類比法在線性代數(shù)教學(xué)中的運(yùn)用

張啟明，唐先華

(1．湖南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖南株洲412007;2．中南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)與計(jì)算技術(shù)學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410081)

類比法在線性代數(shù)教學(xué)中的運(yùn)用

張啟明1，唐先華2

(1．湖南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖南株洲412007;2．中南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)與計(jì)算技術(shù)學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410081)

主要討論了類比法在線性代數(shù)教學(xué)中的運(yùn)用，并舉例說明。同時(shí)，提出了運(yùn)用類比法進(jìn)行線性代數(shù)教學(xué)時(shí)應(yīng)注意的幾個(gè)問題。這些為線性代數(shù)教學(xué)提供了一些新的思路。

類比法;線性代數(shù);教學(xué);運(yùn)用

實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納、類比、聯(lián)想等方法是數(shù)學(xué)方法論中很重要的思想方法。其中，“類比推理是指根據(jù)兩個(gè)不同的對(duì)象在某些方面(如特征、屬性、關(guān)系等)的類同之處，猜測(cè)這兩個(gè)對(duì)象在其它方面也可能有類同之處，并作出某種判斷的推理方法?！保?］Goswami認(rèn)為，類比推理是人類認(rèn)知發(fā)展的核心能力之一。它不僅在分類問題和學(xué)習(xí)中涉及到，而且為人類思維和簡(jiǎn)析提供了一種工具，對(duì)科學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造性思維都有十分重要的作用。［2］本文以劉金旺、夏學(xué)全主編的《線性代數(shù)》教材［3］為依據(jù)，討論如何運(yùn)用類比法進(jìn)行線性代數(shù)教學(xué)以及運(yùn)用類比法進(jìn)行教學(xué)時(shí)應(yīng)注意的問題，以提高教學(xué)效率，充分激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性，為線性代數(shù)教學(xué)提供新的思路。邏輯學(xué)上所說的類比一般指由特殊到特殊的一種推理方法，是特殊與特殊的比較，但習(xí)慣上，我們把從特殊到一般的比較也稱為類比。本文所討論的類比是合二為一，將前面提到的這兩種情形不加區(qū)別對(duì)待。

一 類比法在線性代數(shù)教學(xué)中的運(yùn)用

教材［3］中，除選學(xué)內(nèi)容外，教學(xué)內(nèi)容主要有行列式、矩陣、向量空間、線性方程組及特征值與二次型等。設(shè)計(jì)教材時(shí)，我們一般會(huì)根據(jù)知識(shí)層次構(gòu)成其章節(jié)段落。教學(xué)中，通過類比，輔以聯(lián)想，觸類旁通，幫助學(xué)生將各知識(shí)點(diǎn)理順成一個(gè)息息相關(guān)的脈絡(luò)，并能激發(fā)學(xué)生的“靈感”，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，是數(shù)學(xué)教師所追求的一種理想境界。下面從兩方面探討如何運(yùn)用類比法進(jìn)行線性代數(shù)的教學(xué)。

(一)形式類比

形式類比是指由類比對(duì)象的表面相似而得到的兩種事物之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在數(shù)學(xué)的類比推理中，由于數(shù)學(xué)是一種符號(hào)語(yǔ)言，形式類比一般比較直接，有時(shí)通過一個(gè)表達(dá)式進(jìn)行聯(lián)想就可類比出另一個(gè)表達(dá)式。一般地，通過形式類比，可以得出一些數(shù)學(xué)概念、定理、解題方法等。就線性代數(shù)而言，由于其內(nèi)容抽象豐富，需要掌握的概念，引理及定理非常多，且自身的語(yǔ)言符號(hào)系統(tǒng)非常復(fù)雜，解題方法和技巧也靈活多變，給學(xué)生學(xué)習(xí)帶來了重重困難。因而，教學(xué)時(shí)，有必要幫助學(xué)生將學(xué)習(xí)內(nèi)容理順成一個(gè)知識(shí)脈絡(luò)，并由于其語(yǔ)言符號(hào)系統(tǒng)的特點(diǎn)，進(jìn)行形式類比推理的機(jī)會(huì)還是挺多的。下面舉例說明:

例1:二、三階行列式的定義→n階行列式的定義

中學(xué)數(shù)學(xué)中，用消元法解二元線性方程組和三元線性方程組分別得出了二階和三階行列式，設(shè)元素aij的2個(gè)下表i和j分別表示aij所在的行與列的序數(shù)，則它們的展開式分別為

