探析集合課程教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)涵

龔光劍

（廣西右江民族商業(yè)學(xué)校，廣西 百色 533000）

探析集合課程教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)涵

龔光劍

（廣西右江民族商業(yè)學(xué)校，廣西 百色 533000）

集合語(yǔ)言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言，集合的初步知識(shí)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容有著密切的關(guān)系。通過(guò)對(duì)集合知識(shí)內(nèi)涵的探討，掌握集合的有關(guān)知識(shí)，對(duì)學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言有好處。

探析；集合；內(nèi)涵

集合語(yǔ)言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言，集合的初步知識(shí)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容有著密切的關(guān)系。通過(guò)對(duì)集合知識(shí)內(nèi)涵的探討，掌握好集合的有關(guān)知識(shí)，是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的基礎(chǔ)。本文將結(jié)合實(shí)際從不同角度多層面對(duì)集合的各知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行剖釋，以便學(xué)習(xí)者能更快更好更易地從各方面了解集合內(nèi)容的深度和廣度，幫助學(xué)習(xí)者更好地理解集合知識(shí)，運(yùn)用集合知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

（一）重點(diǎn)難點(diǎn)

1.集合的概念

集合是數(shù)學(xué)中最原始的不定義的概念，只能給出描述性說(shuō)明：某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合。組成集合的對(duì)象叫元素。集合常用大寫字母A，B，C，……來(lái)表示，元素常用小寫字母a，b，c，……來(lái)表示。

集合是一個(gè)確定的整體，因此對(duì)集合也可以這樣描述：具有某種屬性的對(duì)象的全體組成一個(gè)集合。

提醒：（1）對(duì)于集合，我們一定要從整體的角度來(lái)看待它。例如由“我們班的同學(xué)”組成的一個(gè)集合A，則它是一個(gè)整體，也就是一個(gè)班集體，也可以用我們班的序號(hào)來(lái)代替它。

（2）要注意組成集合的“對(duì)象”的廣泛性：一個(gè)方面，任何一個(gè)確定的對(duì)象都要可以組成一個(gè)集合，如人、動(dòng)物、物體、數(shù)、方程，不等式都可以作為組成集合的對(duì)象；另一方面，就是集合本身也可以作為集合的對(duì)象，如上面所提到的集合A，可以作為“我們年級(jí)各班”組成的集合B的元素。

（3）構(gòu)成集合的對(duì)象必須是“確定”的且“不同”的。其中“確定”是指構(gòu)成集合的對(duì)象具有非常明確的特征，這個(gè)特征不是模棱兩可的；“不同”是指構(gòu)成集合的各個(gè)對(duì)象互不相同。

特殊數(shù)集的表示：N*=｛正整數(shù)｝，N=｛自然數(shù)｝，Z=｛整數(shù)｝，Q=｛有理數(shù)｝，R=｛實(shí)數(shù)｝。

2.元素與集合的關(guān)系

元素與集合的關(guān)系有屬于與不屬于兩種：元素 a屬于集合A，記作a∈A;元素a不屬于集合A，記作a?A。

提醒：（1）符號(hào)“∈”及“?”表示元素與集合之間的關(guān)系，即屬于與不屬于，它不能表示集合與集合之間的關(guān)系。

（2）a∈A與a?A取決于a是不是集合A中的元素，根據(jù)集合中元素的確定性，可知對(duì)任何a與A，a∈A與a?A這兩種情況有且只有一種成立。

例：用符號(hào)∈與?真空：分析：要注意字母所表示集合的含義。

3.集合元素特征

（1）元素的確定性：設(shè)A是給定的一個(gè)集合，a是某一具體對(duì)象，剛a或者是A的元素或者不是A的元素。兩種情況必有一種且只有一種成立。例如：元素-2是方程y2+3y+2=0所有實(shí)數(shù)根所組成集合的元素，而2不是其集合的元素。

（2）元素的互異性：對(duì)于給定的集合中任意兩元素都是不同的，即元素不能重復(fù)。如方程 x2-4x+4=0的根構(gòu)成的集合只有2一個(gè)元素，不能出現(xiàn)有兩個(gè)重復(fù)的元素2，2。

（3）元素的無(wú)序性：在給定的集合中元素之間順序關(guān)系，即集合中的兩元素交換次序后所得的集合與原來(lái)的集合是同一個(gè)集合。如由2和3構(gòu)成的集合與方程y2-5y+6=0的根構(gòu)成的集合是同一個(gè)集合。

