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    模糊判斷矩陣最優(yōu)化排序方法研究綜述

    2011-11-01 08:49:34和媛媛鞏在武
    統(tǒng)計與決策 2011年7期
    關(guān)鍵詞:排序一致性優(yōu)化

    和媛媛,鞏在武

    (南京信息工程大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院,南京210044)

    模糊判斷矩陣最優(yōu)化排序方法研究綜述

    和媛媛,鞏在武

    (南京信息工程大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院,南京210044)

    文章研究基于模糊判斷矩陣的方案排序問題。根據(jù)完全一致性模糊判斷矩陣的特性,依據(jù)不同的優(yōu)化標準建立幾種求解排序向量的最優(yōu)化模型,從而解決具有滿意一致性的模糊判斷矩陣的方案排序問題,并對常用最優(yōu)化排序方法進行了總結(jié),初步分析了各種方法排序結(jié)果的合理性。

    模糊判斷矩陣;一致性;最優(yōu)化模型;方案排序

    近年來,許多學(xué)者針對模糊判斷矩陣排序問題進行了大量的研究。文獻[1]從最優(yōu)化角度提出了模糊判斷矩陣排序的權(quán)的最小平方法,并給出了嚴格的理論證明。同時,基于轉(zhuǎn)換矩陣提出了模糊判斷矩陣排序的特征向量法,給出了其相應(yīng)的迭代算法及互補判斷矩陣的一致性檢驗方法。文獻[2]針對Fuzzy偏好關(guān)系建立了最優(yōu)化模型,并通過求解該模型得到方案的參考排序值,使得最終方案的排序結(jié)果最大程度地反映決策者的偏好。文獻[3]利用正互反判斷矩陣與模糊判斷矩陣的轉(zhuǎn)換關(guān)系,探討了模糊判斷矩陣的兩種排序方法——對數(shù)最小二乘法和對數(shù)最小一乘法。在上述研究工作的基礎(chǔ)上,本文針對基于模糊判斷矩陣的方案排序問題,建立幾種求解排序向量的最優(yōu)化模型,并對常用最優(yōu)化排序方法進行歸納總結(jié)和分析,致力于為決策者選擇合理的方案決策方法提供理論依據(jù)。

    1 相關(guān)概念

    考慮一個有限的決策方案集(或指標集)X={xi|i=1,2,…,n},記N={1,2,…,n},其中xi(i∈N)表示第i個決策方案。在對方案進行排序時,決策者針對方案集X提供的偏好信息是由一類用實數(shù)值表示的模糊判斷矩陣給出的。下面給出模糊判斷矩陣及其一致性的一些描述。

    定義1[4]稱直積X'X上的一個模糊子集P∶X×X→[0,1]或為X中的(二元)模糊關(guān)系。記pij=μp(xi,xj),pij表示方案xi優(yōu)于方案xj的相對重要程度,具體規(guī)定如下:

    (1)pij=0.5,表示xi與xj同樣重要;

    (2)0≤pij≤0.5,表示xj比xi重要,且pij越小,xj比xi越重要;

    (3)0.5

    定義2[4]設(shè)二元對比矩陣P=(pij)n×n,若滿足下列性質(zhì):

    (1)Pii=0.5,?i∈N;

    (2)pij+pji=1,?i,j∈N,i≠j.

    則稱矩陣P為模糊判斷矩陣。其中,性質(zhì)(2)表示矩陣P具有互補性。

    文獻[1]給出了模糊判斷矩陣的完全一致性定義。

    定義4[1]對于模糊判斷矩陣P=(pij)n×n,若?i,j,k∈N,i≠j≠k.有pikpkjpji=pkipjkpij,則稱判斷矩陣P具有完全一致性。

    2 最優(yōu)化排序方法綜述

    2.1 最優(yōu)化排序方法

    設(shè)A=(aij)n×n為互反判斷矩陣,P=(pij)n×n為模糊(互補)判斷矩陣,則通過轉(zhuǎn)換公式可得互反判斷矩陣A=(aij)n×n。若P=(pij)n×n為完全一致性模糊判斷矩陣,則通過公式轉(zhuǎn)換得到的互反判斷矩陣A=(aij)n×n亦是完全一致性判斷矩陣。對于(完全一致性)互反判斷矩陣A=(aij)n×n,則通過轉(zhuǎn)換公式[1]可得(完全一致性)互補判斷矩陣P=(pij)n×n。

    設(shè)ω=(ω1,ω2,…,ωn)T是互反判斷矩陣A=(aij)n×n的排序向量,其中當(dāng)A為完全一致性互反判斷矩陣時,則有由轉(zhuǎn)換公式,有pij=,i,j∈N,則P是完全一致性模糊判斷矩陣。根據(jù)完全一致性模糊判斷矩陣的特性,有