仔細(xì)觀察，可發(fā)現(xiàn)式(1)和式(2)具有以下規(guī)律:

展開式都是一些項(xiàng)的代數(shù)和，其中項(xiàng)數(shù)分別為2!和3!，每一項(xiàng)都分別由位于不同行不同列的兩個(gè)數(shù)相乘和三個(gè)數(shù)相乘，且符號(hào)為正和符號(hào)為負(fù)的項(xiàng)數(shù)各占一半。將每一項(xiàng)中元素的行標(biāo)按自然順序排列，并根據(jù)列標(biāo)的排列規(guī)律，引入逆序數(shù)的概念，則每項(xiàng)的符號(hào)分別為(－1)τ(j1j2)，其中 j1，j2∈ {1，2}和 τ(j1j2j3)，其中 j1，j2，j3∈ {1，2，3}。

通過類比，n階行列式的展開式就很容易得到了。

例2:(1)克雷姆法則→(2)解n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的齊次線性方程組→(3)解n個(gè)未知數(shù)m(m≤n)個(gè)方程的齊次線性方程組

顯然，例2中(2)的討論對(duì)象是(1)的討論對(duì)象的特殊情形，(1)的討論對(duì)象又是(3)的討論對(duì)象的特殊情形。(1)是利用行列式討論n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的齊次線性方程組的解法，且通過對(duì)(1)、(2)的討論對(duì)象進(jìn)行類比推理，可以由(1)得出(2)有非零解的判定定理。(2)有非零解的充要條件為(2)中方程組的系數(shù)行列式為零，也即該方程組的系數(shù)矩陣A的行(列)向量組線性相關(guān)，也即秩r(A)＜n，從而將(2)、(3)的討論對(duì)象進(jìn)行類比推理，并對(duì)(3)中方程組所對(duì)應(yīng)的的系數(shù)矩陣B進(jìn)行初等行變換，也可得出(3)有非零解的判定定理，即(3)有非零解的充要條件為r(B)＜ n。

例2中類比推理經(jīng)歷了“一般→特殊→一般”的過程。

例3:計(jì)算行列式

分析:由D的形式受到啟發(fā)，通過類比，聯(lián)想到下三角行列式，但第一行不符合下三角行列式要求，于是嘗試轉(zhuǎn)化，將D拆分成兩個(gè)行列式的和:

記上式右端第2個(gè)行列式為Δ，可將Δ化為上三角行列式:

從而D轉(zhuǎn)化為一個(gè)下三角行列式和一個(gè)上三角行列式的和。

由例3可以看出，類比推理恰是確定化歸方向，實(shí)現(xiàn)化歸的一把鑰匙。

例4:普通矩陣運(yùn)算→分塊矩陣運(yùn)算

分塊矩陣中的每一元素均為子塊矩陣。形式上，分塊矩陣與普通矩陣很類似。討論分塊矩陣運(yùn)算時(shí)，憑“數(shù)感”，我們應(yīng)與普通矩陣運(yùn)算進(jìn)行類比推理，然后再一一去論證。

(二)內(nèi)容(功能)類比

數(shù)學(xué)的類比推理主要是內(nèi)容(功能)類比。內(nèi)容類比實(shí)際上是討論類比對(duì)象間的深層次聯(lián)系，因而更具有復(fù)雜性和創(chuàng)造性。線性代數(shù)教學(xué)中，內(nèi)容類比不僅有利于梳理和鞏固知識(shí)(特別是復(fù)習(xí)課教學(xué))，而且有利于學(xué)生接受新知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力。下面也舉例說明:

例5:余子式(代數(shù)余子式)→k階子式→順序主子式

由教材［3］知余子式(代數(shù)余子式)屬于第一章中行列式計(jì)算的內(nèi)容;k階子式屬于第二章中矩陣的秩的內(nèi)容;順序主子式屬于第五章中正定二次型的內(nèi)容。教學(xué)時(shí)，余子式(代數(shù)余子式)、k階子式、順序主子式不僅可以進(jìn)行形式類比，更應(yīng)該進(jìn)行內(nèi)容類比;不僅在新課講授時(shí)進(jìn)行類比，而且在復(fù)習(xí)課中也應(yīng)進(jìn)行類比。這三者在內(nèi)容類比推理中兩次經(jīng)歷了“一般→特殊”的過程。

例6:矩陣等價(jià)→矩陣相似→矩陣合同

矩陣?yán)碚撝?，矩陣等價(jià)關(guān)系、相似關(guān)系、合同關(guān)系是指:

(1)A和B等價(jià)存在可逆矩陣P和Q，使得B=PAQ;

(2)A和B相似存在可逆矩陣P，使得B=P－1AP;

(3)A和B合同A，B均為對(duì)稱矩陣，秩r(A)=秩r(B)，且存在可逆矩陣P，使得B=PTAP。

矩陣相似和矩陣合同均為矩陣等價(jià)的特殊情形，且矩陣相似不一定矩陣合同，矩陣合同也不一定矩陣相似，但存在兩矩陣既相似又合同的情形。因此，類似于例5的分析，我們應(yīng)深入進(jìn)行內(nèi)容類比推理，得出這3種關(guān)系的類同點(diǎn)和相異點(diǎn)，使學(xué)生有較為清楚的認(rèn)識(shí)。

例7:向量組的線性無關(guān)性→向量組的秩→線性空間的維數(shù)

向量組的秩即向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)。線性空間的維數(shù)即線性空間的任意一個(gè)基所含向量的個(gè)數(shù)。向量組的極大線性無關(guān)組這一概念與線性空間的基的概念是對(duì)應(yīng)的。將向量組的線性無關(guān)性，向量組的秩，線性空間的維數(shù)進(jìn)行內(nèi)容類比推理經(jīng)歷了“一般→特殊→一般”的過程。

二 運(yùn)用類比法進(jìn)行線性代數(shù)教學(xué)時(shí)應(yīng)注意的問題

類比是最活躍、最基本的一種推理形式，它具有跳躍性和可靠程度低兩個(gè)特點(diǎn)［4］。因而，線性代數(shù)教學(xué)中進(jìn)行類比推理時(shí)，應(yīng)注意如下兩個(gè)方面的問題:

(一)類比必須合情合理

由于類比具有一定的跳躍性，因此，類比推理時(shí)不能天馬行空，憑空想像，應(yīng)合情合理，仔細(xì)比較兩個(gè)類比對(duì)象的異同點(diǎn)。一般說來，兩個(gè)類比對(duì)象的相似屬性越多，且相似屬性的關(guān)系越緊密，由此類比得出其它屬性具有一定相似性的可能性更大，可靠度更高。線性代數(shù)教學(xué)中，除第1部分所舉的7個(gè)例子外，可進(jìn)行類比推理的知識(shí)點(diǎn)還是挺多的，但這給教師提出了較高要求，畢竟教無定法，教無止境，真正做到觸類旁通不是一件簡(jiǎn)單的事情。

(二)類比推理所得結(jié)論應(yīng)嚴(yán)格證明

由于類比推理與主體的知識(shí)內(nèi)涵，教育背景，抽象概括能力以及類比對(duì)象的差異等因素關(guān)系密切，因而，類比推理往往具有復(fù)雜性和不可靠性。數(shù)學(xué)是崇真尚美的學(xué)科，追求真善美的統(tǒng)一，類比推理所得結(jié)論正確與否必須經(jīng)過嚴(yán)格的推理證明。

總之，線性代數(shù)教學(xué)中，我們應(yīng)潛心觀察，靈活處理教材，熟練運(yùn)用類比法以提高教學(xué)效率，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，實(shí)現(xiàn)“教學(xué)相長(zhǎng)，教學(xué)雙贏”的目標(biāo)。

［1］史久一，朱梧槚．化歸與歸納·類比·聯(lián)想［M］．大連:大連理工大學(xué)出版社，2008．

［2］王儒芳，李 紅．表面相似性類比推理問題解決中的情感效應(yīng)［J］．寧波大學(xué)學(xué)報(bào)(教育科學(xué)版)，2005(2)．

［3］劉金旺，夏學(xué)全．線性代數(shù)［M］．第3版．上海:復(fù)旦大學(xué)出版社，2009．

［4］袁希娟，龔 耘．淺談?lì)惐确ǎ跩］．河北理工學(xué)院學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版)，2003(1):84 －88．

G642．0

A

1674－5884(2011)10－0076－03

2011－07－18

湖南省教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(XJK08AGD004);湖南省教育廳教改項(xiàng)目(20083263);湖南省教育廳《線性代數(shù)》精品課程資助項(xiàng)目(湘教通［2009］252);湖南工業(yè)大學(xué)教學(xué)改革研究基金資助項(xiàng)目(2010D31)

張啟明(1974－)，女，湖南漣源人，副教授，博士研究生，主要從事微分方程及動(dòng)力系統(tǒng)、圖論及其應(yīng)用、高等數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。

(責(zé)任編校 謝宜辰)