集合的元素必須具備確定性、互異性、無(wú)序性；反過(guò)來(lái)，一組對(duì)象若不具備這三性，則這組對(duì)象也就不能構(gòu)成集合。

集合的元素的“三性”，既是解決有關(guān)問(wèn)題的切入點(diǎn)，又是我們解題的疏忽與易錯(cuò)點(diǎn)。

4.集合的分類

按集合的元素個(gè)數(shù)的多少，可分為有限集、無(wú)限集。

空集就是不含任何元素的集合，空集可用“φ”表示。

提醒：（1）空集就像一個(gè)無(wú)處不在的幽靈，要處處設(shè)防，時(shí)刻提高警惕，才不至于掉進(jìn)空集這一陷阱之中。

（2）由于φ中沒(méi)有元素，即0個(gè)元素，規(guī)定它屬于有限集?？占m不含任何元素，可它卻有兩個(gè)方面的作用：

②空集在反映集合與集合之間的關(guān)系上直到“橋梁”的作用，使一些難以表達(dá)的總是得到簡(jiǎn)明扼要地表達(dá)。如由直線 + =4點(diǎn)組成的集合A，由拋物線 =- 2上的點(diǎn)組成的集合B，則由A與B的公共元素組成的集合可簡(jiǎn)記為φ。

（二）方法技巧

1.列舉法

用列舉法表示集合，就是把集合的元素一一列舉出來(lái)，并寫在大括號(hào)內(nèi)。

提醒：用列舉法表示集合時(shí)，必須注意如下幾點(diǎn)：（1）元素與元素之間必須用“，”隔開(kāi)；（2）集合的元素必須是明確的；（3）不必考慮元素出現(xiàn)的先后順序；（4）集合的元素不能重復(fù)；（5）集合的元素可以表示任何事物；（6）對(duì)含有較多元素的集合，如果構(gòu)成該集合的元素具有明顯的規(guī)律，可用列舉法表示，但是必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后，才能用省略號(hào)表示，如N*=｛1，2，3，…｝。

2.描述法

描述法就是把集合的元素所具有的屬性描述出來(lái)，并寫在大括號(hào)內(nèi)，它又分為（1）文字描述法——用文字把元素所具有的屬性描述出來(lái)，如{自然數(shù)｝；（2）符號(hào)描述法——用符號(hào)把元素所具有的屬性描述出來(lái)，即｛ |P( )｝或｛

∈A|P( )等。

提醒：（1）用符號(hào)描述法表示集合時(shí)注意：弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是數(shù)、還是有序?qū)崝?shù)對(duì)（點(diǎn)）、還是集合、還是其他形式？元素具有怎樣的屬性？當(dāng)題目中用了其他字母來(lái)描述元素所具有的屬性時(shí)，要去偽存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。

（2）用描述法表示集合時(shí)，若需要多層次描述屬性時(shí)，可選用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”與“或”等聯(lián)結(jié)；若描述部分出現(xiàn)元素記號(hào)以外的字母時(shí)，要對(duì)新字母說(shuō)明其含義或指出其取值范圍。

例：用描述法表示下列集合：

思考：用描述法表示集合的優(yōu)、缺點(diǎn)在哪里？

描述法突出了元素所具有的屬性，其中文字描述法通俗易懂；而符號(hào)描述法則簡(jiǎn)潔概括，但有點(diǎn)抽象，不易看出集合中到底有哪些元素。

（3）解決用符號(hào)描述法表示的集合的問(wèn)題時(shí)，首先要弄清元素所具有的形式；其次透過(guò)符號(hào)的表象，弄清元素到底具有怎樣的屬性。 這就需要仔細(xì)審題，透徹地理解題意，有時(shí)還需要借助特殊的探討方能順利地解決問(wèn)題。

3.Venn圖法

Venn圖法就是一個(gè)用一條封閉的曲線圈成一個(gè)區(qū)域來(lái)表示一個(gè)集合。如集合A=｛2的倍數(shù)｝和B=｛3的倍數(shù)｝可表示為下圖。

4.集合表示的常見(jiàn)錯(cuò)誤

使用列舉法表示集合最容易出現(xiàn)下述兩類錯(cuò)誤：

一是沒(méi)有弄清集合的元素所具有的形式，就胡亂表示．

例如：集合｛ x2-9=0｝與｛x|x2-9=0， ∈R｝，容易將前者與后者等同起來(lái)，事實(shí)上前都是用列舉法表示的集合，元素是等式“ 2-9=0”，而后者是元素是實(shí)數(shù) 3和－3。

