考慮價(jià)值漏損的風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目實(shí)物期權(quán)定價(jià)方法

魯 皓,張宗益

（1.重慶大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與工商管理學(xué)院，重慶 400030；2.重慶交通大學(xué) 理學(xué)院，重慶 400024）

考慮價(jià)值漏損的風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目實(shí)物期權(quán)定價(jià)方法

魯 皓1，2,張宗益1

（1.重慶大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與工商管理學(xué)院，重慶 400030；2.重慶交通大學(xué) 理學(xué)院，重慶 400024）

與金融資產(chǎn)相比，實(shí)物資產(chǎn)本身往往具有現(xiàn)金流動(dòng)性和持有收益率的特性,因此在對(duì)項(xiàng)目?jī)r(jià)值進(jìn)行估價(jià)時(shí),有必要考慮價(jià)值漏損的存在。文章在CA方法的基礎(chǔ)上增加了對(duì)資產(chǎn)價(jià)值漏損的考慮，以二叉樹模型為基礎(chǔ)建立了包含價(jià)值漏損的實(shí)物期權(quán)定價(jià)方法。并通過算例將該方法與傳統(tǒng)CA方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

實(shí)物期權(quán)；MAD假設(shè)；二叉樹；價(jià)值漏損

0 引言

風(fēng)險(xiǎn)投資是一種新興的投資機(jī)制，是由風(fēng)險(xiǎn)投資家向投資者募集資金，對(duì)新興的、迅速發(fā)展的、有巨大競(jìng)爭(zhēng)潛力的企業(yè)注資，并在投資后提供管理經(jīng)營等增值服務(wù)以使被投資企業(yè)能夠迅速發(fā)展，最終獲得高資本收益的投資行為。在風(fēng)險(xiǎn)投資過程中，投資家為了規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，往往會(huì)根據(jù)市場(chǎng)變化，靈活決定項(xiàng)目投資時(shí)間、規(guī)模和方式。這種相機(jī)選擇行為賦予了風(fēng)險(xiǎn)投資家一種 “沒有義務(wù)的權(quán)利”，Myers將這種權(quán)利定義為實(shí)物期權(quán)[1]。關(guān)于這些期權(quán)的價(jià)值分析因此構(gòu)成風(fēng)險(xiǎn)投資決策的基礎(chǔ)。

迄今為止，風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目的實(shí)物期權(quán)定價(jià)方法主要可分為兩類：一類是以Black Scholes公式為基礎(chǔ)的連續(xù)時(shí)間模型。盡管這類模型理論上很完美，但在實(shí)際應(yīng)用中往往會(huì)因?yàn)閿?shù)學(xué)方法復(fù)雜、前提假設(shè)嚴(yán)格、結(jié)果不夠直觀而受到種種限制；另一類是以二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型為基礎(chǔ)的離散型模型[2]。二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型將項(xiàng)目預(yù)期收益的變化近似地看成離散的隨機(jī)游走過程，其優(yōu)點(diǎn)在于簡(jiǎn)單直觀，極限結(jié)果正好與著名的Black Scholes公式相符合，但是卻存在著兩個(gè)明顯的缺點(diǎn)：一是由于每一節(jié)點(diǎn)僅有兩種可能的狀態(tài)，要獲得較多的狀態(tài)就必須不斷地細(xì)分時(shí)間區(qū)間，增加結(jié)點(diǎn)，從而導(dǎo)致計(jì)算量迅速增大；二是需要找到同該資產(chǎn)完全相關(guān)的“孿生證券”以獲得表示風(fēng)險(xiǎn)的波動(dòng)率。為此許多學(xué)者又對(duì)二項(xiàng)式模型進(jìn)行了擴(kuò)展。Smith and Nau提出將二項(xiàng)式模型與決策樹相結(jié)合[3]（MNS方法），用二項(xiàng)式模型處理市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，用決策樹模型處理技術(shù)風(fēng)險(xiǎn)。決策樹的引入大大方便了模型的計(jì)算，但是在現(xiàn)實(shí)中市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)和技術(shù)風(fēng)險(xiǎn)卻往往難以區(qū)分；為解決這一問題，Copeland和Antikarov提出了更為通用的方法（CA方法），用不含柔性的項(xiàng)目現(xiàn)值作為標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的“孿生證券”（MAD假設(shè)），再根據(jù)對(duì)現(xiàn)金流的蒙特卡羅模擬分析獲得綜合反映項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)的波動(dòng)率，最后采用二叉樹模型對(duì)實(shí)物期權(quán)定價(jià)[4]。在CA方法的基礎(chǔ)上，Oriani和Sobrero結(jié)合風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目多階段投資的特征,構(gòu)建了多階段期權(quán)定價(jià)模型,并用模型分析了英國290家制造業(yè)企業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目情況[5]。