    據(jù)此可導(dǎo)出如下幾個等式成立:

    若P是非一致性判斷矩陣,則上述等式均不成立。為了求解方案的排序向量,根據(jù)不同的優(yōu)化標準,給出以下幾種最優(yōu)化排序方法:

    (1)權(quán)的最小平方法(WLSM)

    當(dāng)判斷矩陣P不具有完全一致性,式(2)的等號不成立,則希望求得的排序向量ω=(ω1,ω2,…,ωn)T能夠使ωi盡量逼近于,從而構(gòu)造下列最優(yōu)化模型:

    利用Lagrange乘子法解上述有約束的純量優(yōu)化問題[5],得到優(yōu)化模型的解為

    ω=Q-1e/eTQ-1e

    其中,e=(1,1,…,1)T,

    根據(jù)矩陣理論,類似于文獻[6]的證明,可證得Q是正定矩陣,且Q-1非負,故有ω>0。

    (2)最小二乘法(LSM)

    上述模型是非線性最小二乘問題,文獻[7]給出了求解該優(yōu)化模型的簡潔的收斂迭代算法。

    (3)對數(shù)最小二乘法(LLSM)

    根據(jù)文獻[8]求解互反判斷矩陣的對數(shù)最小二乘優(yōu)化模型的方法,同理可解得上述優(yōu)化模型的解為

    (4)幾何最小二乘法(GLSM)

    基于文獻[9]提出的幾何最小二乘的思想,考慮式(2)的幾何意義,希望找到某點ω使得ω至式(2)所示平面方程的平方距離和最短,為此構(gòu)建以下模型:

    其中

    (5)χ2方法(CSM)

    文獻[10]在偏差函數(shù)中引入了數(shù)量統(tǒng)計中χ2擬合的優(yōu)化準則,提出了互反判斷矩陣的χ2排序方法。根據(jù)χ2排序方法的基本原理,在偏差函數(shù)中引入χ2擬合的優(yōu)化準則,構(gòu)造下列優(yōu)化模型:

    文獻[11]給出了求解該最優(yōu)化模型的收斂性迭代算法。

    (6)擴展最小二乘法(ELSM)

    文獻[12]給出了求解判斷矩陣的擴展最小二乘方法的收斂性迭代算法,同理上述模型亦可用該文獻給出的迭代算法求解排序向量。

    (7)最小偏差法(LDM)

    基于式(5),依據(jù)文獻給出的互反判斷矩陣最小偏差法,構(gòu)造下列優(yōu)化模型:

    文獻[13]證明了最小偏差法優(yōu)化模型的極小值的存在性與唯一性,并提出了LDM的收斂性迭代算法。

    (8)最小平方幾何距離法(LSGM)

    根據(jù)文獻[14]提出的點平面距離法的基本思想,給出下列優(yōu)化模型:

    令B=(bij)n×n,其中

    利用文獻[14]導(dǎo)出的點平面距離法的排序公式,解上述優(yōu)化模型可得

    ω=(BTB)-1e/eT(BTB)-1e

    (9)基于Fuzzy偏好關(guān)系的排序方法[2](FRM)

    文獻[2]給出了一個基于Fuzzy偏好關(guān)系的方案排序方法,構(gòu)造了下列帶有約束的最優(yōu)化模型

    并利用Lagrange乘子法求得上述模型的解為

    其中,

    (10)互補判斷矩陣排序的權(quán)的最小平方法[1](CWLSM)

    一般地,式(3)中等式不總能成立,為此文獻[1]引入偏差項fij=pjiωi-pijωj,i,j∈N,并構(gòu)造偏差函數(shù)

    顯然,偏差函數(shù)越F(ω)小越好,從而構(gòu)建以下優(yōu)化模型[1]:

    文獻[1]通過Lagrange乘子法解得排序向量為

    其中,

    (11)互補判斷矩陣的對數(shù)最小二乘法[3](CLLSM)

    文獻[3]依據(jù)式(1),引入擾動函數(shù)qij,有由擬合的角度考慮,使qij盡量接近于1,利用極小化函數(shù)來達到,給出下列優(yōu)化模型:

    解此優(yōu)化模型得

    3.2 排序方法比較分析

    針對上一節(jié)列舉出的目前常見的幾種模糊判斷矩陣最優(yōu)化排序方法,下面將對上述排序方法進行歸納總結(jié)和比較分析。事實上,根據(jù)模糊判斷矩陣與互反判斷矩陣之間的轉(zhuǎn)換公式,雖然轉(zhuǎn)換前后的兩種判斷矩陣在形式上發(fā)生了變化,但任意兩個方案之間的優(yōu)劣關(guān)系卻沒有改變,原有偏好信息的特征被完整地傳遞到新的判斷矩陣中。所以,可將轉(zhuǎn)換公式直接代入互反判斷矩陣的最優(yōu)化模型中,從而得到模型(M1)—(M8)。因此,上述模型的求解方法、一致性檢驗均與互反判斷矩陣是一致的。比如模型(M3)可看作將公式直接代入互反判斷矩陣的對數(shù)最小二乘法而得到的,而模型(M11)與之相比較可以看出,在對數(shù)運算規(guī)則下CLLSM與LLSM兩種方法是相同的。由此可見,模糊判斷矩陣的LLSM方法可以由互反判斷矩陣的LLSM法直接代入即可。

