基于數(shù)學(xué)概率模型的網(wǎng)絡(luò)游戲升級問題

白南洋

( 東北石油大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江 大慶 163318 )

0 引言

網(wǎng)絡(luò)游戲是互聯(lián)網(wǎng)時代的新型產(chǎn)業(yè)之一，具有巨大商業(yè)價值.為使游戲在獲得利潤和增強(qiáng)對玩家吸引力間達(dá)到平衡[1]，游戲開發(fā)時，游戲策劃者需要考慮游戲玩家升級的難度[2].這種難度通常由升級概率表示，難度越高，升級的概率越小.游戲策劃者希望了解玩家平均每升級一次的概率，設(shè)定游戲規(guī)則以平衡游戲的難度[3]，與游戲相關(guān)的概率問題引發(fā)對“打靶”等問題的研究[4-6].概率論、組合論中的許多理論來源于游戲[7-10]，這些游戲通常包含一些不易解答的問題，如關(guān)于“瑪麗蓮問題”的討論[11]，以及撲克牌中的概率問題[12]，對它們的研究促進(jìn)概率學(xué)科的建立和發(fā)展.分析網(wǎng)絡(luò)游戲中某類概率問題，即武器裝備升級問題，給出該問題的普遍形式并對其中不同情況加以分析，以幫助游戲策劃者進(jìn)行相應(yīng)的游戲數(shù)值策劃.

1 恒定概率升級模型

1.1 模型設(shè)定

游戲升級規(guī)則為：游戲可分級，每次升級通過武器升級實(shí)現(xiàn)，武器級別由所擁有的星數(shù)標(biāo)志.假設(shè)由m星升級至m+1星成功的概率為p(定值)，不成功則降至1星.求從1星開始成功升級至k星所需要的平均步數(shù).

1.2 分析與求解

pk-1=p(X=k-1)=pk-1.

由于失敗即回到1星，要成功升級至k星，k-1步必為由1星成功升級k星，最后第k步必為升級失敗退至1星，且后k-1步一直升級成功.設(shè)x1n為經(jīng)過n步升級至k星，最后第k步為由1星開始升級的概率總和；x2n為經(jīng)過n步升級至k星，最后第k步為由2星開始升級的概率總和；依此類推，x(k-1)n為經(jīng)過n步升級至k星，最后第k步為由k-1星開始升級的概率總和，即

pn=x1n+x2n+x3n+…+x(k-1)n.

n+1步升級至k星的情況相當(dāng)于把n步升級至k星情況中的最后第k步分割為2步，即多插入1步，且最后第k步由1星開始升級，中間可插入1星或2星(插入1星時2步失敗，插入2星時先成功后失敗退回至1星)；若第k步由2星開始升級，中間可插入1星或3星；依此類推，第k步由k-2星開始升級，中間可以插入1星或k-1星；最后第k步由k-1星開始升級，中間僅能插入1星(此時只能失敗，如果成功，就不需要后邊的第k-1步).即：無論最后第k步由第幾顆星開始升級，中間都可插入1星，此時將1次失敗分割成2次失敗，在原有基礎(chǔ)上再乘(1-p).插入其他星時，如3星升級失敗退至1星，插入1個4星，變?yōu)?星成功升級至4星，之后升級失敗退回至1星，即在原基礎(chǔ)上多1次成功升級，需再乘1個p，即

pn+1=(1-p)pn+px1n+px2n+…+px(k-2)n;

同理

pn+2=(1-p)pn+1+p(1-p)pn+…+p2x(k-3)n;

得出

pn+k-1=(1-p)pn+k-2+(1-p)ppn+k-3+…+(1-p)pk-2pn.

(1)

為了給出X的概率分布，給予證明.

由于p1,p2,p3,…,pk-2=0;pk-1=pk-1,有

x-pk-1=(1-p)x+(1-p)px+…+(1-p)pk-2x，即

游戲策劃者關(guān)注的重點(diǎn)是升級需要的平均步數(shù)，即X的數(shù)學(xué)期望E(X)，給予證明.

y-(k-1)pk-1-(k-1)(1-pk-1)=(1-p)y-(1-p)(k-2)+

(1-p)py-(1-p)p(k-3)+…+(1-p)pk-2y,

(2)

式(2)即為恒定概率升級模型的升級平均步數(shù)計算公式.

1.3 模型應(yīng)用

當(dāng)游戲策劃者規(guī)定打到某級平均需要E(X)步后，可以求出對應(yīng)概率.如若要求成功打下10星所需平均步數(shù)為40，則p≈0.783 38，可以將升級成功概率設(shè)為0.783 38.

利用式(2)可以求出給定概率時升級至任意星時所需平均步數(shù).如當(dāng)p=0.8時，成功升級至2星時，E(X)=1.25；成功升級至3星時，E(X)≈2.81；成功升級至4星時，E(X)≈4.77；成功升級至5星時，E(X)≈7.21.因此，依照所求出的數(shù)學(xué)期望衡量游戲升級總體難度，如果統(tǒng)計出游戲大多數(shù)玩家的平均升級次數(shù)，可以估算游戲出現(xiàn)的武器最高級數(shù).

2 不恒定概率升級模型

2.1 模型設(shè)定

游戲升級規(guī)則為：由1星成功升級至2星的概率為p′(定值)，由2星成功升級至3星的概率為p″(定值)，不成功不降星.求由1星開始成功升級至3星平均需要的步數(shù).

2.2 分析與求解

設(shè)成功升級至3星需要n步的概率為pn，則

p2=p′p″,

p3=p′p″[(1-p′)+(1-p″)],

p4=p′p″[(1-p′)2+(1-p′)(1-p″)+(1-p″)2],

依此類推，有

(3)

(4)

式(4)即為不恒定概率升級模型的數(shù)學(xué)期望公式.

2.3 模型應(yīng)用

將升級至某星的概率代入式(4)，可以求出所需的平均升級步數(shù).如當(dāng)給定的條件為p′=0.8，p″=0.5時，m=3.25.由此，可以根據(jù)需要向上或向下調(diào)節(jié)不同級別區(qū)域內(nèi)的成功升級概率，達(dá)到調(diào)控整體難度的目的.

3 結(jié)束語

分析網(wǎng)絡(luò)游戲的概率模型，給出相應(yīng)模型的概率和數(shù)學(xué)期望公式，可以依據(jù)計算得出的數(shù)值進(jìn)行一定的策劃；對于升級概率恒定類模型，可以依照數(shù)學(xué)期望值衡量整體難度，也可估算游戲中出現(xiàn)武器的最高等級.對于升級概率不恒定類模型，可通過調(diào)節(jié)不同的升級概率，從而控制難度.