然而，就作者所知，現(xiàn)有文獻(xiàn)鮮有考慮實(shí)物資產(chǎn)可能產(chǎn)生的價(jià)值漏損問題。價(jià)值漏損是指期權(quán)合約持有者沒有得到標(biāo)的資產(chǎn)持有收益率和現(xiàn)金流的現(xiàn)象。目前的研究中實(shí)物期權(quán)價(jià)值多由動(dòng)態(tài)復(fù)制方法決定，這種方法決定了在期權(quán)和復(fù)制組合之間不存在套利機(jī)會(huì)，因此價(jià)值漏損問題便無從考慮。但在實(shí)際上,很多實(shí)物資產(chǎn)都存在價(jià)值漏損現(xiàn)象（比如股利分紅，利息等）。價(jià)值漏損的存在會(huì)改變標(biāo)的實(shí)物資產(chǎn)價(jià)值的演化路徑，從而影響到期權(quán)價(jià)值和項(xiàng)目?jī)r(jià)值[6]。因此本文針對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值漏損情況，對(duì)CA方法進(jìn)行了相應(yīng)的調(diào)整，以期提高期權(quán)定價(jià)模型的準(zhǔn)確性。

1 模型與評(píng)估方法

1.1 問題描述

風(fēng)險(xiǎn)投資公司擬分階段投資于某項(xiàng)目。項(xiàng)目的投資有效期可劃分為N個(gè)時(shí)長為△t的階段，t階段的投資為It。假設(shè)在△t內(nèi)資產(chǎn)價(jià)值從起始值V分別以風(fēng)險(xiǎn)中性概率p和1-p隨機(jī)移動(dòng)到新值Vu和Vd，其中，r為無風(fēng)險(xiǎn)利率，則u>1,d<1，即從V到Vu是價(jià)值上升運(yùn)動(dòng),而從V到Vd是價(jià)值下降運(yùn)動(dòng)。因此在t=1時(shí)項(xiàng)目?jī)r(jià)值只有一種可能V；在t=2時(shí)項(xiàng)目?jī)r(jià)值有兩種可能狀態(tài)Vu和Vd；t=i時(shí)，項(xiàng)目?jī)r(jià)值有種可能狀態(tài)：

1.2 未考慮價(jià)值漏損的實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型

Copeland和Antikarov提出了MAD假設(shè)，即用不含靈活性的現(xiàn)金流現(xiàn)值作為標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的“孿生證券”。并以此為基礎(chǔ)，建立了通用的實(shí)物期權(quán)定價(jià)方法（CA方法）。該方法可分為如下四個(gè)步驟：

（1）通過DCF定價(jià)模型計(jì)算項(xiàng)目現(xiàn)值。第i期的項(xiàng)目?jī)r(jià)值為：，其中μ為風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整貼現(xiàn)率，Ct為第i期的項(xiàng)目現(xiàn)金流。

（2）通過Monte Carlo法模擬項(xiàng)目收益，計(jì)算表示項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)的波動(dòng)率σ。

（3）根據(jù)各時(shí)期各狀態(tài)下的項(xiàng)目?jī)r(jià)值得到資產(chǎn)價(jià)格二叉樹。

（4）識(shí)別所有的實(shí)物期權(quán)，進(jìn)行實(shí)物期權(quán)分析。從最后期間開始在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上計(jì)算每個(gè)期權(quán)的價(jià)值，將期權(quán)價(jià)值與所需的投資比較，在每個(gè)節(jié)點(diǎn)標(biāo)記最大值。再用復(fù)制技術(shù)沿決策樹倒推，在樹的起始點(diǎn)獲得含有靈活性的項(xiàng)目?jī)r(jià)值。

