離散馬爾可夫跳變系統(tǒng)的降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)

周子龍， 李曉航

(上海工程技術(shù)大學(xué)電子電氣工程學(xué)院，上海 201000)

0 引言

馬爾可夫跳變系統(tǒng)(Markovian Jump System,MJS)由若干個(gè)子系統(tǒng)和模態(tài)組成，這些子系統(tǒng)和模態(tài)受馬爾可夫鏈控制，廣泛應(yīng)用于描述復(fù)雜的實(shí)際控制系統(tǒng)[1-3]。雖然在形式上，MJS可以看作單模態(tài)系統(tǒng)到多模態(tài)系統(tǒng)的推廣，然而MJS獨(dú)特的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致研究過(guò)程所使用的方法與傳統(tǒng)方法有較大區(qū)別[4-5]。在實(shí)際系統(tǒng)中，由于系統(tǒng)的部分狀態(tài)變量可以直接由測(cè)量得到，此時(shí)只要對(duì)剩余的狀態(tài)變量設(shè)置觀測(cè)器即可。而降維觀測(cè)器可以使觀測(cè)器結(jié)構(gòu)更為簡(jiǎn)單，計(jì)算量也相應(yīng)減少，而且可以避免直接測(cè)量得到的系統(tǒng)狀態(tài)因重構(gòu)而產(chǎn)生的重構(gòu)誤差[6-7]。因而，研究MJS的降維觀測(cè)器是具有現(xiàn)實(shí)意義的。

目前，MJS在穩(wěn)定性分析、觀測(cè)器設(shè)計(jì)等方面取得了很多有吸引力的成果。文獻(xiàn)[8]針對(duì)連續(xù)MJS設(shè)計(jì)了一種降維滑模觀測(cè)器，有效避免了滑模面切換的問(wèn)題；文獻(xiàn)[9]針對(duì)一類具有不確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的延遲MJSs設(shè)計(jì)了全維的自適應(yīng)觀測(cè)器，在無(wú)需提前獲知執(zhí)行器或傳感器故障的前提下實(shí)現(xiàn)了執(zhí)行器和傳感器故障的同時(shí)估計(jì)。然而文獻(xiàn)[8-9]都不能同時(shí)消除系統(tǒng)未知輸入及測(cè)量噪聲的影響。文獻(xiàn)[10]針對(duì)離散時(shí)間MJS設(shè)計(jì)基于事件觸發(fā)的全維觀測(cè)器，并證明了H∞穩(wěn)定性，然而只討論了狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣完全已知的情況。事實(shí)上，很多關(guān)于MJS的研究都是假設(shè)其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是精確已知的[11-12]。

綜上所述，本文研究了僅知道部分轉(zhuǎn)移概率邊界的情況下離散MJS的降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)。在降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)過(guò)程中，首先構(gòu)造虛擬輸出對(duì)測(cè)量噪聲進(jìn)行解耦，之后對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性變換實(shí)現(xiàn)未知輸入的解耦。該觀測(cè)器具有以下優(yōu)點(diǎn)：其一，可以同時(shí)對(duì)系統(tǒng)中的未知輸入和測(cè)量噪聲解耦；其二，考慮部分已知轉(zhuǎn)移概率的MJS，更具有一般性。在此基礎(chǔ)上，關(guān)注降維觀測(cè)器在有限時(shí)間內(nèi)隨機(jī)穩(wěn)定，并且利用代數(shù)重構(gòu)的思想實(shí)現(xiàn)了在離散MJS中的未知輸入的估計(jì)。

1 系統(tǒng)描述

有如下的線性離散系統(tǒng)

(1)

式中：x(k)∈Rn，是系統(tǒng)狀態(tài)；u(k)∈Rm，是已知輸入；y(k)∈Rp，是可測(cè)輸出；d(k)∈Rq，是未知輸入；ω(k)∈Rr，是測(cè)量噪聲；A，B，C，D，E為適當(dāng)維數(shù)的矩陣。不失一般性，假設(shè)D和E滿秩；n>p≥q+r。

定義1

(2)

為式(1)系統(tǒng)的Rosen-brock矩陣。當(dāng)復(fù)數(shù)z滿足秩條件rank(R(z))

定義2若式(1)系統(tǒng)中所有的不變零點(diǎn)均在z平面單位圓內(nèi)，則稱式(1)系統(tǒng)為最小相系統(tǒng)。其等價(jià)描述為：對(duì)任何滿足|z|≥1的z∈C，有

rank(R(z))=n+q。

(3)

考慮如下的具有未知輸入和測(cè)量噪聲的線性離散時(shí)間馬爾可夫跳變系統(tǒng)

(4)

式中,Ai，Bi，Ci，Di，Ei為適當(dāng)維數(shù)的矩陣。

{r(k),k≥0}是在有限集R={1,2,…,N}內(nèi)的離散時(shí)間狀態(tài)的馬爾可夫過(guò)程，具有如下?tīng)顟B(tài)轉(zhuǎn)移概率

Pr(r(k+1)=j|r(k)=i)=πi j

(5)

假設(shè)系統(tǒng)的一部分轉(zhuǎn)移概率是可量測(cè)的，對(duì)于已知的轉(zhuǎn)移概率只能獲取其取值范圍，πi j∈[πl(wèi)i j,πui j]，πl(wèi)i j和πui j已知。因此,轉(zhuǎn)移概率矩陣Π的形式為

(6)

(7)

定義3對(duì)于uk≡0，dk≡0，以及任意初始條件x0∈Rn和r0∈R，有

(8)

