非壽險(xiǎn)精算中的數(shù)據(jù)尾部擬合與保費(fèi)厘定

劉曼莉，李興緒

（云南財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，昆明650221）

非壽險(xiǎn)精算中的數(shù)據(jù)尾部擬合與保費(fèi)厘定

劉曼莉，李興緒

（云南財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，昆明650221）

文章討論了極值分布對(duì)非壽險(xiǎn)精算中損失數(shù)據(jù)尾部的擬合和保費(fèi)厘定方法，并進(jìn)行了實(shí)例計(jì)算。研究表明：必須對(duì)應(yīng)用極值分布的條件進(jìn)行檢驗(yàn)；對(duì)門(mén)限值確定的三種方法中自適應(yīng)選擇算法是較好方法；廣義帕累托分布參數(shù)MLE估計(jì)能得到比較精確的估計(jì)結(jié)果。文章還給出了非壽險(xiǎn)損失的超賠再保險(xiǎn)純保費(fèi)的計(jì)算方法。

廣義帕累托分布；尾部擬合；保費(fèi)厘定；非壽險(xiǎn)

0 引言

非壽險(xiǎn)是指除人身保險(xiǎn)以外的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，主要包括財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)、責(zé)任保險(xiǎn)、信用保險(xiǎn)、保證保險(xiǎn)等，在我國(guó)通常把非壽險(xiǎn)稱為財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)，也就是采用了所謂的廣義的財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)的概念。非壽險(xiǎn)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)以非壽險(xiǎn)精算為基礎(chǔ)。非壽險(xiǎn)精算主要是以非壽險(xiǎn)中的不確定性為研究對(duì)象，通過(guò)建立隨機(jī)模型對(duì)險(xiǎn)種損失進(jìn)行刻畫(huà)，研究未來(lái)的理賠規(guī)律，在此基礎(chǔ)上建立費(fèi)率厘定和準(zhǔn)備金提取等方面的理論基礎(chǔ)；通過(guò)對(duì)險(xiǎn)種的賠付數(shù)據(jù)進(jìn)行收集和分析，確定未來(lái)的費(fèi)率結(jié)構(gòu)，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)利用合理方法確定準(zhǔn)備金提取的額度及安排合理的再保險(xiǎn)方式等。精算在險(xiǎn)種的開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)、費(fèi)率厘定到準(zhǔn)備金的提取以及再保險(xiǎn)等方面都起到了核心作用。

非壽險(xiǎn)精算工作的基礎(chǔ)是損失數(shù)據(jù)分布擬合，在對(duì)非壽險(xiǎn)損失數(shù)據(jù)分布擬合中，經(jīng)常會(huì)遇到一些損失數(shù)額巨大的觀測(cè)值，一般的方法只能對(duì)數(shù)據(jù)分布的中心部分得到一個(gè)精確的數(shù)據(jù)生成過(guò)程，而不能很好擬合數(shù)據(jù)的尾部，即那些損失數(shù)額巨大的觀測(cè)并沒(méi)有得到精確的數(shù)據(jù)生成過(guò)程。面對(duì)這樣的問(wèn)題，將那些損失數(shù)額巨大的觀測(cè)值視為異常點(diǎn)而不予考慮，固然可以得到一個(gè)相對(duì)漂亮的模型，但對(duì)非壽險(xiǎn)企業(yè)的全面、客觀的風(fēng)險(xiǎn)控制和精算過(guò)程來(lái)說(shuō)卻是極為不科學(xué)的。王新軍[1]（2001）對(duì)非壽險(xiǎn)中的損失分布擬合方法進(jìn)行了討論，但沒(méi)有考慮數(shù)據(jù)尾部的擬合方法；Alexander J.McNeil[2]（1997）利用極值理論討論了非壽險(xiǎn)數(shù)據(jù)的尾部擬合問(wèn)題，但沒(méi)有對(duì)極值理論的應(yīng)用條件進(jìn)行檢驗(yàn)；Alexander J.McNeil[3](1998)還進(jìn)一步研究了利用極值理論和超越門(mén)限值的方法(Peak Over Threshold，簡(jiǎn)稱POT)對(duì)非壽險(xiǎn)數(shù)據(jù)尾部擬合的有效性。已有的研究成果，強(qiáng)調(diào)利用極值理論來(lái)擬合非壽險(xiǎn)數(shù)據(jù)尾部，而忽視了對(duì)其應(yīng)用條件的檢驗(yàn)和最優(yōu)門(mén)限值的選取研究。本文擬結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)，重點(diǎn)討論非壽險(xiǎn)數(shù)據(jù)尾部擬合中極值理論應(yīng)用條件檢驗(yàn)和最優(yōu)門(mén)限值的選取問(wèn)題，給出險(xiǎn)位超賠再保險(xiǎn)的純保費(fèi)計(jì)算方法，以期能對(duì)非壽險(xiǎn)損失的精算問(wèn)題有所借鑒。