CA方法的優(yōu)點(diǎn)在于直觀、靈活，在保留現(xiàn)金流折現(xiàn)分析外觀形式的同時(shí)，還自然地列出了不確定性和或有決策的各種結(jié)果，并根據(jù)孿生證券的價(jià)值推演出期權(quán)價(jià)值。然而在實(shí)際工作中，由于價(jià)值“漏損”的存在,期權(quán)價(jià)值與孿生證券價(jià)值之間往往存在一定的偏差,從而影響到期權(quán)價(jià)值。因此在給項(xiàng)目定價(jià)的時(shí)候，有必要在期權(quán)定價(jià)模型中增加對(duì)價(jià)值漏損的考慮,以提高期權(quán)定價(jià)模型的準(zhǔn)確性。

2 考慮價(jià)值漏損的實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型

所謂價(jià)值漏損是指期權(quán)合約持有者沒有得到標(biāo)的資產(chǎn)的持有收益率和現(xiàn)金流的現(xiàn)象。多數(shù)實(shí)物資產(chǎn)都存在價(jià)值漏損，這些漏損要么以直接的現(xiàn)金流形式存在(如股利的分紅、租金、利息),要么以隱含的持有收益率形式存在（如把持有的商品存貨供應(yīng)給市場(chǎng)得收益）。每當(dāng)支付日來臨時(shí)，這些現(xiàn)金流或便利收益會(huì)使得項(xiàng)目?jī)r(jià)值發(fā)生跳躍性的降低。因此為簡(jiǎn)化計(jì)算，可將價(jià)值漏損視為標(biāo)定資產(chǎn)的比例部分?？紤]到風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目的進(jìn)展管理是多階段決策過程，可進(jìn)一步設(shè)定該比例會(huì)隨著階段的變化而變化。這一設(shè)定是基于項(xiàng)目往往在不同時(shí)段呈現(xiàn)出不同特征的事實(shí)。實(shí)際上，產(chǎn)品成功推向市場(chǎng)需要往往要經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)室研究階段、中試階段以及產(chǎn)品商業(yè)化階段。每個(gè)階段技術(shù)風(fēng)險(xiǎn)和市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)會(huì)有不同的分布狀況，此外，即使是相同的因素，在不同階段的影響程度也不盡相同，因此項(xiàng)目往往會(huì)在不同時(shí)段呈現(xiàn)出不同特征。

為計(jì)算價(jià)值漏損，本文引入每個(gè)階段的支付不變比率ki。由前分析知該比率只隨著所處的時(shí)間階段改變而改變，因此可將i階段的支付不變比率定義為：ki=Ci/Vi。又因?yàn)閮r(jià)值漏損為標(biāo)定資產(chǎn)的比例部分，比例取值與狀態(tài)j的取值無關(guān)，只隨著所處的時(shí)間階段改變而改變，則i期j狀態(tài)下價(jià)值漏損Cij=kiVij。

CA方法中，資產(chǎn)價(jià)格二叉樹是由各時(shí)期各狀態(tài)下的項(xiàng)目現(xiàn)值得到的（Step3）。而本文擬用價(jià)值漏損和各時(shí)期各狀態(tài)下的項(xiàng)目現(xiàn)值來構(gòu)造資產(chǎn)價(jià)格二叉樹，構(gòu)造步驟如下：

第一步：計(jì)算扣除價(jià)值漏損后的項(xiàng)目?jī)r(jià)值Vij'：

（2）式中u,d表示價(jià)值的上升下降程度，Vi-1表示前一階段的項(xiàng)目?jī)r(jià)值，Ci-1=ki-1Vi-1表示上期價(jià)值漏損（在上期期末所支付的現(xiàn)金流），這將減少后續(xù)各期的項(xiàng)目?jī)r(jià)值。特別地，當(dāng)階段i=0時(shí)，因?yàn)轫?xiàng)目還未啟動(dòng)，沒有產(chǎn)生價(jià)值漏損，故k0=0；當(dāng)階段 i=1 時(shí)，有=uV0，=dV0，此時(shí)本文的方法與 CA方法是一致的。