式中，E表示數(shù)學(xué)期望，則式(1)系統(tǒng)是隨機(jī)穩(wěn)定的。

定義4對(duì)于下面的離散時(shí)間馬爾可夫跳變系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

x(k+1)=A(r(k),k)x(k)+B(r(k),k)u(k)

(9)

如果uk≡0存在常數(shù)c1，c2，N以及正定矩陣R有

xT(0)Rx(0)≤c1?E{xT(k)Rx(k)}≤c2?k∈{1,…,N}

(10)

成立，則系統(tǒng)相對(duì)于(c1,c2,N,R)為有限時(shí)間隨機(jī)穩(wěn)定。

假設(shè)1 式(4)系統(tǒng)滿足

(11)

(12)

2 降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)

(13)

(14)

引理1[13]假設(shè)1成立，當(dāng)且僅當(dāng)

(15)

引理2[13]假設(shè)2成立，當(dāng)且僅當(dāng)

rank[Ri(z)]=n+rank(Di)

(16)

(17)

引理3[14]式(4)系統(tǒng)同時(shí)滿足引理1和引理2，則存在

(18)

使得

(19)

證明。

由引理1可知rank(Di)=q，可以得到一個(gè)中間變量

(20)

則可以得出

(21)

由引理1可知，存在非奇異矩陣

(22)

有

(23)

則

(24)

定義矩陣

(25)

得

(26)

(27)

令

(28)

(29)

(30)

(31)

3 主要結(jié)論

以下的定理1可以保證式(4)系統(tǒng)有限時(shí)間隨機(jī)穩(wěn)定，并且給出觀測(cè)器增益矩陣Li的值。

定理1如果存在對(duì)稱正定矩陣Xi，非奇異矩陣Wi，矩陣Yi和正標(biāo)量δ>0，θ>0，使得以下矩陣不等式

(32)

(33)

minδ>0

(34)

(35)

(36)

證明 選取李雅普諾夫函數(shù)V(e(k),r(k))=eT(k)Pie(k)，可以得到

(37)

將式(31)代入式(37)得

ΔV(e(k))=

(38)

由式(38)可知，只需證明

(39)

(40)

成立即可。分別對(duì)式(39)和式(40)使用舒爾補(bǔ)引理得

(41)

(42)

(43)

由上述可知

ΔV(e(k))≤(α+β)‖e(k)‖2

(44)

式中：

(45)

(46)

其中，inf表示集合的下確界。

由式(44)可知

(47)

由定義3可知，此時(shí)誤差系統(tǒng)是隨機(jī)穩(wěn)定的。且由式(32)～(35)可知ΔV(e(k))<0，因此存在一個(gè)大于零的常數(shù)θ，使

ΔV(e(k),r(k))<θV(e(k),r(k))

(48)

成立。

不等式(48)可以按不同時(shí)刻寫(xiě)成

(49)

進(jìn)行遞推，可知

E{V(e(k),r(k))}<(θ+1)E{V(e(k-1),r(k-1))}<

(θ+1)2E{V(e(k-2),r(k-2))}<…<(θ+1)kV(e(0),r(0))

(50)

由式(50)左邊有

E{V(e(k),r(k))}=E{eT(k)Pr(k)e(k)}=

(51)

式中，R為正定矩陣，再由式(50)右邊有

(θ+1)kV(e(0),r(0))=(θ+1)keT(0)Pr(0)e(0)=

(52)

由式(51)和式(52)可得

(53)

(54)

式中：c1和c2為常數(shù)；λmin表示矩陣特征值的最小值。則由定義4可知誤差系統(tǒng)有限時(shí)間內(nèi)隨機(jī)穩(wěn)定，證明完成。

4 未知輸入估計(jì)

定理2在假設(shè)1和假設(shè)2成立的前提下

(55)

是未知輸入d(k)的漸近估計(jì)。

(56)

(57)

(58)

由式(58)得，未知輸入重構(gòu)誤差為

(59)

5 仿真

為了證明所提方法的有效性，考慮如下具有兩個(gè)模態(tài)的數(shù)值馬爾可夫跳變系統(tǒng)，相關(guān)參數(shù)如下：

根據(jù)定理1，可以求得

未知輸入為d(k)=0.2sink+0.2cosk，測(cè)量噪聲為ω(k)=0.2sink，初始狀態(tài)向量x0=[-0.501 1]T，圖1所示為系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)效果。

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)及其估計(jì)值Fig.1 Actual states and their estimations

圖1給出了系統(tǒng)的狀態(tài)真實(shí)值以及觀測(cè)器的估計(jì)值，圖2為未知輸入估計(jì)。由圖1可以看出，由于文獻(xiàn)[15]所設(shè)計(jì)的觀測(cè)器無(wú)法同時(shí)解耦未知輸入與測(cè)量噪聲，因此其估計(jì)的狀態(tài)與系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài)存在一定的誤差。通過(guò)式(58)可以得出基于代數(shù)重構(gòu)的思想實(shí)現(xiàn)的未知輸入估計(jì)，如圖2所示。從圖2可以看出，所提出的方法可以較為精確地估計(jì)系統(tǒng)的未知輸入。

圖2 未知輸入d(k)及其估計(jì)值Fig.2 Unknown input d(k) and its estimation

6 總結(jié)

針對(duì)一類含有未知輸入和測(cè)量噪聲僅知道部分轉(zhuǎn)移概率邊界的情況下離散馬爾可夫跳變系統(tǒng)，提出了一種降維觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法，該降維觀測(cè)器可以將系統(tǒng)中的未知輸入和噪聲進(jìn)行解耦，之后給出了觀測(cè)器有限時(shí)間穩(wěn)定的證明，并利用代數(shù)重構(gòu)的方式得到未知輸入的估計(jì)值。仿真結(jié)果證明了此方法的有效性。