1 研究方法及過(guò)程

在非壽險(xiǎn)損失分布的擬合過(guò)程，首先要做的工作是判斷損失數(shù)據(jù)是否存在一個(gè)厚尾，如果損失數(shù)據(jù)不具有厚尾，一般的正態(tài)分布或者對(duì)數(shù)正態(tài)分布就能夠?qū)p失數(shù)據(jù)的尾部進(jìn)行精確的描述；其次，一旦確定損失數(shù)據(jù)的尾部的確存在厚尾，方法之一是應(yīng)用極值理論中的廣義帕累托分布來(lái)擬合損失數(shù)據(jù)；但并不是所有存在厚尾的數(shù)據(jù)都可以應(yīng)用廣義帕累托分布來(lái)擬合，必須進(jìn)行應(yīng)用條件的最大吸引域條件檢驗(yàn)；再次，在確定可以使用廣義帕累托分布來(lái)擬合存在厚尾的數(shù)據(jù)之后，一個(gè)重要的問(wèn)題就是對(duì)損失數(shù)據(jù)進(jìn)行分割，即找到一個(gè)科學(xué)的、適當(dāng)?shù)拈T(mén)限值。只有找到了一個(gè)恰當(dāng)?shù)拈T(mén)限值，對(duì)廣義帕累托分布的參數(shù)估計(jì)才能得到一個(gè)合理的結(jié)果。

1.1 厚尾的檢測(cè)

對(duì)損失數(shù)據(jù)是否存在厚尾的檢測(cè)方法主要有：指數(shù)QQ圖和平均超出函數(shù)。

（1）指數(shù)QQ圖。對(duì)損失數(shù)據(jù)與標(biāo)準(zhǔn)的指數(shù)分布作QQ圖是判斷損失數(shù)據(jù)是否存在厚尾的重要方法之一，它可以直觀的檢驗(yàn)損失數(shù)據(jù)是否來(lái)自于指數(shù)分布的原假設(shè)。QQ圖可以寫(xiě)為下面的形式：

其中，Xk,n表示順序統(tǒng)計(jì)量，G0,1-1表示指數(shù)分布 （或者廣義帕累托分布）。

如果損失數(shù)據(jù)來(lái)自于一個(gè)指數(shù)分布，那么QQ圖將近似于一條直線。一般地，一個(gè)凹面的偏離直線的QQ圖被認(rèn)為是損失數(shù)據(jù)存在厚尾的分布特性；一個(gè)凸面的偏離直線的QQ圖被認(rèn)為是損失數(shù)據(jù)存在短尾的分布特性。

（2）平均超出函數(shù)。平均超出函數(shù)是對(duì)損失數(shù)據(jù)厚尾進(jìn)行檢測(cè)的方法之一。定義為：

其中，F(xiàn)u(x)=F[u](x+u)=,x≥0

當(dāng)平均超出函數(shù)表現(xiàn)為一條直線時(shí)，認(rèn)為損失數(shù)據(jù)存在厚尾。但平均超出函數(shù)總體上是未知的，在實(shí)際應(yīng)用中用樣本平均超出函數(shù)來(lái)近似。樣本平均超出函數(shù)為：