第二步：計(jì)算各時(shí)期各狀態(tài)下扣除價(jià)值漏損后的項(xiàng)目現(xiàn)值Vij''：

第三步：計(jì)算各時(shí)期各狀態(tài)下的價(jià)值漏損現(xiàn)值：

第四步：計(jì)算各時(shí)期各狀態(tài)下的項(xiàng)目現(xiàn)值Vij：

由（4）、（5）式可以得到二叉樹的各分叉值，從而可以構(gòu)造資產(chǎn)價(jià)格二叉樹。然后在此基礎(chǔ)上識(shí)別所有的實(shí)物期權(quán)，建立期權(quán)決策樹進(jìn)行實(shí)物期權(quán)分析。在進(jìn)行實(shí)物期權(quán)識(shí)別分析時(shí)，要注意將價(jià)值漏損加入項(xiàng)目?jī)r(jià)值中。以放棄期權(quán)為例，若用CA方法，則應(yīng)當(dāng)從最后期間開始計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)上包含期權(quán)的項(xiàng)目現(xiàn)值為V=max{VNj,K}，K為期權(quán)執(zhí)行價(jià)格。然后用復(fù)制技術(shù)沿決策樹倒推，在樹的起始點(diǎn)獲得含有靈活性的項(xiàng)目?jī)r(jià)值；而用本文提出的包含價(jià)值漏損的二叉樹期權(quán)定價(jià)模型，最后期間每個(gè)節(jié)點(diǎn)上包含期權(quán)的項(xiàng)目現(xiàn)值為V=max{VNj,VNj-VNj''(1-kN)+K/(1+r)N}。

3 數(shù)值算例

以玉石礦開發(fā)為例[7]來分析含有價(jià)值漏損的實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型在價(jià)值評(píng)估中的應(yīng)用。A公司擬投資一個(gè)玉石礦開發(fā)項(xiàng)目，預(yù)計(jì)需要投資900萬元。礦石的產(chǎn)量每年約29噸，并可以較長時(shí)間維持不變；該種玉石的價(jià)格目前為每噸10萬元，預(yù)計(jì)每年上漲11%，其標(biāo)準(zhǔn)差為35%，固定成本每年100萬元。風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整貼現(xiàn)率為10%，無風(fēng)險(xiǎn)利率為5%，項(xiàng)目波動(dòng)率σ=35%，第3年時(shí)企業(yè)可以400萬元的殘值放棄開發(fā)。按照DCF定價(jià)模型計(jì)算項(xiàng)目現(xiàn)值，并計(jì)算每期的現(xiàn)金流支付比率ki如表1所示：

再取△t=1，則有u=1.419,d=0.705，風(fēng)險(xiǎn)中性概率p=0.483。用CA方法和含價(jià)值漏損的實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型對(duì)玉石礦項(xiàng)目進(jìn)行估值的過程分別如下：

3.1 CA方法的估值過程

根據(jù)最初的項(xiàng)目?jī)r(jià)值和上升下降比率可以得到各狀態(tài)下的資產(chǎn)價(jià)值,將資產(chǎn)價(jià)值作為分叉值，則可得到資產(chǎn)現(xiàn)值變化樹形圖如圖1所示。在第3年，企業(yè)可決定繼續(xù)進(jìn)行項(xiàng)目或者選擇放棄期權(quán)。因此可在樹形圖的基礎(chǔ)上，在第3年處插入決策點(diǎn)用以表示項(xiàng)目可執(zhí)行的期權(quán)。第3年末含期權(quán)的項(xiàng)目現(xiàn)值為VO3j=max(V3j,400/(1+0.05)3)，而第2年末至第1年末的項(xiàng)目現(xiàn)值可根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性概率逐年向前遞推。從而得到含有靈活性的項(xiàng)目?jī)r(jià)值為881。這表明，初始投入900萬元的研發(fā)投資，可得到該研發(fā)項(xiàng)目包含實(shí)物期權(quán)在內(nèi)的項(xiàng)目超額收益價(jià)值為-19萬元。

3.2 考慮價(jià)值漏損的估值過程

根據(jù)（4）、（5）式計(jì)算價(jià)值漏損 Cij'和項(xiàng)目現(xiàn)值 Vij，求得資產(chǎn)現(xiàn)值變化樹形圖如圖2所示。在給定事件樹的前提下，再在第三年插入決策點(diǎn)用以表示項(xiàng)目在第3年可執(zhí)行的期權(quán)，實(shí)物期權(quán)分析過程如圖3所示。在第3年，企業(yè)可決定繼續(xù)進(jìn)行項(xiàng)目，或者選擇放棄期權(quán)。令第3年末不執(zhí)行期權(quán)的項(xiàng)目現(xiàn)值為V3j，包含放棄期權(quán)的項(xiàng)目現(xiàn)值A(chǔ)3j。第3年末含期權(quán)的項(xiàng)目現(xiàn)值為 VO3j=max(V3j,A3j)，其中A3j=V3j-V3j''(1-k3)+400/(1+0.05)3。第2年末至第1年末的項(xiàng)目現(xiàn)值,可根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性概率逐年向前遞推。從而在決策樹的起始點(diǎn)獲得含有靈活性的項(xiàng)目?jī)r(jià)值為1009。這表明，初始投入900萬元的研發(fā)投資，可得到該研發(fā)項(xiàng)目包含實(shí)物期權(quán)在內(nèi)的項(xiàng)目超額收益價(jià)值為109萬元。