二是沒(méi)有準(zhǔn)確把握符號(hào)描述法中的符號(hào)所描述的具體屬性。

例如：區(qū)別符號(hào)“0”“ φ”“｛0｝”“｛φ｝”。

事實(shí)上“0”是一個(gè)數(shù)，它可以作為集合的元素；而“φ”則是一個(gè)集合，由于集合也可以作為另一個(gè)集合的元素，因此“φ”也可以作為某些集合的元素；“｛0｝”則是由數(shù) 0組成的一個(gè)單元素集合；“｛φ｝”是由“φ”為元素組成的一個(gè)集合。

（三）遷移創(chuàng)新

1.集合語(yǔ)言

集合語(yǔ)言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言，也就是用集合的有關(guān)概念和符號(hào)來(lái)敘述問(wèn)題的語(yǔ)言。集合語(yǔ)言與其他語(yǔ)言的關(guān)系以及它的構(gòu)成如下：

集合語(yǔ)言的不同形態(tài)各有自己的特點(diǎn)，符號(hào)語(yǔ)言比較簡(jiǎn)潔、嚴(yán)謹(jǐn)，可大大縮短語(yǔ)言表達(dá)的“長(zhǎng)度”，有利于推理、計(jì)算；圖象語(yǔ)言易引起清晰的視覺(jué)形象，它能直觀地表達(dá)概念、定理的本質(zhì)以及相互間的關(guān)系，在抽象的數(shù)學(xué)思維面前起著具體休和幫助理解的作用；普通語(yǔ)言比較自然、生動(dòng)，它能將問(wèn)題所研究的對(duì)象的含義更加明白地?cái)⑹龀鰜?lái)，教科書(shū)上的概念、定理等多以普通評(píng)議敘述。在數(shù)學(xué)解題中，如果數(shù)學(xué)問(wèn)題有抽象的字母和符號(hào)語(yǔ)言出現(xiàn)，解題能力強(qiáng)的人在審題時(shí)往往會(huì)先畫(huà)出草圖或把問(wèn)題變?yōu)槠胀ㄕZ(yǔ)言。如果問(wèn)題是以普通語(yǔ)言形式表達(dá)的，如應(yīng)用題，為了便于計(jì)算和進(jìn)行推理，則往往需要引進(jìn)字母變量建立數(shù)學(xué)模型。尤其是幾何問(wèn)題，離開(kāi)符號(hào)語(yǔ)言將寸步難行。這些都說(shuō)明解題時(shí)各種語(yǔ)言間的互譯是必要的，它可達(dá)到簡(jiǎn)縮思維過(guò)程的目的，擺脫思維受阻的困境，有時(shí)還能產(chǎn)生妙解。

2.解決集合問(wèn)題的關(guān)鍵

解決集合問(wèn)題的關(guān)鍵：弄清集合由哪些元素所構(gòu)成的．如何弄清呢？關(guān)鍵在于：（1）把抽象問(wèn)題具體化、形象化．也就是把用描述法表示的集合用列舉法來(lái)表示，或用圖示法來(lái)表示抽象的集合，或用圖形來(lái)表示集合．當(dāng)集合的元素為有序?qū)崝?shù)對(duì)時(shí)，可用平面直角坐標(biāo)系中的圖形表示相關(guān)的集合。（2）運(yùn)用“元素分析法”。元素分析法就是抓住元素進(jìn)行分析，也就是抓住元素進(jìn)行分析，也就是元素形式（即代表元）如何？元素應(yīng)具有哪些屬性？元素是否滿足“三性”（確定、互異、無(wú)序）？

運(yùn)用元素分析法解題，能準(zhǔn)確理解和把握集合的內(nèi)涵，能有意識(shí)地引導(dǎo)我們分析集合是由哪些元素所組成的，而且還能有效地避免解題的錯(cuò)誤。

（1）若a∈ ，則a是否屬于S？

（2）對(duì)于S中任意兩個(gè)元素 x1， x2，問(wèn) x1+x2， x1· x2是否屬于S？

綜合①②可得：當(dāng)n=0時(shí)，S中元素個(gè)數(shù)為0；當(dāng)n 0時(shí)，S中元素個(gè)數(shù)為1。

點(diǎn)評(píng)：把握元素特征是解決本題的關(guān)鍵，同時(shí)要注意緊扣條件。

G420

A

1008-1151(2011)05-0169-02

2011-02-14

龔光劍（1976－），男，廣西百色人，廣西右江民族商業(yè)學(xué)校講師。