{(u,en(u)),Xn,n

其中，en(u)=，Xn,n為順序統(tǒng)計(jì)量。

1.2 最大吸引域檢驗(yàn)

在對(duì)樣本極值進(jìn)行研究中被證明十分重要的分布是極值分布族。這個(gè)極值分布族可以表示為：

其中 γ，-∞<μ<∞，∞>0，這個(gè)模型有三個(gè)參數(shù)：位置參數(shù)μ，刻度參數(shù)σ，形狀參數(shù)γ。形狀參數(shù)γ稱為廣義極值分布（GEV）的極值指數(shù),也稱為尾指數(shù)；作為廣義極值分布的三個(gè)特例，當(dāng) γ>0時(shí)為 Fréchet分布；當(dāng) γ<0時(shí)為 Weibull分布；當(dāng)γ=0時(shí)為Gumbel分布。在廣義極值分布中，我們的任務(wù)就變?yōu)橥ㄟ^(guò)數(shù)據(jù)推斷極值指數(shù)，而不需要預(yù)先確定極值分布的形式。

Fisher-Tippett定理 假設(shè)有來(lái)自分布F的相互獨(dú)立的隨機(jī)觀測(cè)X1,X2…Xn…,將前n個(gè)觀測(cè)值的最大值表示為Mn=max(X1…Xn)，那么如果存在適當(dāng)?shù)某?shù)列an>0和bn，使得正態(tài)化的極大值序列(Mn-bn)/an，收斂到下面的非退化分布G(x)，即有成立。如果這個(gè)條件成立，則稱分布F屬于極值分布G(x)的最大吸引域，表示為F∈MDA(G)。Fisher-Tippett[6](1928)年證明：

F∈MDA(G)圯G對(duì)于某個(gè)形狀參數(shù)γ成立

使得條件(1)成立的分布F有很多，但是并不是所有的分布都能滿足條件(1),例如poisson分布和幾何分布就不屬于極值分布的最大吸引域。

在上面的定義下，極值最大吸引域檢驗(yàn)的原假設(shè)可以表述為：

H0:F∈D(Gγ)for somereal γ

Dietrich et al[7](2002)年提出了一個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，記為En，這個(gè)統(tǒng)計(jì)量定義為：

對(duì)于某個(gè)η>0，統(tǒng)計(jì)量En收斂到下面的分布

其中 γ+=max(γ,0),γ-=min(γ,0),W 是一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)，隨機(jī)變量 P 和 P 是與布朗運(yùn)動(dòng)有關(guān)的積分。和分別是對(duì) γ+和γ-的估計(jì)量，在這里估計(jì)方法被指定為矩估計(jì)。因此，隨機(jī)變量Eγ只與γ和η的取值有關(guān)。為了完成檢驗(yàn)，首先必須選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)摩侵?，這個(gè)問(wèn)題Dietrich et al(2002)只討論了η=2 的情況，Jürg Hüsler和 Deyuan Li[8](2006)對(duì)最優(yōu) η 的選擇問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)討論。在確定了η的值之后，必須利用矩估計(jì)計(jì)算和，然后計(jì)算(2)中的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。接下來(lái)要計(jì)算分布 E贊對(duì)應(yīng)的分位數(shù) Q贊,如果贊<0，必須利用 線 性插值來(lái) 計(jì)

γ1-α,γ算分位數(shù) Q1-α,γ贊。

其中，γ贊=γ贊++γ贊-。 最后，將檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值與臨界值比較，α 為置信水平，如果En>Q1-α,γ贊，那么在犯第一類(lèi)錯(cuò)誤為 α 的水平下，拒絕原假設(shè)。