表1 企業(yè)預(yù)計(jì)現(xiàn)金流，凈現(xiàn)值，現(xiàn)金流支付比率

根據(jù)以上分析可以看出,傳統(tǒng)DCF法的計(jì)算結(jié)果比實(shí)物期權(quán)方法的計(jì)算小，這可以解釋為DCF法忽略了管理柔性，從而造成的投資機(jī)會(huì)價(jià)值的低估；對(duì)比兩種實(shí)物期權(quán)方法可以發(fā)現(xiàn)，考慮價(jià)值漏損的實(shí)物期權(quán)估值要比通過CA方法計(jì)算出來的項(xiàng)目估值大128萬元,這個(gè)偏差是比較大的。如果將價(jià)值漏損類比為股票紅利，標(biāo)的資產(chǎn)類比為股票，放棄期權(quán)類比為看跌期權(quán)，則可以在股票市場(chǎng)中找到與本文類似的偏差現(xiàn)象：股票市場(chǎng)中，紅利的發(fā)放將使得股票的價(jià)格降低，從而增加看跌期權(quán)的價(jià)值，減少看漲期權(quán)的價(jià)值。因此由數(shù)值算例可以發(fā)現(xiàn)，與CA方法相比，含有價(jià)值漏損的實(shí)物期權(quán)定價(jià)反映了影響期權(quán)價(jià)值的實(shí)體資產(chǎn)真實(shí)回報(bào)的變化情況，如果忽視了這些調(diào)整將可能導(dǎo)致期權(quán)估價(jià)錯(cuò)誤并可能誤導(dǎo)投資決策。

4 結(jié)語

由于現(xiàn)金流和便利收益的存在，實(shí)物資產(chǎn)往往存在著價(jià)值漏損的現(xiàn)象，傳統(tǒng)的實(shí)物期權(quán)定價(jià)方法往往忽視了這一點(diǎn)。本文針對(duì)這一不足，在CA方法的基礎(chǔ)上增加了對(duì)資產(chǎn)價(jià)值漏損的考慮，并以二叉樹模型與決策樹為基礎(chǔ)建立了一個(gè)包含價(jià)值漏損的實(shí)物期權(quán)定價(jià)方法。并通過一個(gè)應(yīng)用實(shí)例，將所建立的方法與傳統(tǒng)CA方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，含有價(jià)值漏損的實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型更能反映影響期權(quán)價(jià)值的實(shí)體資產(chǎn)真實(shí)回報(bào)的變化情況。

本文所構(gòu)建的模型保持了二叉樹模型的實(shí)用性和靈活性：一方面，計(jì)算程序編寫和參數(shù)調(diào)整都非常直觀方便，并不需要大量復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算過程；另一方面，模型能提供詳細(xì)的模型化決策過程，能夠清楚反映出期權(quán)存在期間的最優(yōu)決策路徑。模型適用于已完成市場(chǎng)調(diào)查，已對(duì)未來現(xiàn)金流情況做出估計(jì)的R&D項(xiàng)目，也適用于自然資源開發(fā)項(xiàng)目和房地產(chǎn)開發(fā)項(xiàng)目。

價(jià)值漏損的成因是現(xiàn)金流或便利收益，本文只討論了現(xiàn)金流的情況，而對(duì)便利收益的討論還未涉及。因此對(duì)便利收益的研究將是一個(gè)尚待深入的方向。

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F224

A

1002－6487（2011）04－0054-03

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（70941029)；重慶交通大學(xué)青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目

魯 皓（1980-），女，重慶人，博士研究生，研究方向：技術(shù)創(chuàng)新與風(fēng)險(xiǎn)管理。

張宗益（1964-），男，貴州人，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：公司治理與技術(shù)創(chuàng)新。

（責(zé)任編輯/亦 民）