和經(jīng)典力學(xué)的類比猜得的，所有的推導(dǎo)都是輔助性的，而不是真正的。從這個(gè)意義上講，直接的引入該方程可以減少很多概念上的困惑。另外，這也是實(shí)驗(yàn)要求的。關(guān)于線性疊加，去年有一個(gè)實(shí)驗(yàn)方面的工作[5]。

這本教科書里引入動(dòng)量算符的方式是通過位置平均值對(duì)時(shí)間的求導(dǎo)的方法，這種方式或許可以改成直接的定義動(dòng)量算符更加合適。因?yàn)閯?dòng)量算符的是從經(jīng)典力學(xué)中的Poisson括號(hào)類比獲得的，這可以參考狄拉克的著作[4]。

1.2 對(duì)束縛態(tài)有很直觀而準(zhǔn)確的定義。經(jīng)典力學(xué)中的粒子具有的動(dòng)能如果低于兩側(cè)勢(shì)壘的高度，那么該粒子處于束縛態(tài)。束縛態(tài)的本意在于該粒子所處位置是局域的，也就是在無窮遠(yuǎn)處不會(huì)出現(xiàn)該粒子。在量子力學(xué)中，則需要對(duì)應(yīng)于波函數(shù)在無限遠(yuǎn)處為0?？紤]到量子力學(xué)中波動(dòng)性，經(jīng)典禁區(qū)依然有可能出現(xiàn)粒子，所以束縛態(tài)的定義為，粒子具有的能量低于無限遠(yuǎn)處的勢(shì)能。這一關(guān)于束縛態(tài)的準(zhǔn)確定義非常直觀，而且體現(xiàn)了量子力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)的對(duì)比。

1.3 對(duì)現(xiàn)代的熱點(diǎn)問題有追蹤。比如幾何相位問題。這里采用了Berry的原始文獻(xiàn)中的方式解釋AB效應(yīng)。Berry相位和AB效應(yīng)背后都隱藏了深刻的物理內(nèi)容，和參數(shù)空間的拓?fù)湫再|(zhì)有關(guān)，同時(shí)也顯示，經(jīng)典力學(xué)中完全不可觀測(cè)的規(guī)范，在量子力學(xué)中是可以間接的觀測(cè)。 這里采用了直觀的方式，通過與經(jīng)典力學(xué)中傅科擺問題的比較，引入量子力學(xué)中的不可積相位。一個(gè)本科生完全可以重復(fù)這些計(jì)算。

1.4 氫原子模型中的計(jì)算采用漸近分析的方法，避免了合流超幾何方程的直接求解。這一方法借鑒于狄拉克的教材[4]。采用漸近分析，可以把原來有正則奇點(diǎn)的微分方程變形為沒。

1.5 在散射的波恩近似中，關(guān)于傳播子的計(jì)算方法，有一點(diǎn)疏忽。本書的計(jì)算沒有考慮到邊界條件，認(rèn)為繞過pole的方法是確定的。但是事實(shí)上，繞過pole的方式由邊界條件決定的。教科書忽略了邊界條件的作用，而這一影響是至關(guān)重要的。

1.6 在處理不確定度關(guān)系中，采用了嚴(yán)格的方法。不確定度關(guān)系（舊稱測(cè)不準(zhǔn)原理）中，關(guān)于時(shí)間和能量的不確定關(guān)系

這一表達(dá)式有一個(gè)問題，時(shí)間并不是力學(xué)量，如何定義其不確定度？我們通常的解釋是，時(shí)間的不確定度是狀態(tài)的壽命。但是在單粒子量子力學(xué)中，壽命沒有良好定義。嚴(yán)格的方式是定義

這里的σQ是某一力學(xué)量Q的不確定度。根據(jù)這個(gè)定義，我們發(fā)現(xiàn)時(shí)間的不確定度并不唯一，隨我們選取的力學(xué)量的不同而不同。這樣就解決了前面的矛盾。

1.7 本書對(duì)諧振子和角動(dòng)量的處理都是以代數(shù)方法為主，微分方程的方法作為輔助。代數(shù)方法處理角動(dòng)量問題才能計(jì)算CG系數(shù)。雖然CG系數(shù)的計(jì)算不屬于本科生必須掌握的內(nèi)容，但是這種代數(shù)方法往往反映更深刻的物理含義，實(shí)際上這和SU（2）代數(shù)直接相關(guān)，為將來深入的學(xué)習(xí)角動(dòng)量理論準(zhǔn)備了基礎(chǔ)。

值得注意的是，電磁場(chǎng)中的帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方程沒有詳細(xì)的討論，這個(gè)和國(guó)內(nèi)教學(xué)大綱上有差異，如果講授這一內(nèi)容需要講授者自己增加。

2 教學(xué)的特色

2.1 強(qiáng)調(diào)經(jīng)典和量子的對(duì)比

強(qiáng)調(diào)量子和經(jīng)典的對(duì)比。量子力學(xué)中采用波函數(shù)描述粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這一方式和經(jīng)典力學(xué)中采用質(zhì)點(diǎn)完全不同。質(zhì)點(diǎn)的概念符合人類的直觀，而波函數(shù)是反直覺的。

盡管如此，量子力學(xué)中又有很多概念和經(jīng)典力學(xué)是不可分割的。比如束縛態(tài)的定義，力學(xué)量算符的寫法，力學(xué)量的對(duì)易關(guān)系和經(jīng)典力學(xué)中的泊松括號(hào)。