1.3 門(mén)限值的選取

門(mén)限值的選取在廣義帕累托模型建立中具有十分重要的地位，如果門(mén)限值選取的過(guò)大，那么模型將建立在極少的觀測(cè)點(diǎn)上，結(jié)果通常是偏差比較小，卻存在這很大的方差；如果門(mén)限值選取的過(guò)小，那么模型將建立在比較多的觀測(cè)點(diǎn)之上，隨之而來(lái)的一個(gè)問(wèn)題是雖然估計(jì)有比較小的方差，但偏差卻可能很大。因此，對(duì)門(mén)限值的選取一直是一個(gè)難點(diǎn)和熱點(diǎn)。

常用的門(mén)限值選取方法就是樣本平均超出函數(shù)。當(dāng)樣本平均函數(shù)尾部在超過(guò)某一個(gè)點(diǎn)后呈現(xiàn)為一個(gè)正斜率的直線時(shí)，通常認(rèn)為損失數(shù)據(jù)存在尾部，并且將這個(gè)拐點(diǎn)作為門(mén)限值。

對(duì)門(mén)限值選取的另一種方法就是觀測(cè)Hill指數(shù)圖。Hill指數(shù)圖就是不同的門(mén)限值與相對(duì)應(yīng)的Hill估計(jì)繪制的圖形，通過(guò)觀測(cè)Hill指數(shù)圖中門(mén)限值從大到小時(shí)，所對(duì)應(yīng)的Hill估計(jì)的第一個(gè)平穩(wěn)區(qū)域來(lái)選擇門(mén)限值。Bruce.M.Hill[9]（1975）年在γ>0的條件下構(gòu)造的形狀參數(shù)的非參數(shù)化估計(jì)方法，Hill估計(jì)的形式為：

Hill估計(jì)γ贊nH既可以基于最大似然估計(jì)得到（Hill(1975)），也可以通過(guò)平均超出函數(shù)得到（P.Embrechts[10]等人（1997））。本文應(yīng)用超越門(mén)限值數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的自適應(yīng)選擇算法來(lái)選擇門(mén)限值。令γk,n表示基于k個(gè)超越門(mén)限值的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的形狀參數(shù)估計(jì)值，用med(γ1,n,…γk,n)表示這組形狀參數(shù)估計(jì)的中位數(shù)，通過(guò)最小化下式就可以選擇出一個(gè)k*：

1.4 廣義帕累托分布的參數(shù)估計(jì)

在極值理論中對(duì)超越一定門(mén)限值的數(shù)據(jù)進(jìn)行描述的一個(gè)分布是廣義帕累托分布，它可以表示為下式：

廣義帕累托分布也可以表示為三個(gè)子分布：在γ=0時(shí)為指數(shù)（Exponential）分布，當(dāng) γ>0 時(shí)為帕累托（Pareto）分布，當(dāng)γ<0 時(shí)為貝塔（Beta）分布。

Balkema-de Haan-Pickands定理 定義分布F的右端點(diǎn)為ω(F):=sup(x:F(x)<1)，那么超越一個(gè)門(mén)限值之后的截?cái)喑介T(mén)限值u分布函數(shù)可以定義為：

對(duì)于0≤x<ω(F)-u成立。Balkema和de Haan[11](1974),Pickands[12](1975)證明了在滿足極值理論最大吸引域條件下，當(dāng)門(mén)限值趨于分布的右端點(diǎn)時(shí)，廣義帕累托分布是這些超越門(mén)限值數(shù)據(jù)的極限分布。即有：

|Fu(x)-Wγ,u,σu(x)|→0,u→ω(F)當(dāng)且僅當(dāng)F∈MDA(G)時(shí)成立。

在X1…Xn獨(dú)立且服從廣義帕累托分布的條件下，廣義帕累托分布的極大似然估計(jì)方法必須在一個(gè)迭代算法下才能得到結(jié)果，有關(guān)帕累托分布的極大似然估計(jì)方法請(qǐng)參考Prescott,P.and Walden,A.T[13](1980)。 此外，Smith[14](1985)詳細(xì)研究了這個(gè)問(wèn)題并得到了如下結(jié)論：