    另外,比較模型(M9)與(M10),由于模糊判斷矩陣P=(pij)n×n的互補性,即pji=1-pij,則有pjiωi-pijωj=ωi-(ωi+ωj)pij,故模型(M10)與模型(M9)是相同的。并且兩個模型各自對應(yīng)的解中矩陣Q2與Q1只相差一個系數(shù),即有Q1=2Q2,所以有因此,F(xiàn)RM與CWLSM兩種方法是完全相同的,故可將兩種方法統(tǒng)稱為CWLSM。

    基于上述分析,模糊判斷矩陣的最優(yōu)化排序方法的排序效果及保序性都應(yīng)與互反判斷矩陣相應(yīng)方法一致。因此,根據(jù)文獻[15]對各種互反判斷矩陣的排序方法的效果的研究、總結(jié),可得出CSM是排序效果最好的一種排序方法,且排序效果較好的排序算法有LSM、LLSM、LDM,而排序效果比較差的排序算法有WLSM、GLSM以及CWLSM。除此之外,對排序方法的比較還應(yīng)考慮算法的保序性。Saaty T L指出,當(dāng)判斷矩陣不完全一致時,保序性是決定排序方法優(yōu)劣的重要準則[16]。根據(jù)文獻[17]對各種判斷矩陣最優(yōu)化排序方法的保序性的理論分析,可以得到CSM、ELSM、LSGM具有良好的保序性。綜上所述,χ2方法(CSM)是相對最好的模糊判斷矩陣的最優(yōu)化排序方法。

    3 結(jié)論

    本文針對模糊判斷矩陣的方案排序問題,根據(jù)模糊判斷矩陣與互反判斷矩陣之間的轉(zhuǎn)換公式,將多種互反判斷矩陣的最優(yōu)化排序方法推廣至模糊判斷矩陣決策領(lǐng)域,并對常用最優(yōu)化排序方法進行了總結(jié),并初步分析各種方法排序結(jié)果的合理性,從而為決策者選擇合理的方案決策方法提供了理論依據(jù)。顯然,由于最優(yōu)化模型求解算法的復(fù)雜性,關(guān)于模糊判斷矩陣的最優(yōu)化排序方法的比較分析還有待今后更深入的比較研究。

    [1]徐澤水.互補判斷矩陣的兩種排序方法——權(quán)的最小平方法及特征向量法[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2002,(7).

    [2]樊治平,李洪燕.基于Fuzzy偏好關(guān)系的一種方案排序方法[J].東北大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),1999,20(6).

    [3]張衛(wèi),馬曉燕.模糊互補判斷矩陣的對數(shù)最小二乘法和對數(shù)最小一乘法[J].山東農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2006,37(2).

    [4]樊治平,姜艷萍,肖四漢.模糊判斷矩陣的一致性及其性質(zhì)[J].控制與決策,2001,16(1).

    [5]陳珽.決策分析[M].北京:科學(xué)出版社,1987.

    [6]王應(yīng)明,傅國偉.關(guān)于層次分析法中權(quán)的最小平方法的理論證明[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,1995,(1).

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    [11]王應(yīng)明,傅國偉.判斷矩陣排序的方法[J].管理工程學(xué)報,1994,8(1).

    [12]王應(yīng)明.一種用于判斷矩陣排序的擴展最小二乘方法[J].廈門大學(xué)學(xué)報,1997,36(2).

    [13]陳寶謙.層次分析的兩種新排序方法[J].系統(tǒng)工程學(xué)報,1990,5(2).

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    [15]袁家新.判斷矩陣的排序方法比較及其應(yīng)用研究[D].南京:南京理工大學(xué),2003.

    [16]Saaty T L,Vargas L G.Inconsistency and Rank Preservation[J].Journal of Mathematical Psychology,1984,28(2).

    [17]王應(yīng)明.判斷矩陣排序方法綜述[J].決策與決策支持系統(tǒng),1995,5(3).

    N945.25;O223

    A

    1002-6487(2011)07-0165-04

    國家自然科學(xué)基金資助項目(70901043)

    和媛媛(1981-),女,山東泰安人,博士,研究方向:決策分析、系統(tǒng)工程。

    (責(zé)任編輯/浩天)

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