我們初學(xué)者往往關(guān)心一些非常根本的問題，比如“為什么用波函數(shù)表示狀態(tài)？”我們對(duì)波函數(shù)的出現(xiàn)非常的不適應(yīng)。這里我有一個(gè)比較哲學(xué)化的觀點(diǎn)，如果我們問問自己，為什么經(jīng)典力學(xué)中的運(yùn)動(dòng)的物體可以抽象成一個(gè)點(diǎn)？為什么剛體可以看作是連續(xù)的質(zhì)量分布？如果我們追問這樣的為什么，我們發(fā)現(xiàn)，我們自己也無法回答這樣的問題。經(jīng)典力學(xué)中關(guān)于質(zhì)點(diǎn)的假定更加直觀，所以容易被我們“接受”，注意是“接受”。當(dāng)我們學(xué)習(xí)量子力學(xué)的時(shí)候，我們的問題是試圖去“理解”波函數(shù)。如果我們用同樣的態(tài)度對(duì)待波函數(shù)，我們應(yīng)該是接受波函數(shù)而已。雖然波函數(shù)是違背直觀的概念，但是物理學(xué)不斷發(fā)展的過程實(shí)際上就是不斷違背直觀的過程。

2.2 注重?cái)?shù)學(xué)推導(dǎo)

量子力學(xué)中采用的數(shù)學(xué)技巧主要是線性代數(shù)，用狄拉克的話說，量子力學(xué)和相對(duì)論都是變換的理論。所以熟練的掌握線性變換以及變換所具有的直觀的物理和幾何含義/是非常有必要的。比如在角動(dòng)量理論的部分，講述CG系數(shù)是比較艱難的。其困難來源于學(xué)生對(duì)線性代數(shù)的理解不夠深刻，所以要強(qiáng)調(diào)不變子空間和簡(jiǎn)并的關(guān)系。而不變子空間的概念在簡(jiǎn)并微擾論當(dāng)中起了重要的作用。從這一例子可以看出，只有不回避復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和提升數(shù)學(xué)概念，才能進(jìn)一步深入的理解物理概念。

2.3 強(qiáng)調(diào)微擾論的價(jià)值

量子力學(xué)中的微擾論對(duì)應(yīng)的可觀測(cè)的效應(yīng)。如果沒有微擾論，我們就無法檢驗(yàn)量子力學(xué)的正確。比如光譜學(xué)實(shí)驗(yàn)得到的氫原子能譜，這個(gè)過程本身就是微擾的結(jié)果，因?yàn)槲锢韺W(xué)中的觀測(cè)總是和微擾相對(duì)應(yīng)的。

同時(shí)，本科階段學(xué)習(xí)的固體物理學(xué)中，弱周期的勢(shì)能可以導(dǎo)致能譜中的禁帶這一結(jié)果，恰恰是簡(jiǎn)并微擾論的結(jié)果。所以克服微擾論的計(jì)算的復(fù)雜，抽取其中物理的思想和實(shí)用價(jià)值是非常必要的。

2.4 強(qiáng)調(diào)狄拉克符號(hào)的使用

狄拉克符號(hào)在計(jì)算上可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。尤其在代數(shù)解法當(dāng)中，我們并不需要明確的表象，此時(shí)狄拉克符號(hào)的使用幾乎是不可避免的。

另外狄拉克符號(hào)有助于澄清理解波函數(shù)。事實(shí)上量子態(tài)不僅僅是不可觀測(cè)的，而且本身是需要表示的。只有清楚的理解了狄拉克符號(hào)，我們才能更好的理解位置表象中的波函數(shù)是量子態(tài)的表示，也更好的理解位置表象中的動(dòng)量算符的形式。狄拉克符號(hào)的講授我們借鑒了Sakurai的著作[3]。

2.5 教學(xué)效果

我們經(jīng)常的和學(xué)生討論他們遇到的困難，了解他們對(duì)課程的掌握情況。

從效果上看，選修該課程的同學(xué)幾乎都能跟上進(jìn)度，有部分學(xué)生對(duì)量子力學(xué)有比較學(xué)生經(jīng)過認(rèn)真的計(jì)算，發(fā)現(xiàn)了教科書上的一些問題，比如前面所提到的波恩近似中的傳播子的計(jì)算問題。從他們后來參加研究生入學(xué)考試成績(jī)來看，他們對(duì)該課程的掌握是相當(dāng)好的。

3 致謝

感謝安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院李剛老師的有益討論。師的有益討論。

[1]David J.Griffiths,Introductiont to Quantum Mechanics[M].機(jī)械工業(yè)出版社,2007.

[2]曾謹(jǐn)言著,量子力學(xué)教程[M].第二版,科學(xué)出版社,2008.

[3]J.J.Sakurai,Modern Quantum Mechanics[M].Addison-Wesley Publishing Company,1994.世界圖書出版公司影印

[4]P.A.M.Dirac,the Principles of Quantum Mechanics[M].Oxford University Press,1958.科學(xué)出版社2008年影印

[5]Urbasi Sinha,Ruling out Multi-Order Interference in Quantum Mechanics[J].Science 2010，329：418

BILINGUAL TEACHING PRACTICE OF QUANTUM MECHANICS

LING Dong-bo MING Yi
（School of physics and material science,Anhui University,Hefei Anhui 230039）

Quantum mechanics is one of the kernel courses for undergraduate students majoring in physics. The bilingual teaching of this course in Anhui University was a useful attempt.Consequently there are many practical experiences worthy of summarizing in the teaching process.

bound states;classical analogy;Dirac notation

A

1672－2868（2011）03－0132－03

2011-2-28

安徽大學(xué)質(zhì)量工程項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：2304005）

凌東波（1978-），男，安徽巢湖人。安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院講師，研究方向：凝聚態(tài)理論

責(zé)任編輯：陳 鳳