當(dāng)γ>-0.5時(shí)，最大似然估計(jì)是正則的，在這個(gè)意義下具有通常的漸近性質(zhì)。在廣義帕累托分布中，(γ,σ)的極大似然估計(jì)具有漸近正態(tài)性，其具有方差協(xié)方差矩陣為∑/k。其中：

如果 γ>1/2，γ贊k的漸近方差為(1+γ)2/k。 當(dāng)-1<γ<-0.5 時(shí)，最大似然估計(jì)一般可以得到，但不具有標(biāo)準(zhǔn)的漸近性質(zhì)；當(dāng)γ<-1時(shí)，最大似然估計(jì)一般不可能得到；幸運(yùn)的是，在實(shí)際建模中，γ<-0.5很難碰到，特別是在保險(xiǎn)中，均有γ>0。所以最大似然估計(jì)在理論上的局限性并不妨礙其在保險(xiǎn)精算實(shí)務(wù)中的應(yīng)用。

1.5 尾部擬合

如果可以用一個(gè)廣義帕累托分布來(lái)擬合超越門(mén)限值u之后的截?cái)喑介T(mén)限值的條件分布函數(shù)，Resis和Thomas[15](1996)證明也可以用廣義帕累托分布來(lái)描述損失數(shù)據(jù)分布的尾部，即有：

F(x)=P(X≤x)=(1-P{X≤u})Fu(x-u)+P{X≤u}（x≥u）

在門(mén)限值趨于右端點(diǎn)的條件下，可以用一個(gè)廣義帕累托分布Wγ,u,σu(x)來(lái)估計(jì)Fu(x-u)。此外可以用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)來(lái)估計(jì)P{X≤u}。那么在x≥u條件下，就可以得到損失數(shù)據(jù)分布函數(shù)的尾部估計(jì)為：

很顯然，F(xiàn)(x)也是一個(gè)廣義帕累托分布，并且與超越門(mén)限值之后的截?cái)喑介T(mén)限值分布函數(shù)有相同的形狀參數(shù)，只不過(guò)位置參數(shù)和刻度參數(shù)進(jìn)行了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。

表1 描述統(tǒng)計(jì)表

1.6 保費(fèi)厘定

假設(shè)所研究的保單是同質(zhì)的，并且其理賠次數(shù)分布服從泊松分布，而理賠額分布在超越門(mén)限值后服從廣義帕累托分布。那么，可以計(jì)算險(xiǎn)位超賠再保險(xiǎn)(Excess of loss)的純保費(fèi)。所謂險(xiǎn)位超賠再保險(xiǎn)就是如果發(fā)生的保險(xiǎn)賠款在保險(xiǎn)公司的自負(fù)金額之內(nèi)，則由保險(xiǎn)公司自己負(fù)責(zé)賠償；若發(fā)生的保險(xiǎn)賠款超過(guò)了保險(xiǎn)公司的自負(fù)額，則由再保險(xiǎn)公司賠付。

令F=Wγ,u,σ是一個(gè)廣義帕累托分布，E(X)是廣義帕累托分布的均值。那么復(fù)合泊松分布的均值，即純保費(fèi)就是：

從式（5）就可以看出，要計(jì)算純保費(fèi)，我們必須得到參數(shù)λ,γ,σ的估計(jì)值。注意到索賠次數(shù)的均值λ=E(N),可以由下面公式估計(jì)：

如果用γN(T)和σN(T)表示廣義帕累托分布的形狀參數(shù)和刻度參數(shù)，那么廣義帕累托分布WγN(T),u,σN(T)的均值可以表示為：

注意到此時(shí)的廣義帕累托分布就是理賠額分布，那么表達(dá)式（7）實(shí)際上給出了相應(yīng)的再保險(xiǎn)公司平均理賠額。因此，在復(fù)合泊松假設(shè)下，再保險(xiǎn)公司的純保費(fèi)可以由下面公式給出：

2 實(shí)例計(jì)算

2.1 數(shù)據(jù)來(lái)源及描述

數(shù)據(jù)來(lái)源于云南省職工醫(yī)療互助中心2006年共9193個(gè)損失數(shù)據(jù)（不包括損失少于1000元的數(shù)據(jù)），首先對(duì)數(shù)據(jù)的基本統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行分析。

平均來(lái)說(shuō)，損失額的均值為9.85千元 。通過(guò)對(duì)1/4分位數(shù)、1/2分位數(shù)和3/4分位數(shù)的比較不難看出，1/2分位數(shù)與3/4分位數(shù)之間的變動(dòng)比1/4分位數(shù)與1/2分位數(shù)之間的變動(dòng)要大；數(shù)據(jù)最大值為781.70千元，顯然這是十分巨大的損失數(shù)據(jù)，是平均損失的數(shù)十倍；此外，從偏度系數(shù)和峰度系數(shù)可以看出，數(shù)據(jù)是右偏且尖峰的。所有的這些特征說(shuō)明，數(shù)據(jù)是一個(gè)尖峰的、右偏的、具有典型的非壽險(xiǎn)損失分布形狀的分布。

2.2 對(duì)數(shù)據(jù)厚尾的檢測(cè)

對(duì)損失數(shù)據(jù)作指數(shù)QQ圖（見(jiàn)圖1）?？梢钥闯?，損失數(shù)據(jù)與指數(shù)分布之間存在這一個(gè)凹面的偏離，這說(shuō)明數(shù)據(jù)存在這厚尾特征。

下面給出平均超出函數(shù)圖與損失數(shù)據(jù)的樣本平均超出函數(shù)圖（見(jiàn)圖2）。

從平均超出函數(shù)圖與樣本平均超出函數(shù)圖可以看出尾部損失數(shù)據(jù)應(yīng)該可以用一個(gè)廣義帕累托分布來(lái)擬合。

通過(guò)上面的指數(shù)QQ圖和樣本平均超出函數(shù)圖可以初步判斷，損失分布具有一個(gè)厚尾特征并可以用廣義帕累托分布來(lái)擬合。

2.3 最大吸引域檢驗(yàn)

利用Dietrich et al(2002)年提出了一個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，記為En，來(lái)檢驗(yàn)是否滿足極值分布的最大吸引域問(wèn)題。在計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的時(shí)，令k為升序順序統(tǒng)計(jì)后部觀測(cè)的個(gè)數(shù)。在這里令最小的k＝20，因?yàn)槿绻岛苄?，將得到方差很大的形狀參?shù)估計(jì)值，最大的k＝1000，它大約占總觀測(cè)個(gè)數(shù)的10.88%。因?yàn)槿绻^(guò)大，將不能滿足極值定理成立的條件。并讓以等差為5的序列遞增，并計(jì)算相應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。

從圖3可以看出，當(dāng)k的取值比較小的時(shí)候，沒(méi)有充分的理由拒絕分布屬于極值分布的最大吸引域的原假設(shè)，即認(rèn)為 F∈MDA(Gγ)成立，為了能夠準(zhǔn)確的確定使 F∈MDA(Gγ)成立的K值，可參見(jiàn)圖4對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)表，其中給出了升序順序統(tǒng)計(jì)量后部數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)k，正態(tài)化參數(shù)，an，bn檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量等值。從表中可以看出滿足極值分布最大吸引域的k值為345。因此，En統(tǒng)計(jì)量也為選取符合極值分布最大吸引域條件的最大k值選取提供了重要信息。

由上面的檢驗(yàn)結(jié)果可以看出，選擇的k值小于等于345的時(shí)候，可以認(rèn)為損失分布的潛在分布屬于極值分布的最大吸引域，即 F∈MDA(Gγ)成立。

圖1 指數(shù)QQ圖

圖2 平均超出函數(shù)圖（左）與樣本平均超出函數(shù)圖（右）

圖 3 En檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量圖

2.4 門(mén)限值的確定

一個(gè)常用的直觀的門(mén)限值選擇方法就是樣本平均超出函數(shù)，圖2已經(jīng)給出了全部損失數(shù)據(jù)的樣本平均超出函數(shù)圖。下面對(duì)樣本升序順序統(tǒng)計(jì)量的后1000個(gè)數(shù)據(jù)作平均超出函數(shù)圖（見(jiàn)圖4），以期能對(duì)數(shù)據(jù)尾部有一個(gè)更加準(zhǔn)確的把握，之所以選擇K＝1000，是因?yàn)樗s占總樣本的10.88%。一般認(rèn)為，K選取應(yīng)該滿足使它占總樣本的比例在10%左右。

從圖5可以看出，總的來(lái)說(shuō)損失數(shù)據(jù)的尾部平均超出函數(shù)圖比較復(fù)雜，從右向左看，從最右端點(diǎn)到圖形中“▽”所表示的點(diǎn)的位置之間似乎有一個(gè)相同的斜率；而從“▽”到“◇”之間的點(diǎn)似乎有一個(gè)更大的斜率；通過(guò)計(jì)算找出對(duì)應(yīng)的門(mén)限值依次為41.6和38.6；相應(yīng)的升序順序統(tǒng)計(jì)后部數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)依次為158和186，并不能確定到底選取哪個(gè)門(mén)限值比較合適。

圖4 k＝1000時(shí)的樣本平均超出函數(shù)圖

圖5 Hill指數(shù)圖

對(duì)門(mén)限值選取的另一中方法就是通過(guò)觀測(cè)Hill圖。對(duì)＝1000時(shí)的數(shù)據(jù)作Hill圖，（見(jiàn)圖5）所示，從圖中可以看出，“□”內(nèi)所標(biāo)識(shí)的部分是Hill估計(jì)的第一個(gè)比較平穩(wěn)的部分，此外圖中還給出了Hill估計(jì)的95%的置信區(qū)間，我們選擇估計(jì)值比較平穩(wěn)而且標(biāo)準(zhǔn)差比較小的點(diǎn)作為門(mén)限值。通過(guò)Hill估計(jì)表可以得到這個(gè)穩(wěn)定區(qū)域?qū)?yīng)的門(mén)限值為（37.01，40.28），相應(yīng)的 k 值為（206，165）。 此外，值得注意的是，在這個(gè)門(mén)限值區(qū)間內(nèi)對(duì)應(yīng)的尾指數(shù)α的估計(jì)值取值在（2.42，2.37）之間。

綜合樣本平均超出函數(shù)圖和尾指數(shù)的Hill估計(jì)圖，可以對(duì)門(mén)限值的選取有一個(gè)初步的判斷，可以初步判定門(mén)限值應(yīng)該位于（37.01，41.58）之間。本文利用自適應(yīng)選擇算法，且形狀參數(shù)估計(jì)γk,n使用最大似然估計(jì)，對(duì)門(mén)限值的選取結(jié)果為41.12（k=162），在樣本平均超出函數(shù)圖和尾指數(shù)的Hill估計(jì)圖判定的門(mén)限值區(qū)間內(nèi)。

2.5尾部擬合——廣義帕累托模型的估計(jì)

通過(guò)前文研究，可以認(rèn)為職工醫(yī)療互助損失數(shù)據(jù)具有厚尾特征，通過(guò)最大吸引域檢驗(yàn)認(rèn)為可以用極值理論的分布來(lái)擬合尾部數(shù)據(jù)，利用樣本平均超出函數(shù)圖、尾指數(shù)的Hill估計(jì)圖和自適應(yīng)選擇算法確定了數(shù)據(jù)尾部的門(mén)限值。下面利用極大似然估計(jì)法來(lái)估計(jì)數(shù)據(jù)尾部的廣義帕累托模型參數(shù)（見(jiàn)表 2）。

表2 廣義帕累托模型的極大似然估計(jì)結(jié)果

可以通過(guò)截?cái)喾植紨M合、尾分布擬合、殘差分布以及殘差擬合等來(lái)進(jìn)行進(jìn)一步的檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛿M合情況。

其他估計(jì)方法的估計(jì)效果比較見(jiàn)圖7。極大似然估計(jì)(MLE)最接近樣本平均超出函數(shù)，Dress-Pickands估計(jì)和Moment估計(jì)分別位于樣本平均超出函數(shù)的上部和下部，Hill估計(jì)顯然低估了尾部的厚尾程度。總的來(lái)說(shuō)，用極大似然估計(jì)得到了比較精確的估計(jì)結(jié)果。此外，從圖7可以看出樣本平均超出函數(shù)雖然有一些波動(dòng)，但是總的趨勢(shì)是向上的，這保證了廣義帕累托分布擬合的有效性。

圖 6 截?cái)喾植紨M合圖（1）、尾部分布擬合圖（2）、殘差分布圖（3）、殘差擬合檢驗(yàn)圖（4）

圖7 不同估計(jì)方法下的廣義帕累托分布所對(duì)應(yīng)的平均超出函數(shù)

2.6 純保費(fèi)的計(jì)算

在職工醫(yī)療互助損失數(shù)據(jù)尾部廣義帕累托分布擬合的基礎(chǔ)上，計(jì)算尾部損失數(shù)據(jù)的純保費(fèi)，首先給出平均理賠次數(shù)的估計(jì)（0.0678），然后利用公式（7）和（8）估計(jì)純保費(fèi)，估計(jì)結(jié)果為：再保險(xiǎn)公司的平均理賠額為74.59千元，再保險(xiǎn)純保費(fèi)為5.06千元。

3 結(jié)論

論文對(duì)非壽險(xiǎn)精算中損失數(shù)據(jù)尾部的擬合方法和保費(fèi)厘定進(jìn)行了研究，貢獻(xiàn)在于：第一，系統(tǒng)地介紹了非壽險(xiǎn)精算中損失數(shù)據(jù)尾部的擬合和保費(fèi)厘定方法，并給出了實(shí)例計(jì)算；第二，認(rèn)為在用極值理論的分布族中的分布來(lái)擬合尾部數(shù)據(jù)時(shí)，必須對(duì)應(yīng)用極值理論的條件進(jìn)行檢驗(yàn)，論文系統(tǒng)介紹了最大吸引域的條件檢驗(yàn)方法；第三，對(duì)門(mén)限值得三種方法 （樣本平均超出函數(shù)圖、Hill指數(shù)圖和自適應(yīng)選擇算法）進(jìn)行了比較，認(rèn)為自適應(yīng)選擇算法選取方法是最優(yōu)的選取方法，利用這一方法給出的最優(yōu)門(mén)限值將能充分保證廣義帕累托分布中形狀參數(shù)估計(jì)的穩(wěn)定性；第四，結(jié)合實(shí)例對(duì)數(shù)據(jù)尾部的廣義帕累托分布參數(shù)估計(jì)方法（Dress-Pickands估計(jì)、Moment估計(jì)、Hill估計(jì)和MLE估計(jì)）進(jìn)行了比較，認(rèn)為MLE估計(jì)得到了比較精確的估計(jì)結(jié)果；第五，充分利用廣義帕累托分布的性質(zhì)和優(yōu)點(diǎn)給出了非壽險(xiǎn)巨額損失的超賠再保險(xiǎn)的純保費(fèi)計(jì)算方法。本文的研究對(duì)于實(shí)際工作者來(lái)說(shuō)具有一定的參考價(jià)值，但論文沒(méi)有對(duì)非壽險(xiǎn)損失分布的厚尾在不能利用極值分布時(shí)的擬合問(wèn)題開(kāi)展討論，這是一個(gè)有待進(jìn)一步研究的問(wèn)題，也是筆者將進(jìn)一步研究的方向。

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（責(zé)任編輯/亦 民）

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1002－6487（2011）04－0014-05